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Theorem pcohtpylem 20591
Description: Lemma for pcohtpy 20592. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcohtpy.5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
pcohtpy.6  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
pcohtpylem.7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
pcohtpylem.9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, G, y    x, H, y    x, J, y   
x, K, y
Allowed substitution hints:    P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables  s 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
2 isphtpc 20566 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  H  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  H  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
43simp1d 1000 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 pcohtpy.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
6 isphtpc 20566 . . . . 5  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  <->  ( G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  K  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( G
( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  K  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G (
PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
87simp1d 1000 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcohtpy.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
104, 8, 9pcocn 20589 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
113simp2d 1001 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
127simp2d 1001 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
144, 11, 13phtpy01 20557 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( H `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( H `  1 ) ) )
1514simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
178, 12, 16phtpy01 20557 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
0 )  =  ( K `  0 )  /\  ( G ` 
1 )  =  ( K `  1 ) ) )
1817simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( K `
 0 ) )
199, 15, 183eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( K `
 0 ) )
2011, 12, 19pcocn 20589 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( *p
`  J ) K )  e.  ( II 
Cn  J ) )
21 pcohtpylem.7 . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )
22 eqid 2443 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
24 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
25 dfii2 20458 . . . 4  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
26 0red 9387 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
27 1red 9401 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
28 halfre 10540 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
29 0re 9386 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
30 halfgt0 10542 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3129, 28, 30ltleii 9497 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
32 1re 9385 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
33 halflt1 10543 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3428, 32, 33ltleii 9497 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
3529, 32elicc2i 11361 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
3628, 31, 34, 35mpbir3an 1170 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
3736a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
38 iitopon 20455 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
409adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
414, 11, 13phtpyi 20556 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 M y )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 M y )  =  ( F `
 1 ) ) )
4241simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 M y )  =  ( F ` 
1 ) )
4342adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1 M y )  =  ( F `
 1 ) )
448, 12, 16phtpyi 20556 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 N y )  =  ( G `
 0 )  /\  ( 1 N y )  =  ( G `
 1 ) ) )
4544simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 N y )  =  ( G ` 
0 ) )
4645adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0 N y )  =  ( G `
 0 ) )
4740, 43, 463eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1 M y )  =  ( 0 N y ) )
48 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  x  =  ( 1  /  2 ) )
4948oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
50 2cn 10392 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
51 2ne0 10414 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
5250, 51recidi 10062 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5349, 52syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  1 )
5453oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( 1 M y ) )
5553oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
56 1m1e0 10390 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5755, 56syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  1 )  =  0 )
5857oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y )  =  ( 0 N y ) )
5947, 54, 583eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )
60 retopon 20342 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
61 iccssre 11377 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
6229, 28, 61mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
63 resttopon 18765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6460, 62, 63mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6665, 39cnmpt1st 19241 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
6723iihalf1cn 20504 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  z ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  z
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
69 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
2  x.  z )  =  ( 2  x.  x ) )
7065, 39, 66, 65, 68, 69cnmpt21 19244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
7165, 39cnmpt2nd 19242 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
724, 11phtpycn 20555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H ) 
C_  ( ( II 
tX  II )  Cn  J ) )
7372, 13sseldd 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
7465, 39, 70, 71, 73cnmpt22f 19248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x ) M y ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  J
) )
75 iccssre 11377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
7628, 32, 75mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
77 resttopon 18765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
7860, 76, 77mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
8079, 39cnmpt1st 19241 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
8124iihalf2cn 20506 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  z )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
8281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  z )  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
8369oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( 2  x.  z
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
8479, 39, 80, 79, 82, 83cnmpt21 19244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
8579, 39cnmpt2nd 19242 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
868, 12phtpycn 20555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K ) 
C_  ( ( II 
tX  II )  Cn  J ) )
8786, 16sseldd 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
8879, 39, 84, 85, 87cnmpt22f 19248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  J
) )
8922, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 39, 59, 74, 88cnmpt2pc 20500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
9021, 89syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
91 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  ph )
92 elii1 20507 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( s  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  s  <_  ( 1  /  2 ) ) )
93 iihalf1 20503 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9492, 93sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9594adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
964, 11phtpyhtpy 20554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) H ) )
9796, 13sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( II Htpy  J ) H ) )
9839, 4, 11, 97htpyi 20546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2  x.  s ) M 0 )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) )  /\  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) ) )
9991, 95, 98syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( ( 2  x.  s ) M 0 )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) )  /\  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) ) )
10099simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  s
) M 0 )  =  ( F `  ( 2  x.  s
) ) )
101 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) )
102101adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) )
103 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) ) )
104103adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) ) )
105100, 102, 1043eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
106 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  ph )
107 elii2 20508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  s  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  s  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
108107adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
109 iihalf2 20505 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  s
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  s )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1118, 12phtpyhtpy 20554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K ) 
C_  ( G ( II Htpy  J ) K ) )
112111, 16sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( II Htpy  J ) K ) )
11339, 8, 12, 112htpyi 20546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
2  x.  s )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) )  /\  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
114106, 110, 113syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 )  =  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  /\  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 )  =  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
115114simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
116 iffalse 3799 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )
117116adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )
118 iffalse 3799 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
119118adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
120115, 117, 1193eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
121105, 120pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
122 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1
) )
123 0elunit 11403 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
124 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  x  =  s )
125124breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  s  <_  (
1  /  2 ) ) )
126124oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
127 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  y  =  0 )
128126, 127oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( 2  x.  s
) M 0 ) )
129126oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )
130129, 127oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )
131125, 128, 130ifbieq12d 3816 . . . . 5  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  if ( s  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 ) ) )
132 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  s ) M 0 )  e. 
