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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pcopt2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
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pcopt.1 |
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pcopt2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | pcopt.1 |
. . . . . . . . 9
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2 | 1 | fveq1i 5864 |
. . . . . . . 8
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3 | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
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4 | iiuni 21906 |
. . . . . . . . . . . . 13
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5 | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . 13
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6 | 4, 5 | cnf 20255 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | 1elunit 11748 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | ffvelrn 6018 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | 7, 8, 9 | sylancl 667 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 3, 10 | eqeltrrd 2529 |
. . . . . . . . 9
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12 | elii2 21957 |
. . . . . . . . . 10
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13 | iihalf2 21954 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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15 | fvconst2g 6116 |
. . . . . . . . 9
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16 | 11, 14, 15 | syl2an 480 |
. . . . . . . 8
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17 | 2, 16 | syl5eq 2496 |
. . . . . . 7
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18 | simplr 761 |
. . . . . . 7
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19 | 17, 18 | eqtr4d 2487 |
. . . . . 6
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20 | 19 | anassrs 653 |
. . . . 5
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21 | 20 | ifeq2da 3911 |
. . . 4
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22 | 21 | mpteq2dva 4488 |
. . 3
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23 | simpl 459 |
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24 | cntop2 20250 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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26 | 5 | toptopon 19941 |
. . . . . . 7
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27 | 25, 26 | sylib 200 |
. . . . . 6
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28 | 1 | pcoptcl 22045 |
. . . . . 6
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29 | 27, 11, 28 | syl2anc 666 |
. . . . 5
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30 | 29 | simp1d 1019 |
. . . 4
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31 | 23, 30 | pcoval 22035 |
. . 3
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32 | iftrue 3886 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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34 | elii1 21956 |
. . . . . . . . 9
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35 | iihalf1 21952 |
. . . . . . . . 9
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36 | 34, 35 | sylbir 217 |
. . . . . . . 8
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37 | 33, 36 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | ex 436 |
. . . . . 6
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39 | iffalse 3889 |
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40 | 39, 8 | syl6eqel 2536 |
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41 | 38, 40 | pm2.61d1 163 |
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42 | 41 | adantl 468 |
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43 | eqidd 2451 |
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44 | 7 | feqmptd 5916 |
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45 | fveq2 5863 |
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46 | fvif 5874 |
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47 | 45, 46 | syl6eq 2500 |
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48 | 42, 43, 44, 47 | fmptco 6054 |
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49 | 22, 31, 48 | 3eqtr4d 2494 |
. 2
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50 | iitopon 21904 |
. . . . 5
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51 | 50 | a1i 11 |
. . . 4
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52 | 51 | cnmptid 20669 |
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53 | 0elunit 11747 |
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54 | 53 | a1i 11 |
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55 | 51, 51, 54 | cnmptc 20670 |
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56 | eqid 2450 |
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57 | eqid 2450 |
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58 | eqid 2450 |
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59 | dfii2 21907 |
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60 | 0re 9640 |
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61 | 60 | a1i 11 |
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62 | 1re 9639 |
. . . . . 6
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63 | 62 | a1i 11 |
. . . . 5
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64 | halfre 10825 |
. . . . . . 7
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65 | halfgt0 10827 |
. . . . . . . 8
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66 | 60, 64, 65 | ltleii 9754 |
. . . . . . 7
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67 | halflt1 10828 |
. . . . . . . 8
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68 | 64, 62, 67 | ltleii 9754 |
. . . . . . 7
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69 | 60, 62 | elicc2i 11697 |
. . . . . . 7
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70 | 64, 66, 68, 69 | mpbir3an 1189 |
. . . . . 6
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71 | 70 | a1i 11 |
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72 | simprl 763 |
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73 | 72 | oveq2d 6304 |
. . . . . 6
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74 | 2cn 10677 |
. . . . . . 7
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75 | 2ne0 10699 |
. . . . . . 7
