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Theorem pcopt 21257
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcopt  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) F )

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
21fveq1i 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( 2  x.  x ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F `  0
)  =  Y )
4 iiuni 21120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
5 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 19513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
76adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
8 0elunit 11634 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  U. J )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F `  0
)  e.  U. J
)
113, 10eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  Y  e.  U. J )
12 elii1 21170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
13 iihalf1 21166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1412, 13sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 fvconst2g 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  U. J  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( 2  x.  x ) )  =  Y )
1611, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( 2  x.  x ) )  =  Y )
172, 16syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( P `  (
2  x.  x ) )  =  Y )
18 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( F `  0
)  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( P `  (
2  x.  x ) )  =  ( F `
 0 ) )
2019ifeq1d 3957 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
2120expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
22 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
23 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F ` 
0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
2422, 23eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
2521, 24pm2.61d1 159 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( P `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2625mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( P `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 0 ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
27 cntop2 19508 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  Top )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  J  e.  Top )
295toptopon 19201 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3028, 29sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
311pcoptcl 21256 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  U. J )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3230, 11, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  P  e.  ( II  Cn  J ) )
34 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
3533, 34pcoval 21246 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( P `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
36 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )
38 elii2 21171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
39 iihalf2 21168 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4137, 40eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
4241ex 434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
43 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  0 )
4443, 8syl6eqel 2563 . . . . . 6  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4542, 44pm2.61d2 160 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4645adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
47 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
497feqmptd 5918 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
50 fveq2 5864 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
51 fvif 5875 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
5250, 51syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  -> 
( F `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
5346, 48, 49, 52fmptco 6052 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 0 ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
5426, 35, 533eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F )  =  ( F  o.  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
55 iitopon 21118 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
5756cnmptid 19897 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
588a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5956, 56, 58cnmptc 19898 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
60 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
61 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
62 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
63 dfii2 21121 . . . . 5  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
64 0re 9592 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
0  e.  RR )
66 1re 9591 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
1  e.  RR )
68 halfre 10750 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
69 halfgt0 10752 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7064, 68, 69ltleii 9703 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
71 halflt1 10753 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7268, 66, 71ltleii 9703 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
7364, 66elicc2i 11586 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
7468, 70, 72, 73mpbir3an 1178 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
76 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
7776oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
78 2cn 10602 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
79 2ne0 10624 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
8078, 79recidi 10271 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8177, 80syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  1 )
8281oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
83 1m1e0 10600 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8482, 83syl6req 2525 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
0  =  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )
85 retopon 21005 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
86 iccssre 11602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
8764, 68, 86mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
88 resttopon 19428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8985, 87, 88mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
9190, 56, 56, 58cnmpt2c 19906 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
92 iccssre 11602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
9368, 66, 92mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
94 resttopon 19428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9585, 93, 94mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9796, 56cnmpt1st 19904 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
9862iihalf2cn 21169 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
9998a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
100 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
101100oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )
10296, 56, 97, 96, 99, 101cnmpt21 19907 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
10360, 61, 62, 63, 65, 67, 75, 56, 84, 91, 102cnmpt2pc 21163 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
104 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <_  ( 1  /  2 )  <->  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
105 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )
106105oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
107104, 106ifbieq2d 3964 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y
)  -  1 ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
108107adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
10956, 57, 59, 56, 56, 103, 108cnmpt12 19903 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
110 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
111110, 70syl6eqbr 4484 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
112111, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  0 )
113 c0ex 9586 . . . . 5  |-  0  e.  _V
114112, 47, 113fvmpt 5948 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  0 )
1158, 114mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  0 )
116 1elunit 11635 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
11768, 66ltnlei 9701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
11871, 117mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
119 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
120118, 119mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
121120, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
122 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
123 2t1e2 10680 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
124122, 123syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  2 )
125124oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
126 2m1e1 10646 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
127125, 126syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  1 )
128121, 127eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  1 )
129 1ex 9587 . . . . 5  |-  1  e.  _V
130128, 47, 129fvmpt 5948 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ` 
1 )  =  1 )
131116, 130mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  1 )
13234, 109, 115, 131reparpht 21233 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) ( 
~=ph  `  J ) F )
13354, 132eqbrtrd 4467 1  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   2c2 10581   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ↾t crest 14672   topGenctg 14689   Topctop 19161  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491   IIcii 21114    ~=ph cphtpc 21204   *pcpco 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-ii 21116  df-htpy 21205  df-phtpy 21206  df-phtpc 21227  df-pco 21240
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