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Theorem pcoass 21502
Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoass.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcoass.6  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( H `
 0 ) )
pcoass.7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pcoass  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, J    ph, x
Allowed substitution hint:    P( x)

Proof of Theorem pcoass
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  ( 1  / 
4 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  ( 1  / 
4 )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
32adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
4 2cn 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
6 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
75, 6elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <_  1
) )
87simp1bi 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  RR )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  RR )
109recnd 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  CC )
11 mulcom 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  =  ( x  x.  2 ) )
124, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  ( x  x.  2 ) )
137simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  x )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
0  <_  x )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  <_  ( 1  / 
4 ) )
16 4nn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN
17 nnrecre 10579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
195, 18elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <_  (
1  /  4 ) ) )
209, 14, 15, 19syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) ) )
21 2rp 11236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
224mul02i 9772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  x.  2 )  =  0
2318recni 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
24232timesi 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
25 2ne0 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
26 recdiv2 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  /  2
)  =  ( 1  /  ( 2  x.  2 ) ) )
274, 25, 4, 25, 26mp4an 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  /  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  (
2  x.  2 ) )
28 2t2e4 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2928oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  4
)
3027, 29eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  4
)
3130, 30oveq12i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  2
)  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
32 halfcn 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
33 2halves 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( 1  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  2
)  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
3531, 34eqtr3i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
3624, 35eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
374, 23, 36mulcomli 9606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  x.  2 )  =  ( 1  /  2
)
385, 18, 21, 22, 37iccdili 11670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
3920, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( x  x.  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
4012, 39eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
41 pcoass.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
42 pcoass.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
43 pcoass.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
44 pcoass.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( H `
 0 ) )
4542, 43, 44pcocn 21495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ( *p
`  J ) H )  e.  ( II 
Cn  J ) )
4641, 45pcoval1 21491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( F `  ( 2  x.  (
2  x.  x ) ) ) )
4741, 42pcoval1 21491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( F `  ( 2  x.  (
2  x.  x ) ) ) )
4846, 47eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
4940, 48sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  4 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
5049anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
513, 50eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
5251adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  x  <_ 
( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
53 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  ph )
548ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  RR )
56 letric 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4
)  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  4
)  \/  ( 1  /  4 )  <_  x ) )
5754, 18, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
x  <_  ( 1  /  4 )  \/  ( 1  /  4
)  <_  x )
)
5857orcanai 913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  x )
59 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
60 halfre 10761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6118, 60elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4 )  <_  x  /\  x  <_  (
1  /  2 ) ) )
6255, 58, 59, 61syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )
6361simp1bi 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
64 readdcl 9578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4
)  e.  RR )  ->  ( x  +  ( 1  /  4
) )  e.  RR )
6563, 18, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  RR )
6618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
6761simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  x )
6866, 63, 66, 67leadd1dd 10173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( 1  /  4 ) )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) ) )
6935, 68syl5eqbrr 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) ) )
7060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7161simp3bi 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
72 2lt4 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <  4
73 2re 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
74 4re 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
75 2pos 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
76 4pos 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  4
7773, 74, 75, 76ltrecii 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  4  <->  ( 1  /  4 )  < 
( 1  /  2
) )
7872, 77mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  4 )  < 
( 1  /  2
)
7918, 60, 78ltleii 9710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  <_ 
( 1  /  2
)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  ( 1  / 
2 ) )
8163, 66, 70, 70, 71, 80le2addd 10177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
82 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
83 2halves 10774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8581, 84syl6breq 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  1 )
8660, 6elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) )  /\  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  1 ) )
8765, 69, 85, 86syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
8862, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
89 pcoass.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
9042, 43pco0 21492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G ( *p `  J ) H ) `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
9189, 90eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( ( G ( *p `  J ) H ) `
 0 ) )
9241, 45, 91pcoval2 21494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  ( 1  / 
4 ) )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 ) ) )
9353, 88, 92syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 ) ) )
9484oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )
95 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  2  e.  CC )
9655recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  CC )
9723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
9895, 96, 97adddid 9623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  (
1  /  4 ) ) ) )
9936oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  ( 1  /  4
) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2 ) )
10098, 99syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2
) ) )
101100oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
10294, 101syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
103 remulcl 9580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  RR )
10473, 55, 103sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  RR )
105104recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
10632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
107105, 106, 106pnpcan2d 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  /  2
) ) )
108102, 107eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  /  2
) ) )
109108fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
1104, 96, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  =  ( x  x.  2 ) )
11182, 4, 25divcan1i 10295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
11218, 60, 21, 37, 111iccdili 11670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
11362, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
114110, 113eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
11532subidi 9895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  0
