Theorem pcohtpylem 20491

Description: Lemma for pcohtpy 20492. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcohtpy.5	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
pcohtpy.6	|- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
pcohtpylem.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8	|- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
pcohtpylem.9	|- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )

Assertion

Ref	Expression
pcohtpylem	|- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
2		isphtpc 20466	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) H <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 995	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		pcohtpy.6	. . . . 5 |- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
6		isphtpc 20466	. . . . 5 |- ( G ( ~=ph ` J ) K <-> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
8	7	simp1d 995	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		pcohtpy.4	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
10	4, 8, 9	pcocn 20489	. 2 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
11	3	simp2d 996	. . 3 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
12	7	simp2d 996	. . 3 |- ( ph -> K e. ( II Cn J ) )
13		pcohtpylem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
14	4, 11, 13	phtpy01 20457	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
15	14	simprd 460	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
16		pcohtpylem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
17	8, 12, 16	phtpy01 20457	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
18	17	simpld 456	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) )
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2481	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( K ` 0 ) )
20	11, 12, 19	pcocn 20489	. 2 |- ( ph -> ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) )
21		pcohtpylem.7	. . 3 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
22		eqid 2441	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
23		eqid 2441	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
24		eqid 2441	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
25		dfii2 20358	. . . 4 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
26		0red 9383	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
27		1red 9397	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
28		halfre 10536	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
29		0re 9382	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
30		halfgt0 10538	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 2 )
31	29, 28, 30	ltleii 9493	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
32		1re 9381	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
33		halflt1 10539	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
34	28, 32, 33	ltleii 9493	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
35	29, 32	elicc2i 11357	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
36	28, 31, 34, 35	mpbir3an 1165	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38		iitopon 20355	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
40	9	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
41	4, 11, 13	phtpyi 20456	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M y ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) ) )
42	41	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
43	42	adantrl 710	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
44	8, 12, 16	phtpyi 20456	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N y ) = ( G ` 1 ) ) )
45	44	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
46	45	adantrl 710	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( 0 N y ) )
48		simprl 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> x = ( 1 / 2 ) )
49	48	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
50		2cn 10388	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
51		2ne0 10410	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
52	50, 51	recidi 10058	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
53	49, 52	syl6eq 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = 1 )
54	53	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 1 M y ) )
55	53	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
56		1m1e0 10386	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
57	55, 56	syl6eq 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 0 )
58	57	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 0 N y ) )
59	47, 54, 58	3eqtr4d 2483	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
60		retopon 20242	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
61		iccssre 11373	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
62	29, 28, 61	mp2an 667	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
63		resttopon 18665	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
64	60, 62, 63	mp2an 667	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
66	65, 39	cnmpt1st 19141	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
67	23	iihalf1cn 20404	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
69		oveq2 6098	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. x ) )
70	65, 39, 66, 65, 68, 69	cnmpt21 19144	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
71	65, 39	cnmpt2nd 19142	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
72	4, 11	phtpycn 20455	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
73	72, 13	sseldd 3354	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
74	65, 39, 70, 71, 73	cnmpt22f 19148	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) M y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn J ) )
75		iccssre 11373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
76	28, 32, 75	mp2an 667	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
77		resttopon 18665	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
78	60, 76, 77	mp2an 667	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
80	79, 39	cnmpt1st 19141	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
81	24	iihalf2cn 20406	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
82	81	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
83	69	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( 2 x. z ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
84	79, 39, 80, 79, 82, 83	cnmpt21 19144	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
85	79, 39	cnmpt2nd 19142	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
86	8, 12	phtpycn 20455	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
87	86, 16	sseldd 3354	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
88	79, 39, 84, 85, 87	cnmpt22f 19148	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn J ) )
89	22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 39, 59, 74, 88	cnmpt2pc 20400	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
90	21, 89	syl5eqel 2525	. 2 |- ( ph -> P e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
91		simpll 748	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
92		elii1 20407	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) )
93		iihalf1 20403	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
94	92, 93	sylbir 213	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
95	94	adantll 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
96	4, 11	phtpyhtpy 20454	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( F ( II Htpy J ) H ) )
97	96, 13	sseldd 3354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( F ( II Htpy J ) H ) )
98	39, 4, 11, 97	htpyi 20446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
99	91, 95, 98	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
100	99	simpld 456	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
101		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
102	101	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
103		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
104	103	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
105	100, 102, 104	3eqtr4d 2483	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
106		simpll 748	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
107		elii2 20408	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
