MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoass Unicode version

Theorem pcoass 19002
Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoass.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcoass.6  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( H `
 0 ) )
pcoass.7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pcoass  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, J    ph, x
Allowed substitution hint:    P( x)

Proof of Theorem pcoass
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  ( 1  / 
4 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  ( 1  / 
4 )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
32adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
4 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
6 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
75, 6elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <_  1
) )
87simp1bi 972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  RR )
109recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  CC )
11 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  =  ( x  x.  2 ) )
124, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  ( x  x.  2 ) )
137simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  x )
1413adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
0  <_  x )
15 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  <_  ( 1  / 
4 ) )
16 4nn 10091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN
17 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
195, 18elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <_  (
1  /  4 ) ) )
209, 14, 15, 19syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) ) )
21 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
224mul02i 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  x.  2 )  =  0
2318recni 9058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
24232timesi 10057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
25 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
26 recdiv2 9683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  /  2
)  =  ( 1  /  ( 2  x.  2 ) ) )
274, 25, 4, 25, 26mp4an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  /  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  (
2  x.  2 ) )
28 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2928oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  4
)
3027, 29eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  4
)
3130, 30oveq12i 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  2
)  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
326rehalfcli 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3332recni 9058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
34 2halves 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( 1  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  2
)  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
3631, 35eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
3724, 36eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
384, 23, 37mulcomli 9053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  x.  2 )  =  ( 1  /  2
)
395, 18, 21, 22, 38iccdili 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
4020, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( x  x.  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
4112, 40eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
42 pcoass.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
43 pcoass.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
44 pcoass.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
45 pcoass.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( H `
 0 ) )
4643, 44, 45pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ( *p
`  J ) H )  e.  ( II 
Cn  J ) )
4742, 46pcoval1 18991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( F `  ( 2  x.  (
2  x.  x ) ) ) )
4842, 43pcoval1 18991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( F `  ( 2  x.  (
2  x.  x ) ) ) )
4947, 48eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
5041, 49sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  4 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
5150anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
523, 51eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
5352adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  x  <_ 
( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
54 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  ph )
558ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  RR )
57 letric 9130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4
)  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  4
)  \/  ( 1  /  4 )  <_  x ) )
5855, 18, 57sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
x  <_  ( 1  /  4 )  \/  ( 1  /  4
)  <_  x )
)
5958orcanai 880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  x )
60 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
6118, 32elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4 )  <_  x  /\  x  <_  (
1  /  2 ) ) )
6256, 59, 60, 61syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )
6361simp1bi 972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
64 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4
)  e.  RR )  ->  ( x  +  ( 1  /  4
) )  e.  RR )
6563, 18, 64sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  RR )
6618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
6761simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  x )
6866, 63, 66, 67leadd1dd 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( 1  /  4 ) )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) ) )
6936, 68syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) ) )
7032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7161simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
72 2lt4 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <  4
73 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
74 4re 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
75 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
76 4pos 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  4
7773, 74, 75, 76ltrecii 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  4  <->  ( 1  /  4 )  < 
( 1  /  2
) )
7872, 77mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  4 )  < 
( 1  /  2
)
7918, 32, 78ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  <_ 
( 1  /  2
)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  ( 1  / 
2 ) )
8163, 66, 70, 70, 71, 80le2addd 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
82 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
83 2halves 10152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8581, 84syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  1 )
8632, 6elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) )  /\  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  1 ) )
8765, 69, 85, 86syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
8862, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
89 pcoass.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
9043, 44pco0 18992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G ( *p `  J ) H ) `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
9189, 90eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( ( G ( *p `  J ) H ) `
 0 ) )
9242, 46, 91pcoval2 18994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  ( 1  / 
4 ) )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 ) ) )
9354, 88, 92syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 ) ) )
9484oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )
954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  2  e.  CC )
9656recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  CC )
9723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
9895, 96, 97adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  (
1  /  4 ) ) ) )
9937oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  ( 1  /  4
) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2 ) )
10098, 99syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2
) ) )
101100oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
10294, 101syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
103 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  RR )
10473, 56, 103sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  RR )
105104recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
10633a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
107105, 106, 106pnpcan2d 9405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  /  2
) ) )
108102, 107eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  /  2
) ) )
109108fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
1104, 96, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  =  ( x  x.  2 ) )
11182, 4, 25divcan1i 9714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
11218, 32, 21, 38, 111iccdili 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
11362, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
114110, 113eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
11533subidi 9327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  0
116 1mhlfehlf 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