116 1mhlfehlf 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
11760, 6, 60, 115, 116iccshftli 11668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
118114, 117syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
11942, 43pcoval1 21491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( 2  x.  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
12053, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( 2  x.  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
12195, 105, 106subdid 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  -  ( 2  x.  (
1  /  2 ) ) ) )
1224, 25recidi 10282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
123122oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  -  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 )
124121, 123syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  - 
1 ) )
125124fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  ( G `  ( 2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  (
1  /  2 ) ) ) )  =  ( G `  (
( 2  x.  (
2  x.  x ) )  -  1 ) ) )
126120, 125eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
12793, 109, 1263eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
128 iffalse 3935 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  4 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )
129128fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  4 )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) )
130129adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) )
13141, 42, 89pcoval2 21494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
13253, 114, 131syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
133127, 130, 1323eqtr4d 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
13452, 133pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
135 iftrue 3932 . . . . . . . 8  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
136135fveq2d 5860 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
137136adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
138 iftrue 3932 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
139138adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
140134, 137, 1393eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
141 elii2 21414 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
142 halfgt0 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1435, 60, 142ltleii 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
144 halflt1 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  <  1
14560, 6, 144ltleii 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
1465, 6elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
14760, 143, 145, 146mpbir3an 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
148 1elunit 11650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
149 iccss2 11606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  (
0 [,] 1 ) )
150147, 148, 149mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
151150sseli 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
1524, 25div0i 10285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  /  2 )  =  0
153 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
1545, 6, 21, 152, 153icccntri 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  /  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
15532addid2i 9771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
1565, 60, 60, 155, 84iccshftri 11666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
157151, 154, 1563syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
15841, 45, 91pcoval2 21494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 ) ) )
159157, 158sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 ) ) )
16060, 6elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  1
) )
161160simp1bi 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  RR )
162161recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  CC )
16382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  1  e.  CC )
164 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  2  e.  CC )
16525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  2  =/=  0 )
166162, 163, 164, 165divdird 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  +  1 )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
167166oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  +  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
168 peano2cn 9755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
169162, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
170169, 164, 165divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  +  1 )  /  2 ) )  =  ( x  + 
1 ) )
171167, 170eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( x  + 
1 ) )
172171oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( x  +  1 )  - 
1 ) )
173 pncan 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
1 )  -  1 )  =  x )
174162, 82, 173sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  +  1 )  -  1 )  =  x )
175172, 174eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 )  =  x )
176175fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  x ) )
177176adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  x ) )
17842, 43, 44pcoval2 21494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  x )  =  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
179159, 177, 1783eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
180141, 179sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
181180anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
182 iffalse 3935 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )
183182fveq2d 5860 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
184183adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
185 iffalse 3935 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
186185adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
187181, 184, 1863eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
188140, 187pm2.61dan 791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
189188mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( H `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
190 pcoass.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
191 iitopon 21361 . . . . . . . . 9  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
192191a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
193192cnmptid 20140 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
194 0elunit 11649 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
195194a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
196192, 192, 195cnmptc 20141 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
197 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
198 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
199 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
200 dfii2 21364 . . . . . . . . 9  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
201 0red 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
202 1red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
203147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
204 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
205204oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )
20632, 23addcomi 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  2 ) )
207205, 206syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
20818, 60ltnlei 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  <  ( 1  / 
2 )  <->  -.  (
1  /  2 )  <_  ( 1  / 
4 ) )
20978, 208mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
1  /  2 )  <_  ( 1  / 
4 )
210204breq1d 4447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  <_  (
1  /  4 )  <-> 
( 1  /  2
)  <_  ( 1  /  4 ) ) )
211209, 210mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  -.  y  <_  ( 1  /  4 ) )
212211iffalsed 3937 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
213204oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  2 ) )
214213, 30syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  /  2
)  =  ( 1  /  4 ) )
215214oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
216207, 212, 2153eqtr4d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
217 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )
218 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )
21960a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
22074, 76recgt0ii 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  4
)
2215, 18, 220ltleii 9710 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
2225, 60elicc2i 11601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( (
1  /  4 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
22318, 221, 79, 222mpbir3an 1179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  4 )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
224223a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
225 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  4 ) )
226225oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) ) )
227225oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )
22824, 226, 2273eqtr4a 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
229 retopon 21248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
230 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
23160rexri 9649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e. 