108	107	adantll 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
109		iihalf2 20405	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
110	108, 109	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
111	8, 12	phtpyhtpy 20454	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( G ( II Htpy J ) K ) )
112	111, 16	sseldd 3354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( G ( II Htpy J ) K ) )
113	39, 8, 12, 112	htpyi 20446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
114	106, 110, 113	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
115	114	simpld 456	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
116		iffalse 3796	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
117	116	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
118		iffalse 3796	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
119	118	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
120	115, 117, 119	3eqtr4d 2483	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
121	105, 120	pm2.61dan 784	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
122		simpr 458	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
123		0elunit 11399	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
124		simpl 454	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> x = s )
125	124	breq1d 4299	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
126	124	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
127		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> y = 0 )
128	126, 127	oveq12d 6108	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
129	126	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
130	129, 127	oveq12d 6108	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
131	125, 128, 130	ifbieq12d 3813	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
132		ovex 6115	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 0 ) e. _V
133		ovex 6115	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) e. _V
134	132, 133	ifex 3855	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) e. _V
135	131, 21, 134	ovmpt2a 6220	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
136	122, 123, 135	sylancl 657	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
137	4, 8	pcovalg 20484	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
138	121, 136, 137	3eqtr4d 2483	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) )
139	99	simprd 460	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
140		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
141	140	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
142		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
143	142	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
144	139, 141, 143	3eqtr4d 2483	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
145	114	simprd 460	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
146		iffalse 3796	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
147	146	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
148		iffalse 3796	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
149	148	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
150	145, 147, 149	3eqtr4d 2483	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
151	144, 150	pm2.61dan 784	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
152		1elunit 11400	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
153		simpl 454	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> x = s )
154	153	breq1d 4299	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
155	153	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
156		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> y = 1 )
157	155, 156	oveq12d 6108	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
158	155	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
159	158, 156	oveq12d 6108	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
160	154, 157, 159	ifbieq12d 3813	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
161		ovex 6115	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 1 ) e. _V
162		ovex 6115	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) e. _V
163	161, 162	ifex 3855	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) e. _V
164	160, 21, 163	ovmpt2a 6220	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
165	122, 152, 164	sylancl 657	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
166	11, 12	pcovalg 20484	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
167	151, 165, 166	3eqtr4d 2483	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) )
168	4, 11, 13	phtpyi 20456	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M s ) = ( F ` 1 ) ) )
169	168	simpld 456	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) )
170		simpl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x = 0 )
171	170, 31	syl6eqbr 4326	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
172		iftrue 3794	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
173	171, 172	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
174	170	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
175		2t0e0 10473	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 0 ) = 0
176	174, 175	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 0 )
177		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> y = s )
178	176, 177	oveq12d 6108	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 0 M s ) )
179	173, 178	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 0 M s ) )
180		ovex 6115	. . . . 5 |- ( 0 M s ) e. _V
181	179, 21, 180	ovmpt2a 6220	. . . 4 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
182	123, 122, 181	sylancr 658	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
183	4, 8	pco0 20486	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
184	183	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
185	169, 182, 184	3eqtr4d 2483	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) )
186	8, 12, 16	phtpyi 20456	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N s ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) ) )
187	186	simprd 460	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) )
188	28, 32	ltnlei 9491	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
189	33, 188	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
190		simpl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> x = 1 )
191	190	breq1d 4299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
192	189, 191	mtbiri 303	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
193		iffalse 3796	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
194	192, 193	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
195	190	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
196		2t1e2 10466	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 1 ) = 2
197	195, 196	syl6eq 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 2 )
198	197	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
199		2m1e1 10432	. . . . . . . 8 |- ( 2 - 1 ) = 1
200	198, 199	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
201		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> y = s )
202	200, 201	oveq12d 6108	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 1 N s ) )
203	194, 202	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 1 N s ) )
204		ovex 6115	. . . . 5 |- ( 1 N s ) e. _V
205	203, 21, 204	ovmpt2a 6220	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
206	152, 122, 205	sylancr 658	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
207	4, 8	pco1 20487	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
208	207	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
209	187, 206, 208	3eqtr4d 2483	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) )
210	10, 20, 90, 138, 167, 185, 209	isphtpy2d 20459	1 |- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   2c2 10367   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   ↾_t crest 14355   topGenctg 14372  TopOnctopon 18399   Cn ccn 18728   tX ctx 19033   IIcii 20351   Htpy chtpy 20439   PHtpycphtpy 20440   ~=ph cphtpc 20441   *pcpco 20472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-ii 20353  df-htpy 20442  df-phtpy 20443  df-phtpc 20464  df-pco 20477

This theorem is referenced by:  pcohtpy  20492