MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpy Structured version   Unicode version

Theorem pcohtpy 21388
Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcohtpy.5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
pcohtpy.6  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
Assertion
Ref Expression
pcohtpy  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( H ( *p `  J ) K ) )

Proof of Theorem pcohtpy
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
2 isphtpc 21362 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  H  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  H  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
43simp1d 1008 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 pcohtpy.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
6 isphtpc 21362 . . . . 5  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  <->  ( G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  K  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( G
( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  K  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G (
PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
87simp1d 1008 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcohtpy.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
104, 8, 9pcocn 21385 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
113simp2d 1009 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
127simp2d 1009 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 phtpc01 21364 . . . . . 6  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  ->  ( ( F `  0 )  =  ( H ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( H ` 
1 ) ) )
141, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( H `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( H `  1 ) ) )
1514simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
16 phtpc01 21364 . . . . . 6  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  ->  ( ( G `  0 )  =  ( K ` 
0 )  /\  ( G `  1 )  =  ( K ` 
1 ) ) )
175, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
0 )  =  ( K `  0 )  /\  ( G ` 
1 )  =  ( K `  1 ) ) )
1817simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( K `
 0 ) )
199, 15, 183eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( K `
 0 ) )
2011, 12, 19pcocn 21385 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( *p
`  J ) K )  e.  ( II 
Cn  J ) )
213simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) )
22 n0 3799 . . . . 5  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) H )  =/=  (/) 
<->  E. m  m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
2321, 22sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. m  m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
247simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) )
25 n0 3799 . . . . 5  |-  ( ( G ( PHtpy `  J
) K )  =/=  (/) 
<->  E. n  n  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
2624, 25sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  n  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
27 eeanv 1957 . . . 4  |-  ( E. m E. n ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )  <->  ( E. m  m  e.  ( F
( PHtpy `  J ) H )  /\  E. n  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )
2823, 26, 27sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  E. m E. n
( m  e.  ( F ( PHtpy `  J
) H )  /\  n  e.  ( G
( PHtpy `  J ) K ) ) )
299adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  ( F `  1 )  =  ( G `  0
) )
301adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  F (  ~=ph  `  J ) H )
315adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  G (  ~=ph  `  J ) K )
32 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) n y ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) n y ) ) )
33 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  m  e.  ( F ( PHtpy `  J
) H ) )
34 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) )
3529, 30, 31, 32, 33, 34pcohtpylem 21387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) n y ) ) )  e.  ( ( F ( *p `  J
) G ) (
PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J ) K ) ) )
36 ne0i 3796 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) n y ) ) )  e.  ( ( F ( *p
`  J ) G ) ( PHtpy `  J
) ( H ( *p `  J ) K ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J
) K ) )  =/=  (/) )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) )  =/=  (/) )
3837ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) )  ->  ( ( F ( *p `  J
) G ) (
PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J ) K ) )  =/=  (/) ) )
3938exlimdvv 1701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m E. n ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) )  ->  ( ( F ( *p `  J
) G ) (
PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J ) K ) )  =/=  (/) ) )
4028, 39mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J
) K ) )  =/=  (/) )
41 isphtpc 21362 . 2  |-  ( ( F ( *p `  J ) G ) (  ~=ph  `  J ) ( H ( *p
`  J ) K )  <->  ( ( F ( *p `  J
) G )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( H
( *p `  J
) K )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) )  =/=  (/) ) )
4210, 20, 40, 41syl3anbrc 1180 1  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( H ( *p `  J ) K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   2c2 10597   [,]cicc 11544    Cn ccn 19593   IIcii 21247   PHtpycphtpy 21336    ~=ph cphtpc 21337   *pcpco 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-ii 21249  df-htpy 21338  df-phtpy 21339  df-phtpc 21360  df-pco 21373
This theorem is referenced by:  pcophtb  21397  pi1cpbl  21412  pi1xfrf  21421  pi1xfr  21423  pi1xfrcnvlem  21424
  Copyright terms: Public domain W3C validator