11732, 6, 32, 115, 116iccshftli 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
118114, 117syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
11943, 44pcoval1 18991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( 2  x.  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
12054, 118, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( 2  x.  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
12195, 105, 106subdid 9445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  -  ( 2  x.  (
1  /  2 ) ) ) )
1224, 25recidi 9701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
123122oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  -  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 )
124121, 123syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  - 
1 ) )
125124fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  ( G `  ( 2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  (
1  /  2 ) ) ) )  =  ( G `  (
( 2  x.  (
2  x.  x ) )  -  1 ) ) )
126120, 125eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
12793, 109, 1263eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
128 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  4 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )
129128fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  4 )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) )
130129adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) )
13142, 43, 89pcoval2 18994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
13254, 114, 131syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
133127, 130, 1323eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
13453, 133pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
135 iftrue 3705 . . . . . . . 8  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
136135fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
137136adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
138 iftrue 3705 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
139138adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
140134, 137, 1393eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
141 elii2 18914 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
142 halfgt0 10144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1435, 32, 142ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
144 halflt1 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  <  1
14532, 6, 144ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
1465, 6elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
14732, 143, 145, 146mpbir3an 1136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
148 1elunit 10972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
149 iccss2 10937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  (
0 [,] 1 ) )
150147, 148, 149mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
151150sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
1524, 25div0i 9704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  /  2 )  =  0
153 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
1545, 6, 21, 152, 153icccntri 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  /  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
15533addid2i 9210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
1565, 32, 32, 155, 84iccshftri 10987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
157151, 154, 1563syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
15842, 46, 91pcoval2 18994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 ) ) )
159157, 158sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 ) ) )
16032, 6elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  1
) )
161160simp1bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  RR )
162161recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  CC )
16382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  1  e.  CC )
1644a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  2  e.  CC )
16525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  2  =/=  0 )
166162, 163, 164, 165divdird 9784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  +  1 )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
167166oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  +  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
168 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
169162, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
170169, 164, 165divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  +  1 )  /  2 ) )  =  ( x  + 
1 ) )
171167, 170eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( x  + 
1 ) )
172171oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( x  +  1 )  - 
1 ) )
173 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
1 )  -  1 )  =  x )
174162, 82, 173sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  +  1 )  -  1 )  =  x )
175172, 174eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 )  =  x )
176175fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  x ) )
177176adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  x ) )
17843, 44, 45pcoval2 18994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  x )  =  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
179159, 177, 1783eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
180141, 179sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
181180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
182 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )
183182fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
184183adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
185 iffalse 3706 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
186185adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
187181, 184, 1863eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
188140, 187pm2.61dan 767 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
189188mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( H `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
190 pcoass.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
191 iitopon 18862 . . . . . . . . 9  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
192191a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
193192cnmptid 17646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
194 0elunit 10971 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
195194a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
196192, 192, 195cnmptc 17647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
197 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
198 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
199 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
200 dfii2 18865 . . . . . . . . 9  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
2015a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2026a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
203147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
204 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
205204oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )
20633, 23addcomi 9213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  2 ) )
207205, 206syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
20818, 32ltnlei 9150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  <  ( 1  / 
2 )  <->  -.  (
1  /  2 )  <_  ( 1  / 
4 ) )
20978, 208mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
1  /  2 )  <_  ( 1  / 
4 )
210204breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  <_  (
1  /  4 )  <-> 
( 1  /  2
)  <_  ( 1  /  4 ) ) )
211209, 210mtbiri 295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  -.  y  <_  ( 1  /  4 ) )
212 iffalse 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  <_  ( 1  /  4 )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
214204oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  2 ) )
215214, 30syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  /  2
)  =  ( 1  /  4 ) )
216215oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
217207, 213, 2163eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
218 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )
219 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )
22032a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
22174, 76recgt0ii 9872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  4
)
2225, 18, 221ltleii 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
2235, 32elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( (
1  /  4 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
22418, 222, 79, 223mpbir3an 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  4 )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
225224a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
226 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  4 ) )
227226oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) ) )
228226oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )
22924, 227, 2283eqtr4a 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
230 retopon 18750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
231 0xr 9087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
23232rexri 9093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e. 
