Theorem pcohtpylem 21282

Description: Lemma for pcohtpy 21283. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcohtpy.5	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
pcohtpy.6	|- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
pcohtpylem.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8	|- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
pcohtpylem.9	|- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )

Assertion

Ref	Expression
pcohtpylem	|- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
2		isphtpc 21257	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) H <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 1008	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		pcohtpy.6	. . . . 5 |- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
6		isphtpc 21257	. . . . 5 |- ( G ( ~=ph ` J ) K <-> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
8	7	simp1d 1008	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		pcohtpy.4	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
10	4, 8, 9	pcocn 21280	. 2 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
11	3	simp2d 1009	. . 3 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
12	7	simp2d 1009	. . 3 |- ( ph -> K e. ( II Cn J ) )
13		pcohtpylem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
14	4, 11, 13	phtpy01 21248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
15	14	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
16		pcohtpylem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
17	8, 12, 16	phtpy01 21248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
18	17	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) )
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2516	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( K ` 0 ) )
20	11, 12, 19	pcocn 21280	. 2 |- ( ph -> ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) )
21		pcohtpylem.7	. . 3 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
22		eqid 2467	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
23		eqid 2467	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
24		eqid 2467	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
25		dfii2 21149	. . . 4 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
26		0red 9597	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
27		1red 9611	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
28		halfre 10754	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
29		0re 9596	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
30		halfgt0 10756	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 2 )
31	29, 28, 30	ltleii 9707	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
32		1re 9595	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
33		halflt1 10757	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
34	28, 32, 33	ltleii 9707	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
35	29, 32	elicc2i 11590	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
36	28, 31, 34, 35	mpbir3an 1178	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38		iitopon 21146	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
40	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
41	4, 11, 13	phtpyi 21247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M y ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) ) )
42	41	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
43	42	adantrl 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
44	8, 12, 16	phtpyi 21247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N y ) = ( G ` 1 ) ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
46	45	adantrl 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2518	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( 0 N y ) )
48		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> x = ( 1 / 2 ) )
49	48	oveq2d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
50		2cn 10606	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
51		2ne0 10628	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
52	50, 51	recidi 10275	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
53	49, 52	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = 1 )
54	53	oveq1d 6299	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 1 M y ) )
55	53	oveq1d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
56		1m1e0 10604	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
57	55, 56	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 0 )
58	57	oveq1d 6299	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 0 N y ) )
59	47, 54, 58	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
60		retopon 21033	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
61		iccssre 11606	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
62	29, 28, 61	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
63		resttopon 19456	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
64	60, 62, 63	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
66	65, 39	cnmpt1st 19932	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
67	23	iihalf1cn 21195	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
69		oveq2 6292	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. x ) )
70	65, 39, 66, 65, 68, 69	cnmpt21 19935	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
71	65, 39	cnmpt2nd 19933	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
72	4, 11	phtpycn 21246	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
73	72, 13	sseldd 3505	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
74	65, 39, 70, 71, 73	cnmpt22f 19939	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) M y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn J ) )
75		iccssre 11606	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
76	28, 32, 75	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
77		resttopon 19456	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
78	60, 76, 77	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
80	79, 39	cnmpt1st 19932	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
81	24	iihalf2cn 21197	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
82	81	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
83	69	oveq1d 6299	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( 2 x. z ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
84	79, 39, 80, 79, 82, 83	cnmpt21 19935	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
85	79, 39	cnmpt2nd 19933	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
86	8, 12	phtpycn 21246	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
87	86, 16	sseldd 3505	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
88	79, 39, 84, 85, 87	cnmpt22f 19939	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn J ) )
89	22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 39, 59, 74, 88	cnmpt2pc 21191	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
90	21, 89	syl5eqel 2559	. 2 |- ( ph -> P e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
91		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
92		elii1 21198	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) )
93		iihalf1 21194	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
94	92, 93	sylbir 213	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
95	94	adantll 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
96	4, 11	phtpyhtpy 21245	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( F ( II Htpy J ) H ) )
97	96, 13	sseldd 3505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( F ( II Htpy J ) H ) )
98	39, 4, 11, 97	htpyi 21237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
99	91, 95, 98	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
100	99	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
101		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
102	101	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
103		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
104	103	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
105	100, 102, 104	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
106		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