_V
133 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 )  e. 
_V
134132, 133ifex 3858 . . . . 5  |-  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )  e.  _V
135131, 21, 134ovmpt2a 6221 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s P 0 )  =  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) ) )
136122, 123, 135sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 0 )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  s
) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) ) )
1374, 8pcovalg 20584 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  s )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
138121, 136, 1373eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 0 )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  s ) )
13999simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  s
) M 1 )  =  ( H `  ( 2  x.  s
) ) )
140 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) )
141140adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) )
142 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) )
143142adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) )
144139, 141, 1433eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
145114simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
146 iffalse 3799 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )
147146adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )
148 iffalse 3799 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
149148adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
150145, 147, 1493eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
151144, 150pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
152 1elunit 11404 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
153 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  x  =  s )
154153breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  s  <_  (
1  /  2 ) ) )
155153oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
156 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  y  =  1 )
157155, 156oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( 2  x.  s
) M 1 ) )
158155oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )
159158, 156oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )
160154, 157, 159ifbieq12d 3816 . . . . 5  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  if ( s  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 ) ) )
161 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  e. 
_V
162 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 )  e. 
_V
163161, 162ifex 3858 . . . . 5  |-  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )  e.  _V
164160, 21, 163ovmpt2a 6221 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s P 1 )  =  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) ) )
165122, 152, 164sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 1 )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  s
) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) ) )
16611, 12pcovalg 20584 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H ( *p
`  J ) K ) `  s )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s ) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
167151, 165, 1663eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 1 )  =  ( ( H ( *p `  J
) K ) `  s ) )
1684, 11, 13phtpyi 20556 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 M s )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 M s )  =  ( F `
 1 ) ) )
169168simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 M s )  =  ( F ` 
0 ) )
170 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  x  =  0 )
171170, 31syl6eqbr 4329 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  x  <_  (
1  /  2 ) )
172 iftrue 3797 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )  =  ( ( 2  x.  x ) M y ) )
173171, 172syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( 2  x.  x ) M y ) )
174170oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
175 2t0e0 10477 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
176174, 175syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  0 )
177 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  y  =  s )
178176, 177oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( 0 M s ) )
179173, 178eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( 0 M s ) )
180 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( 0 M s )  e. 
_V
181179, 21, 180ovmpt2a 6221 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 P s )  =  ( 0 M s ) )
182123, 122, 181sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 P s )  =  ( 0 M s ) )
1834, 8pco0 20586 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
184183adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
185169, 182, 1843eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 P s )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) ` 
0 ) )
1868, 12, 16phtpyi 20556 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 N s )  =  ( G `
 0 )  /\  ( 1 N s )  =  ( G `
 1 ) ) )
187186simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 N s )  =  ( G ` 
1 ) )
18828, 32ltnlei 9495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
18933, 188mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
190 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  x  =  1 )
191190breq1d 4302 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  1  <_  (
1  /  2 ) ) )
192189, 191mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )
193 iffalse 3799 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )
194192, 193syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) )
195190oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
196 2t1e2 10470 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
197195, 196syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  2 )
198197oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( 2  -  1 ) )
199 2m1e1 10436 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
200198, 199syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  1 )
201 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  y  =  s )
202200, 201oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( 1 N s ) )
203194, 202eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( 1 N s ) )
204 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( 1 N s )  e. 
_V
205203, 21, 204ovmpt2a 6221 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 P s )  =  ( 1 N s ) )
206152, 122, 205sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 P s )  =  ( 1 N s ) )
2074, 8pco1 20587 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
208207adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  1 )  =  ( G ` 
1 ) )
209187, 206, 2083eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 P s )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) ` 
1 ) )
21010, 20, 90, 138, 167, 185, 209isphtpy2d 20559 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   2c2 10371   (,)cioo 11300   [,]cicc 11303   ↾t crest 14359   topGenctg 14376  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828    tX ctx 19133   IIcii 20451   Htpy chtpy 20539   PHtpycphtpy 20540    ~=ph cphtpc 20541   *pcpco 20572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-htpy 20542  df-phtpy 20543  df-phtpc 20564  df-pco 20577
This theorem is referenced by:  pcohtpy  20592
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