Theorem pcohtpylem 18997

Description: Lemma for pcohtpy 18998. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcohtpy.5	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
pcohtpy.6	|- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
pcohtpylem.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8	|- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
pcohtpylem.9	|- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )

Assertion

Ref	Expression
pcohtpylem	|- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
2		isphtpc 18972	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) H <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 189	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 969	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		pcohtpy.6	. . . . 5 |- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
6		isphtpc 18972	. . . . 5 |- ( G ( ~=ph ` J ) K <-> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
7	5, 6	sylib 189	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
8	7	simp1d 969	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		pcohtpy.4	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
10	4, 8, 9	pcocn 18995	. 2 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
11	3	simp2d 970	. . 3 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
12	7	simp2d 970	. . 3 |- ( ph -> K e. ( II Cn J ) )
13		pcohtpylem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
14	4, 11, 13	phtpy01 18963	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
15	14	simprd 450	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
16		pcohtpylem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
17	8, 12, 16	phtpy01 18963	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
18	17	simpld 446	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) )
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2444	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( K ` 0 ) )
20	11, 12, 19	pcocn 18995	. 2 |- ( ph -> ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) )
21		pcohtpylem.7	. . 3 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
22		eqid 2404	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
23		eqid 2404	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
24		eqid 2404	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
25		dfii2 18865	. . . 4 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
26		0re 9047	. . . . 5 |- 0 e. RR
27	26	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
28		1re 9046	. . . . 5 |- 1 e. RR
29	28	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
30	28	rehalfcli 10172	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
31		halfgt0 10144	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 2 )
32	26, 30, 31	ltleii 9152	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
33		halflt1 10145	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
34	30, 28, 33	ltleii 9152	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
35	26, 28	elicc2i 10932	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
36	30, 32, 34, 35	mpbir3an 1136	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38		iitopon 18862	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
40	9	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
41	4, 11, 13	phtpyi 18962	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M y ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) ) )
42	41	simprd 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
43	42	adantrl 697	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
44	8, 12, 16	phtpyi 18962	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N y ) = ( G ` 1 ) ) )
45	44	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
46	45	adantrl 697	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( 0 N y ) )
48		simprl 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> x = ( 1 / 2 ) )
49	48	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
50		2cn 10026	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
51		2ne0 10039	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
52	50, 51	recidi 9701	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
53	49, 52	syl6eq 2452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = 1 )
54	53	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 1 M y ) )
55	53	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
56		1m1e0 10024	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
57	55, 56	syl6eq 2452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 0 )
58	57	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 0 N y ) )
59	47, 54, 58	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
60		retopon 18750	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
61		iccssre 10948	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
62	26, 30, 61	mp2an 654	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
63		resttopon 17179	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
64	60, 62, 63	mp2an 654	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
66	65, 39	cnmpt1st 17653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
67	23	iihalf1cn 18910	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
69		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. x ) )
70	65, 39, 66, 65, 68, 69	cnmpt21 17656	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
71	65, 39	cnmpt2nd 17654	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
72	4, 11	phtpycn 18961	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
73	72, 13	sseldd 3309	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
74	65, 39, 70, 71, 73	cnmpt22f 17660	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) M y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn J ) )
75		iccssre 10948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
76	30, 28, 75	mp2an 654	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
77		resttopon 17179	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
78	60, 76, 77	mp2an 654	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
80	79, 39	cnmpt1st 17653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
81	24	iihalf2cn 18912	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
82	81	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
83	69	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( 2 x. z ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
84	79, 39, 80, 79, 82, 83	cnmpt21 17656	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
85	79, 39	cnmpt2nd 17654	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
86	8, 12	phtpycn 18961	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
87	86, 16	sseldd 3309	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
88	79, 39, 84, 85, 87	cnmpt22f 17660	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn J ) )
89	22, 23, 24, 25, 27, 29, 37, 39, 59, 74, 88	cnmpt2pc 18906	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
90	21, 89	syl5eqel 2488	. 2 |- ( ph -> P e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
91		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
92		elii1 18913	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) )
93		iihalf1 18909	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
94	92, 93	sylbir 205	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
95	94	adantll 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
96	4, 11	phtpyhtpy 18960	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( F ( II Htpy J ) H ) )
97	96, 13	sseldd 3309	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( F ( II Htpy J ) H ) )
98	39, 4, 11, 97	htpyi 18952	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
99	91, 95, 98	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
100	99	simpld 446	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
101		iftrue 3705	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
102	101	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
103		iftrue 3705	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
104	103	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
105	100, 102, 104	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