107		elii2 21199	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
108	107	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
109		iihalf2 21196	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
110	108, 109	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
111	8, 12	phtpyhtpy 21245	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( G ( II Htpy J ) K ) )
112	111, 16	sseldd 3505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( G ( II Htpy J ) K ) )
113	39, 8, 12, 112	htpyi 21237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
114	106, 110, 113	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
115	114	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
116		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
117	116	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
118		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
119	118	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
120	115, 117, 119	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
121	105, 120	pm2.61dan 789	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
122		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
123		0elunit 11638	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
124		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> x = s )
125	124	breq1d 4457	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
126	124	oveq2d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
127		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> y = 0 )
128	126, 127	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
129	126	oveq1d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
130	129, 127	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
131	125, 128, 130	ifbieq12d 3966	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
132		ovex 6309	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 0 ) e. _V
133		ovex 6309	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) e. _V
134	132, 133	ifex 4008	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) e. _V
135	131, 21, 134	ovmpt2a 6417	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
136	122, 123, 135	sylancl 662	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
137	4, 8	pcovalg 21275	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
138	121, 136, 137	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) )
139	99	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
140		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
141	140	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
142		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
143	142	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
144	139, 141, 143	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
145	114	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
146		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
147	146	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
148		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
149	148	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
150	145, 147, 149	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
151	144, 150	pm2.61dan 789	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
152		1elunit 11639	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
153		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> x = s )
154	153	breq1d 4457	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
155	153	oveq2d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
156		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> y = 1 )
157	155, 156	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
158	155	oveq1d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
159	158, 156	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
160	154, 157, 159	ifbieq12d 3966	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
161		ovex 6309	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 1 ) e. _V
162		ovex 6309	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) e. _V
163	161, 162	ifex 4008	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) e. _V
164	160, 21, 163	ovmpt2a 6417	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
165	122, 152, 164	sylancl 662	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
166	11, 12	pcovalg 21275	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
167	151, 165, 166	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) )
168	4, 11, 13	phtpyi 21247	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M s ) = ( F ` 1 ) ) )
169	168	simpld 459	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) )
170		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x = 0 )
171	170, 31	syl6eqbr 4484	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
172		iftrue 3945	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
173	171, 172	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
174	170	oveq2d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
175		2t0e0 10691	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 0 ) = 0
176	174, 175	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 0 )
177		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> y = s )
178	176, 177	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 0 M s ) )
179	173, 178	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 0 M s ) )
180		ovex 6309	. . . . 5 |- ( 0 M s ) e. _V
181	179, 21, 180	ovmpt2a 6417	. . . 4 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
182	123, 122, 181	sylancr 663	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
183	4, 8	pco0 21277	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
184	183	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
185	169, 182, 184	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) )
186	8, 12, 16	phtpyi 21247	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N s ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) ) )
187	186	simprd 463	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) )
188	28, 32	ltnlei 9705	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
189	33, 188	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
190		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> x = 1 )
191	190	breq1d 4457	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
192	189, 191	mtbiri 303	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
193		iffalse 3948	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
194	192, 193	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
195	190	oveq2d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
196		2t1e2 10684	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 1 ) = 2
197	195, 196	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 2 )
198	197	oveq1d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
199		2m1e1 10650	. . . . . . . 8 |- ( 2 - 1 ) = 1
200	198, 199	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
201		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> y = s )
202	200, 201	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 1 N s ) )
203	194, 202	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 1 N s ) )
204		ovex 6309	. . . . 5 |- ( 1 N s ) e. _V
205	203, 21, 204	ovmpt2a 6417	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
206	152, 122, 205	sylancr 663	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
207	4, 8	pco1 21278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
208	207	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
209	187, 206, 208	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) )
210	10, 20, 90, 138, 167, 185, 209	isphtpy2d 21250	1 |- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   |-> cmpt2 6286   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   2c2 10585   (,)cioo 11529   [,]cicc 11532   ↾_t crest 14676   topGenctg 14693  TopOnctopon 19190   Cn ccn 19519   tX ctx 19824   IIcii 21142   Htpy chtpy 21230   PHtpycphtpy 21231   ~=ph cphtpc 21232   *pcpco 21263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-ii 21144  df-htpy 21233  df-phtpy 21234  df-phtpc 21255  df-pco 21268

This theorem is referenced by:  pcohtpy  21283