MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorev2 Structured version   Unicode version

Theorem pcorev2 20605
Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev2.1  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pcorev2.2  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )
Assertion
Ref Expression
pcorev2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) G ) (  ~=ph  `  J ) P )
Distinct variable groups:    x, F    x, J
Allowed substitution hints:    P( x)    G( x)

Proof of Theorem pcorev2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev2.1 . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
21pcorevcl 20602 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  ( G `  1 )  =  ( F ` 
0 ) ) )
32simp1d 1000 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( G `
 ( 1  -  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( G `  ( 1  -  y
) ) )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( G `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( G `
 1 ) } )
64, 5pcorev 20604 . . 3  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( G `  (
1  -  y ) ) ) ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( G ` 
1 ) } ) )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( G `  (
1  -  y ) ) ) ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( G ` 
1 ) } ) )
8 iiuni 20462 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
108, 9cnf 18855 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
1110feqmptd 5749 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
12 iirev 20506 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
13 oveq2 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  ( 1  -  y
) ) )
1413fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  ( F `  ( 1  -  x ) )  =  ( F `  (
1  -  ( 1  -  y ) ) ) )
15 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( 1  -  ( 1  -  y
) ) )  e. 
_V
1614, 1, 15fvmpt 5779 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 1  -  y ) )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  -  y ) ) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 1  -  y ) )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  -  y ) ) ) )
18 ax-1cn 9345 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
19 unitssre 11437 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2019sseli 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
2120recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  y  e.  CC )
22 nncan 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  y ) )  =  y )
2318, 21, 22sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( 1  -  y ) )  =  y )
2423fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  ( 1  -  ( 1  -  y ) ) )  =  ( F `  y ) )
2517, 24eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 1  -  y ) )  =  ( F `  y ) )
2625mpteq2ia 4379 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( G `
 ( 1  -  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) )
2711, 26syl6reqr 2494 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( G `  ( 1  -  y ) ) )  =  F )
2827oveq1d 6111 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( G `  (
1  -  y ) ) ) ( *p
`  J ) G )  =  ( F ( *p `  J
) G ) )
292simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3029sneqd 3894 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  { ( G `  1 ) }  =  { ( F `  0 ) } )
3130xpeq2d 4869 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( G `  1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )
32 pcorev2.2 . . 3  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )
3331, 32syl6eqr 2493 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( G `  1 ) } )  =  P )
347, 28, 333brtr3d 4326 1  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) G ) (  ~=ph  `  J ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3882   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    - cmin 9600   [,]cicc 11308    Cn ccn 18833   IIcii 20456    ~=ph cphtpc 20546   *pcpco 20577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-ii 20458  df-htpy 20547  df-phtpy 20548  df-phtpc 20569  df-pco 20582
This theorem is referenced by:  pcophtb  20606  pi1xfr  20632  pi1xfrcnvlem  20633
  Copyright terms: Public domain W3C validator