Theorem pcopt2 21500

Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcopt.1	|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )

Assertion

Ref	Expression
pcopt2	|- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F ( *p ` J ) P ) ( ~=ph ` J ) F )

Proof of Theorem pcopt2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcopt.1	. . . . . . . . 9 |- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )
2	1	fveq1i 5857	. . . . . . . 8 |- ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
3		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F ` 1 ) = Y )
4		iiuni 21362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
5		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
6	4, 5	cnf 19724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
7	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
8		1elunit 11649	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
9		ffvelrn 6014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
11	3, 10	eqeltrrd 2532	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> Y e. U. J )
12		elii2 21413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
13		iihalf2 21410	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
15		fvconst2g 6109	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. U. J /\ ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = Y )
16	11, 14, 15	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = Y )
17	2, 16	syl5eq 2496	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = Y )
18		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( F ` 1 ) = Y )
19	17, 18	eqtr4d 2487	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( F ` 1 ) )
20	19	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( F ` 1 ) )
21	20	ifeq2da 3957	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` 1 ) ) )
22	21	mpteq2dva 4523	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` 1 ) ) ) )
23		simpl 457	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> F e. ( II Cn J ) )
24		cntop2 19719	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
25	24	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> J e. Top )
26	5	toptopon 19411	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
28	1	pcoptcl 21498	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ Y e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
29	27, 11, 28	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
30	29	simp1d 1009	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> P e. ( II Cn J ) )
31	23, 30	pcoval 21488	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F ( *p ` J ) P ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( P ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
32		iftrue 3932	. . . . . . . . 9 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) = ( 2 x. x ) )
33	32	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) = ( 2 x. x ) )
34		elii1 21412	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) )
35		iihalf1 21408	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) )
36	34, 35	sylbir 213	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) )
37	33, 36	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38	37	ex 434	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
39		iffalse 3935	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) = 1 )
40	39, 8	syl6eqel 2539	. . . . . 6 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
41	38, 40	pm2.61d1 159	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
42	41	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
43		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) )
44	7	feqmptd 5911	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> F = ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` y ) ) )
45		fveq2 5856	. . . . 5 |- ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) )
46		fvif 5867	. . . . 5 |- ( F ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` 1 ) )
47	45, 46	syl6eq 2500	. . . 4 |- ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) -> ( F ` y ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` 1 ) ) )
48	42, 43, 44, 47	fmptco 6049	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` 1 ) ) ) )
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2494	. 2 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F ( *p ` J ) P ) = ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ) )
50		iitopon 21360	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
51	50	a1i 11	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
52	51	cnmptid 20139	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( II Cn II ) )
53		0elunit 11648	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
54	53	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
55	51, 51, 54	cnmptc 20140	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( II Cn II ) )
56		eqid 2443	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
57		eqid 2443	. . . . 5 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
58		eqid 2443	. . . . 5 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
59		dfii2 21363	. . . . 5 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
60		0re 9599	. . . . . 6 |- 0 e. RR
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> 0 e. RR )
62		1re 9598	. . . . . 6 |- 1 e. RR
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> 1 e. RR )
64		halfre 10761	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
65		halfgt0 10763	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 1 / 2 )
66	60, 64, 65	ltleii 9710	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
67		halflt1 10764	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) < 1
68	64, 62, 67	ltleii 9710	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
69	60, 62	elicc2i 11600	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
70	64, 66, 68, 69	mpbir3an 1179	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
71	70	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
72		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 2 ) )
73	72	oveq2d 6297	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
74		2cn 10613	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
75		2ne0 10635	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
76	74, 75	recidi 10282	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
77	73, 76	syl6eq 2500	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = 1 )
78		retopon 21247	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
79		iccssre 11616	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
80	60, 64, 79	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
81		resttopon 19639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
82	78, 80, 81	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
83	82	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
84	83, 51	cnmpt1st 20146	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
85	57	iihalf1cn 21409	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
87		oveq2 6289	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
88	83, 51, 84, 83, 86, 87	cnmpt21 20149	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
89		iccssre 11616	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
90	64, 62, 89	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
91		resttopon 19639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
92	78, 90, 91	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
93	92	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
94	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> 1 e. ( 0 [,] 1 ) )
95	93, 51, 51, 94	cnmpt2c 20148	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
96	56, 57, 58, 59, 61, 63, 71, 51, 77, 88, 95	cnmpt2pc 21405	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. y ) , 1 ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
97		breq1 4440	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y <_ ( 1 / 2 ) <-> x <_ ( 1 / 2 ) ) )
98		oveq2 6289	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) )
99	97, 98	ifbieq1d 3949	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. y ) , 1 ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) )
100	99	adantr 465	. . . 4 |- ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. y ) , 1 ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) )
101	51, 52, 55, 51, 51, 96, 100	cnmpt12 20145	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) e. ( II Cn II ) )
102		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> x = 0 )
103	102, 66	syl6eqbr 4474	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 2 ) )
104	103, 32	syl 16	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) = ( 2 x. x ) )
105		oveq2 6289	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
106		2t0e0 10698	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 0 ) = 0
107	105, 106	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = 0 )
108	104, 107	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) = 0 )
109		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) )
110		c0ex 9593	. . . . 5 |- 0 e. _V
111	108, 109, 110	fvmpt 5941	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ` 0 ) = 0 )
112	53, 111	mp1i 12	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ` 0 ) = 0 )
113	64, 62	ltnlei 9708	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
114	67, 113	mpbi 208	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
115		breq1 4440	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
116	114, 115	mtbiri 303	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
117	116, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) = 1 )
118		1ex 9594	. . . . 5 |- 1 e. _V
119	117, 109, 118	fvmpt 5941	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ` 1 ) = 1 )
120	8, 119	mp1i 12	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ` 1 ) = 1 )
121	23, 101, 112, 120	reparpht 21475	. 2 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( 2 x. x ) , 1 ) ) ) ( ~=ph ` J ) F )
122	49, 121	eqbrtrd 4457	1 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 1 ) = Y ) -> ( F ( *p ` J ) P ) ( ~=ph ` J ) F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   X. cxp 4987   ran crn 4990   o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   x. cmul 9500   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   / cdiv 10213   2c2 10592   (,)cioo 11539   [,]cicc 11542   ↾_t crest 14799   topGenctg 14816   Topctop 19371  TopOnctopon 19372   Cn ccn 19702   IIcii 21356   ~=ph cphtpc 21446   *pcpco 21477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-cnfld 18399  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-ii 21358  df-htpy 21447  df-phtpy 21448  df-phtpc 21469  df-pco 21482

This theorem is referenced by:  pcophtb  21506  pi1xfrcnvlem  21533