Theorem pcohtpylem 22050

Description: Lemma for pcohtpy 22051. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcohtpy.5	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
pcohtpy.6	|- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
pcohtpylem.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8	|- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
pcohtpylem.9	|- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )

Assertion

Ref	Expression
pcohtpylem	|- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
2		isphtpc 22025	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) H <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 200	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 1020	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		pcohtpy.6	. . . . 5 |- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
6		isphtpc 22025	. . . . 5 |- ( G ( ~=ph ` J ) K <-> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
7	5, 6	sylib 200	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
8	7	simp1d 1020	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		pcohtpy.4	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
10	4, 8, 9	pcocn 22048	. 2 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
11	3	simp2d 1021	. . 3 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
12	7	simp2d 1021	. . 3 |- ( ph -> K e. ( II Cn J ) )
13		pcohtpylem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
14	4, 11, 13	phtpy01 22016	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
15	14	simprd 465	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
16		pcohtpylem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
17	8, 12, 16	phtpy01 22016	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
18	17	simpld 461	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) )
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2493	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( K ` 0 ) )
20	11, 12, 19	pcocn 22048	. 2 |- ( ph -> ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) )
21		pcohtpylem.7	. . 3 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
22		eqid 2451	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
23		eqid 2451	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
24		eqid 2451	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
25		dfii2 21914	. . . 4 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
26		0red 9644	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
27		1red 9658	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
28		halfre 10828	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
29		0re 9643	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
30		halfgt0 10830	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 2 )
31	29, 28, 30	ltleii 9757	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
32		1re 9642	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
33		halflt1 10831	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
34	28, 32, 33	ltleii 9757	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
35	29, 32	elicc2i 11700	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
36	28, 31, 34, 35	mpbir3an 1190	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38		iitopon 21911	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
40	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
41	4, 11, 13	phtpyi 22015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M y ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) ) )
42	41	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
43	42	adantrl 722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
44	8, 12, 16	phtpyi 22015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N y ) = ( G ` 1 ) ) )
45	44	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
46	45	adantrl 722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( 0 N y ) )
48		simprl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> x = ( 1 / 2 ) )
49	48	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
50		2cn 10680	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
51		2ne0 10702	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
52	50, 51	recidi 10338	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
53	49, 52	syl6eq 2501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = 1 )
54	53	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 1 M y ) )
55	53	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
56		1m1e0 10678	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
57	55, 56	syl6eq 2501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 0 )
58	57	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 0 N y ) )
59	47, 54, 58	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
60		retopon 21784	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
61		iccssre 11716	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
62	29, 28, 61	mp2an 678	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
63		resttopon 20177	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
64	60, 62, 63	mp2an 678	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
66	65, 39	cnmpt1st 20683	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
67	23	iihalf1cn 21960	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
69		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. x ) )
70	65, 39, 66, 65, 68, 69	cnmpt21 20686	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
71	65, 39	cnmpt2nd 20684	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
72	4, 11	phtpycn 22014	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
73	72, 13	sseldd 3433	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
74	65, 39, 70, 71, 73	cnmpt22f 20690	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) M y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn J ) )
75		iccssre 11716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
76	28, 32, 75	mp2an 678	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
77		resttopon 20177	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
78	60, 76, 77	mp2an 678	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
80	79, 39	cnmpt1st 20683	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
81	24	iihalf2cn 21962	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
82	81	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
83	69	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( 2 x. z ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
84	79, 39, 80, 79, 82, 83	cnmpt21 20686	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
85	79, 39	cnmpt2nd 20684	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
86	8, 12	phtpycn 22014	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
87	86, 16	sseldd 3433	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
88	79, 39, 84, 85, 87	cnmpt22f 20690	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn J ) )
89	22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 39, 59, 74, 88	cnmpt2pc 21956	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
90	21, 89	syl5eqel 2533	. 2 |- ( ph -> P e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
91		simpll 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
92		elii1 21963	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) )
93		iihalf1 21959	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
94	92, 93	sylbir 217	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
95	94	adantll 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
96	4, 11	phtpyhtpy 22013	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( F ( II Htpy J ) H ) )
97	96, 13	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( F ( II Htpy J ) H ) )
98	39, 4, 11, 97	htpyi 22005	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
99	91, 95, 98	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
100	99	simpld 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
101		iftrue 3887	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
102	101	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
103		iftrue 3887	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