RR*
232 lbicc2 11647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
1  /  2 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  2
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
233230, 231, 143, 232mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
234 iccss2 11606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  ( 1  /  4
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  C_  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
235233, 223, 234mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
236 iccssre 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
2375, 60, 236mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
238235, 237sstri 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  RR
239 resttopon 19640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  4 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
240229, 238, 239mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )
241240a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
242241, 192cnmpt1st 20147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) ) ) )
243 retop 21246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
244 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V
245 restabs 19644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  /\  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
246243, 235, 244, 245mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )
247246eqcomi 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )
248 resttopon 19640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
249229, 237, 248mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
250249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
251235a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] (
1  /  4 ) )  C_  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
252198iihalf1cn 21410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
254247, 250, 251, 253cnmpt1res 20155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  Cn  II ) )
255 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
256241, 192, 242, 241, 254, 255cnmpt21 20150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  y
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
257 iccssre 11617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
25818, 60, 257mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
259 resttopon 19640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) ) )
260229, 258, 259mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) ) )
262261, 192cnmpt1st 20147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
263 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
264258a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )
265 unitssre 11678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
267150, 87sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
268267adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
269263cnfldtopon 21268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
271270cnmptid 20140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
27218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
273272recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  CC )
274270, 270, 273cnmptc 20141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  /  4
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
275263addcn 21347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
276275a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
277270, 271, 274, 276cnmpt12f 20145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  +  (
1  /  4 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
278263, 218, 200, 264, 266, 268, 277cnmptre 21405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
279 oveq1 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( y  +  ( 1  /  4
) ) )
280261, 192, 262, 261, 278, 279cnmpt21 20150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
281197, 217, 218, 198, 201, 219, 224, 192, 228, 256, 280cnmpt2pc 21406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
282 iccssre 11617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
28360, 6, 282mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
284 resttopon 19640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
285229, 283, 284mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
286285a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
287286, 192cnmpt1st 20147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
288283a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
289150, 157sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
290289adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
291263divccn 21355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
2924, 25, 291mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
293292a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
29432a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
295270, 270, 294cnmptc 20141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
296270, 293, 295, 276cnmpt12f 20145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
297263, 199, 200, 288, 266, 290, 296cnmptre 21405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
298 oveq1 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  /  2 )  =  ( y  / 
2 ) )
299298oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
300286, 192, 287, 286, 297, 299cnmpt21 20150 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( y  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
301197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 216, 281, 300cnmpt2pc 21406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( y  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y
) ,  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II ) )
302 breq1 4440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  y  <_  ( 1  /  2 ) ) )
303 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  ( 1  /  4 )  <->  y  <_  ( 1  /  4 ) ) )
304303, 255, 279ifbieq12d 3953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4
) ) ) )
305302, 304, 299ifbieq12d 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
306305equcoms 1781 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
307306adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( y  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y
) ,  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
308307eqcomd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
309192, 193, 196, 192, 192, 301, 308cnmpt12 20146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
310190, 309syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( II 
Cn  II ) )
311 iiuni 21363 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
312311, 311cnf 19725 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( II  Cn  II )  ->  P :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] 1 ) )
313310, 312syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
314190fmpt 6037 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <-> 
P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
315313, 314sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
316190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
31741, 45, 91pcocn 21495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
318 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
319311, 318cnf 19725 . . . . . 6  |-  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) )  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
320317, 319syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
321320feqmptd 5911 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 y ) ) )
322 fveq2 5856 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  y
)  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
323315, 316, 321, 322fmptcof 6050 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) )  o.  P
)  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) ) )
32441, 42, 89pcocn 21495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
325324, 43pcoval 21489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
326189, 323, 3253eqtr4rd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) )  o.  P ) )
327 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
328327, 143syl6eqbr 4474 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
329328iftrued 3934 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
330327, 221syl6eqbr 4474 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  4
) )
331330iftrued 3934 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
332 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
333 2t0e0 10698 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
334332, 333syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
335329, 331, 3343eqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  0 )
336 c0ex 9593 . . . . 5  |-  0  e.  _V
337335, 190, 336fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( P `  0 )  =  0 )
338195, 337syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  0 )
339148a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
34060, 6ltnlei 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
341144, 340mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
342 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
343341, 342mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
344343iffalsed 3937 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
345 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
346345oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
347346, 84syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
348344, 347eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  1 )
349 1ex 9594 . . . . 5  |-  1  e.  _V
350348, 190, 349fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( P `  1 )  =  1 )
351339, 350syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  1
)  =  1 )
352317, 310, 338, 351reparpht 21476 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) )  o.  P
) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
353326, 352eqbrtrd 4457 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ifcif 3926   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ran crn 4990    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   4c4 10594   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543   ↾t crest 14800   TopOpenctopn 14801   topGenctg 14817  ℂfldccnfld 18399   Topctop 19372  TopOnctopon 19373    Cn ccn 19703    tX ctx 20039   IIcii 21357    ~=ph cphtpc 21447   *pcpco 21478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-ii 21359  df-htpy 21448  df-phtpy 21449  df-phtpc 21470  df-pco 21483
This theorem is referenced by:  pcophtb  21507  pi1grplem  21527  pi1xfr  21533  pi1xfrcnvlem  21534
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