MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorev2 Unicode version

Theorem pcorev2 19006
Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev2.1  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pcorev2.2  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )
Assertion
Ref Expression
pcorev2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) G ) (  ~=ph  `  J ) P )
Distinct variable groups:    x, F    x, J
Allowed substitution hints:    P( x)    G( x)

Proof of Theorem pcorev2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev2.1 . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
21pcorevcl 19003 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  ( G `  1 )  =  ( F ` 
0 ) ) )
32simp1d 969 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
4 eqid 2404 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( G `
 ( 1  -  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( G `  ( 1  -  y
) ) )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( G `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( G `
 1 ) } )
64, 5pcorev 19005 . . 3  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( G `  (
1  -  y ) ) ) ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( G ` 
1 ) } ) )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( G `  (
1  -  y ) ) ) ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( G ` 
1 ) } ) )
8 iiuni 18864 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
9 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
108, 9cnf 17264 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
1110feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
12 iirev 18907 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
13 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  ( 1  -  y
) ) )
1413fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  ( F `  ( 1  -  x ) )  =  ( F `  (
1  -  ( 1  -  y ) ) ) )
15 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( 1  -  ( 1  -  y
) ) )  e. 
_V
1614, 1, 15fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 1  -  y ) )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  -  y ) ) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 1  -  y ) )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  -  y ) ) ) )
18 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
19 unitssre 10998 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2019sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
2120recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  y  e.  CC )
22 nncan 9286 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  y ) )  =  y )
2318, 21, 22sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( 1  -  y ) )  =  y )
2423fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  ( 1  -  ( 1  -  y ) ) )  =  ( F `  y ) )
2517, 24eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 1  -  y ) )  =  ( F `  y ) )
2625mpteq2ia 4251 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( G `
 ( 1  -  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) )
2711, 26syl6reqr 2455 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( G `  ( 1  -  y ) ) )  =  F )
2827oveq1d 6055 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( G `  (
1  -  y ) ) ) ( *p
`  J ) G )  =  ( F ( *p `  J
) G ) )
292simp3d 971 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3029sneqd 3787 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  { ( G `  1 ) }  =  { ( F `  0 ) } )
3130xpeq2d 4861 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( G `  1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )
32 pcorev2.2 . . 3  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )
3331, 32syl6eqr 2454 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( G `  1 ) } )  =  P )
347, 28, 333brtr3d 4201 1  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) G ) (  ~=ph  `  J ) P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    - cmin 9247   [,]cicc 10875    Cn ccn 17242   IIcii 18858    ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978
This theorem is referenced by:  pcophtb  19007  pi1xfr  19033  pi1xfrcnvlem  19034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983
  Copyright terms: Public domain W3C validator