104	103	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
105	100, 102, 104	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
106		simpll 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
107		elii2 21964	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
108	107	adantll 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
109		iihalf2 21961	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
111	8, 12	phtpyhtpy 22013	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( G ( II Htpy J ) K ) )
112	111, 16	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( G ( II Htpy J ) K ) )
113	39, 8, 12, 112	htpyi 22005	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
114	106, 110, 113	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
115	114	simpld 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
116		iffalse 3890	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
117	116	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
118		iffalse 3890	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
119	118	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
120	115, 117, 119	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
121	105, 120	pm2.61dan 800	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
122		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
123		0elunit 11750	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
124		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> x = s )
125	124	breq1d 4412	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
126	124	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
127		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> y = 0 )
128	126, 127	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
129	126	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
130	129, 127	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
131	125, 128, 130	ifbieq12d 3908	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
132		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 0 ) e. _V
133		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) e. _V
134	132, 133	ifex 3949	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) e. _V
135	131, 21, 134	ovmpt2a 6427	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
136	122, 123, 135	sylancl 668	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
137	4, 8	pcovalg 22043	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
138	121, 136, 137	3eqtr4d 2495	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) )
139	99	simprd 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
140		iftrue 3887	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
141	140	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
142		iftrue 3887	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
143	142	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
144	139, 141, 143	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
145	114	simprd 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
146		iffalse 3890	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
147	146	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
148		iffalse 3890	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
149	148	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
150	145, 147, 149	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
151	144, 150	pm2.61dan 800	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
152		1elunit 11751	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
153		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> x = s )
154	153	breq1d 4412	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
155	153	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
156		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> y = 1 )
157	155, 156	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
158	155	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
159	158, 156	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
160	154, 157, 159	ifbieq12d 3908	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
161		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 1 ) e. _V
162		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) e. _V
163	161, 162	ifex 3949	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) e. _V
164	160, 21, 163	ovmpt2a 6427	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
165	122, 152, 164	sylancl 668	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
166	11, 12	pcovalg 22043	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
167	151, 165, 166	3eqtr4d 2495	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) )
168	4, 11, 13	phtpyi 22015	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M s ) = ( F ` 1 ) ) )
169	168	simpld 461	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) )
170		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x = 0 )
171	170, 31	syl6eqbr 4440	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
172	171	iftrued 3889	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
173	170	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
174		2t0e0 10765	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 0 ) = 0
175	173, 174	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 0 )
176		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> y = s )
177	175, 176	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 0 M s ) )
178	172, 177	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 0 M s ) )
179		ovex 6318	. . . . 5 |- ( 0 M s ) e. _V
180	178, 21, 179	ovmpt2a 6427	. . . 4 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
181	123, 122, 180	sylancr 669	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
182	4, 8	pco0 22045	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
183	182	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
184	169, 181, 183	3eqtr4d 2495	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) )
185	8, 12, 16	phtpyi 22015	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N s ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) ) )
186	185	simprd 465	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) )
187	28, 32	ltnlei 9755	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
188	33, 187	mpbi 212	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
189		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> x = 1 )
190	189	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
191	188, 190	mtbiri 305	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
192	191	iffalsed 3892	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
193	189	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
194		2t1e2 10758	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 1 ) = 2
195	193, 194	syl6eq 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 2 )
196	195	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
197		2m1e1 10724	. . . . . . . 8 |- ( 2 - 1 ) = 1
198	196, 197	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
199		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> y = s )
200	198, 199	oveq12d 6308	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 1 N s ) )
201	192, 200	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 1 N s ) )
202		ovex 6318	. . . . 5 |- ( 1 N s ) e. _V
203	201, 21, 202	ovmpt2a 6427	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
204	152, 122, 203	sylancr 669	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
205	4, 8	pco1 22046	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
206	205	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
207	186, 204, 206	3eqtr4d 2495	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) )
208	10, 20, 90, 138, 167, 184, 207	isphtpy2d 22018	1 |- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ↾_t crest 15319   topGenctg 15336  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   tX ctx 20575   IIcii 21907   Htpy chtpy 21998   PHtpycphtpy 21999   ~=ph cphtpc 22000   *pcpco 22031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-ii 21909  df-htpy 22001  df-phtpy 22002  df-phtpc 22023  df-pco 22036

This theorem is referenced by:  pcohtpy  22051