106		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
107		elii2 18914	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
108	107	adantll 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
109		iihalf2 18911	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
110	108, 109	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
111	8, 12	phtpyhtpy 18960	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( G ( II Htpy J ) K ) )
112	111, 16	sseldd 3309	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( G ( II Htpy J ) K ) )
113	39, 8, 12, 112	htpyi 18952	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
114	106, 110, 113	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
115	114	simpld 446	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
116		iffalse 3706	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
117	116	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
118		iffalse 3706	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
119	118	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
120	115, 117, 119	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
121	105, 120	pm2.61dan 767	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
122		simpr 448	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
123		0elunit 10971	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
124		simpl 444	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> x = s )
125	124	breq1d 4182	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
126	124	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
127		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> y = 0 )
128	126, 127	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
129	126	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
130	129, 127	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
131	125, 128, 130	ifbieq12d 3721	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
132		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 0 ) e. _V
133		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) e. _V
134	132, 133	ifex 3757	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) e. _V
135	131, 21, 134	ovmpt2a 6163	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
136	122, 123, 135	sylancl 644	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
137	4, 8	pcovalg 18990	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
138	121, 136, 137	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) )
139	99	simprd 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
140		iftrue 3705	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
141	140	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
142		iftrue 3705	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
143	142	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
144	139, 141, 143	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
145	114	simprd 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
146		iffalse 3706	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
147	146	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
148		iffalse 3706	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
149	148	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
150	145, 147, 149	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
151	144, 150	pm2.61dan 767	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
152		1elunit 10972	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
153		simpl 444	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> x = s )
154	153	breq1d 4182	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
155	153	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
156		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> y = 1 )
157	155, 156	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
158	155	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
159	158, 156	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
160	154, 157, 159	ifbieq12d 3721	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
161		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 1 ) e. _V
162		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) e. _V
163	161, 162	ifex 3757	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) e. _V
164	160, 21, 163	ovmpt2a 6163	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
165	122, 152, 164	sylancl 644	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
166	11, 12	pcovalg 18990	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
167	151, 165, 166	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) )
168	4, 11, 13	phtpyi 18962	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M s ) = ( F ` 1 ) ) )
169	168	simpld 446	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) )
170		simpl 444	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x = 0 )
171	170, 32	syl6eqbr 4209	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
172		iftrue 3705	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
173	171, 172	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
174	170	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
175	50	mul01i 9212	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 0 ) = 0
176	174, 175	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 0 )
177		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> y = s )
178	176, 177	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 0 M s ) )
179	173, 178	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 0 M s ) )
180		ovex 6065	. . . . 5 |- ( 0 M s ) e. _V
181	179, 21, 180	ovmpt2a 6163	. . . 4 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
182	123, 122, 181	sylancr 645	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
183	4, 8	pco0 18992	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
184	183	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
185	169, 182, 184	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) )
186	8, 12, 16	phtpyi 18962	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N s ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) ) )
187	186	simprd 450	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) )
188	30, 28	ltnlei 9150	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
189	33, 188	mpbi 200	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
190		simpl 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> x = 1 )
191	190	breq1d 4182	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
192	189, 191	mtbiri 295	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
193		iffalse 3706	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
194	192, 193	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
195	190	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
196	50	mulid1i 9048	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 1 ) = 2
197	195, 196	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 2 )
198	197	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
199		2m1e1 10051	. . . . . . . 8 |- ( 2 - 1 ) = 1
200	198, 199	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
201		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> y = s )
202	200, 201	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 1 N s ) )
203	194, 202	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 1 N s ) )
204		ovex 6065	. . . . 5 |- ( 1 N s ) e. _V
205	203, 21, 204	ovmpt2a 6163	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
206	152, 122, 205	sylancr 645	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
207	4, 8	pco1 18993	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
208	207	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
209	187, 206, 208	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) )
210	10, 20, 90, 138, 167, 185, 209	isphtpy2d 18965	1 |- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ↾_t crest 13603   topGenctg 13620  TopOnctopon 16914   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   IIcii 18858   Htpy chtpy 18945   PHtpycphtpy 18946   ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978

This theorem is referenced by:  pcohtpy  18998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983