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76 | 74, 75 | recidi 10335 |
. . . . . 6
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77 | 73, 76 | syl6eq 2500 |
. . . . 5
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78 | retopon 21777 |
. . . . . . . 8
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79 | iccssre 11713 |
. . . . . . . . 9
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80 | 60, 64, 79 | mp2an 677 |
. . . . . . . 8
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81 | resttopon 20170 |
. . . . . . . 8
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82 | 78, 80, 81 | mp2an 677 |
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83 | 82 | a1i 11 |
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84 | 83, 51 | cnmpt1st 20676 |
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85 | 57 | iihalf1cn 21953 |
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86 | 85 | a1i 11 |
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87 | oveq2 6296 |
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88 | 83, 51, 84, 83, 86, 87 | cnmpt21 20679 |
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89 | iccssre 11713 |
. . . . . . . . 9
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90 | 64, 62, 89 | mp2an 677 |
. . . . . . . 8
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91 | resttopon 20170 |
. . . . . . . 8
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92 | 78, 90, 91 | mp2an 677 |
. . . . . . 7
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93 | 92 | a1i 11 |
. . . . . 6
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94 | 8 | a1i 11 |
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95 | 93, 51, 51, 94 | cnmpt2c 20678 |
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96 | 56, 57, 58, 59, 61, 63, 71, 51, 77, 88, 95 | cnmpt2pc 21949 |
. . . 4
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97 | breq1 4404 |
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98 | oveq2 6296 |
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99 | 97, 98 | ifbieq1d 3903 |
. . . . 5
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100 | 99 | adantr 467 |
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101 | 51, 52, 55, 51, 51, 96, 100 | cnmpt12 20675 |
. . 3
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102 | id 22 |
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103 | 102, 66 | syl6eqbr 4439 |
. . . . . . 7
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104 | 103, 32 | syl 17 |
. . . . . 6
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105 | oveq2 6296 |
. . . . . . 7
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106 | 2t0e0 10762 |
. . . . . . 7
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107 | 105, 106 | syl6eq 2500 |
. . . . . 6
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108 | 104, 107 | eqtrd 2484 |
. . . . 5
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109 | eqid 2450 |
. . . . 5
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110 | c0ex 9634 |
. . . . 5
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111 | 108, 109, 110 | fvmpt 5946 |
. . . 4
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112 | 53, 111 | mp1i 13 |
. . 3
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113 | 64, 62 | ltnlei 9752 |
. . . . . . . 8
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114 | 67, 113 | mpbi 212 |
. . . . . . 7
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115 | breq1 4404 |
. . . . . . 7
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116 | 114, 115 | mtbiri 305 |
. . . . . 6
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117 | 116, 39 | syl 17 |
. . . . 5
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118 | 1ex 9635 |
. . . . 5
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119 | 117, 109, 118 | fvmpt 5946 |
. . . 4
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120 | 8, 119 | mp1i 13 |
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121 | 23, 101, 112, 120 | reparpht 22022 |
. 2
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122 | 49, 121 | eqbrtrd 4422 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-inf2 8143 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 ax-pre-mulgt0 9613 ax-pre-sup 9614 ax-addf 9615 ax-mulf 9616 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rmo 2744 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-iin 4280 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-se 4793 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-isom 5590 df-riota 6250 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-of 6528 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-supp 6912 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-2o 7180 df-oadd 7183 df-er 7360 df-map 7471 df-ixp 7520 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-fin 7570 df-fsupp 7881 df-fi 7922 df-sup 7953 df-inf 7954 df-oi 8022 df-card 8370 df-cda 8595 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-sub 9859 df-neg 9860 df-div 10267 df-nn 10607 df-2 10665 df-3 10666 df-4 10667 df-5 10668 df-6 10669 df-7 10670 df-8 10671 df-9 10672 df-10 10673 df-n0 10867 df-z 10935 df-dec 11049 df-uz 11157 df-q 11262 df-rp 11300 df-xneg 11406 df-xadd 11407 df-xmul 11408 df-ioo 11636 df-icc 11639 df-fz 11782 df-fzo 11913 df-seq 12211 df-exp 12270 df-hash 12513 df-cj 13155 df-re 13156 df-im 13157 df-sqrt 13291 df-abs 13292 df-struct 15116 df-ndx 15117 df-slot 15118 df-base 15119 df-sets 15120 df-ress 15121 df-plusg 15196 df-mulr 15197 df-starv 15198 df-sca 15199 df-vsca 15200 df-ip 15201 df-tset 15202 df-ple 15203 df-ds 15205 df-unif 15206 df-hom 15207 df-cco 15208 df-rest 15314 df-topn 15315 df-0g 15333 df-gsum 15334 df-topgen 15335 df-pt 15336 df-prds 15339 df-xrs 15393 df-qtop 15399 df-imas 15400 df-xps 15403 df-mre 15485 df-mrc 15486 df-acs 15488 df-mgm 16481 df-sgrp 16520 df-mnd 16530 df-submnd 16576 df-mulg 16669 df-cntz 16964 df-cmn 17425 df-psmet 18955 df-xmet 18956 df-met 18957 df-bl 18958 df-mopn 18959 df-cnfld 18964 df-top 19914 df-bases 19915 df-topon 19916 df-topsp 19917 df-cld 20027 df-cn 20236 df-cnp 20237 df-tx 20570 df-hmeo 20763 df-xms 21328 df-ms 21329 df-tms 21330 df-ii 21902 df-htpy 21994 df-phtpy 21995 df-phtpc 22016 df-pco 22029 |
This theorem is referenced by: pcophtb 22053 pi1xfrcnvlem 22080 |
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