RR*
233 lbicc2 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
1  /  2 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  2
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
234231, 232, 143, 233mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
235 iccss2 10937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  ( 1  /  4
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  C_  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
236234, 224, 235mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
237 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
2385, 32, 237mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
239236, 238sstri 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  RR
240 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  4 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
241230, 239, 240mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
243242, 192cnmpt1st 17653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) ) ) )
244 retop 18748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
245 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V
246 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  /\  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
247244, 236, 245, 246mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )
248247eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )
249 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
250230, 238, 249mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
252236a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] (
1  /  4 ) )  C_  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
253198iihalf1cn 18910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
255248, 251, 252, 254cnmpt1res 17661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  Cn  II ) )
256 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
257242, 192, 243, 242, 255, 256cnmpt21 17656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  y
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
258 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
25918, 32, 258mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
260 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) ) )
261230, 259, 260mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )
262261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) ) )
263262, 192cnmpt1st 17653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
264 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
265259a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )
266 unitssre 10998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
268150, 87sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
269268adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
270264cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
272271cnmptid 17646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
27318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
274273recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  CC )
275271, 271, 274cnmptc 17647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  /  4
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
276264addcn 18848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
277276a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
278271, 272, 275, 277cnmpt12f 17651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  +  (
1  /  4 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
279264, 219, 200, 265, 267, 269, 278cnmptre 18905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
280 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( y  +  ( 1  /  4
) ) )
281262, 192, 263, 262, 279, 280cnmpt21 17656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
282197, 218, 219, 198, 201, 220, 225, 192, 229, 257, 281cnmpt2pc 18906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
283 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
28432, 6, 283mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
285 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
286230, 284, 285mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
287286a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
288287, 192cnmpt1st 17653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
289284a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
290150, 157sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
291290adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
292264divccn 18856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
2934, 25, 292mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
294293a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
29533a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
296271, 271, 295cnmptc 17647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
297271, 294, 296, 277cnmpt12f 17651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
298264, 199, 200, 289, 267, 291, 297cnmptre 18905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
299 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  /  2 )  =  ( y  / 
2 ) )
300299oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
301287, 192, 288, 287, 298, 300cnmpt21 17656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( y  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
302197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 217, 282, 301cnmpt2pc 18906 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( y  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y
) ,  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II ) )
303 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  y  <_  ( 1  /  2 ) ) )
304 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  ( 1  /  4 )  <->  y  <_  ( 1  /  4 ) ) )
305304, 256, 280ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4
) ) ) )
306303, 305, 300ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
307306equcoms 1689 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
308307adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( y  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y
) ,  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
309308eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
310192, 193, 196, 192, 192, 302, 309cnmpt12 17652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
311190, 310syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( II 
Cn  II ) )
312 iiuni 18864 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
313312, 312cnf 17264 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( II  Cn  II )  ->  P :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] 1 ) )
314311, 313syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
315190fmpt 5849 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <-> 
P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
316314, 315sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
317190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
31842, 46, 91pcocn 18995 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
319 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
320312, 319cnf 17264 . . . . . 6  |-  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) )  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
321318, 320syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
322321feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 y ) ) )
323 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  y
)  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
324316, 317, 322, 323fmptcof 5861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) )  o.  P
)  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) ) )
32542, 43, 89pcocn 18995 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
326325, 44pcoval 18989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
327189, 324, 3263eqtr4rd 2447 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) )  o.  P ) )
328 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
329328, 143syl6eqbr 4209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
330329, 135syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
331328, 222syl6eqbr 4209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  4
) )
332331, 1syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
333 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
3344mul01i 9212 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
335333, 334syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
336330, 332, 3353eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  0 )
337 c0ex 9041 . . . . 5  |-  0  e.  _V
338336, 190, 337fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( P `  0 )  =  0 )
339195, 338syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  0 )
340148a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
34132, 6ltnlei 9150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
342144, 341mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
343 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
344342, 343mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
345344, 182syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
346 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
347346oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
348347, 84syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
349345, 348eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  1 )
350 1ex 9042 . . . . 5  |-  1  e.  _V
351349, 190, 350fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( P `  1 )  =  1 )
352340, 351syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  1
)  =  1 )
353318, 311, 339, 352reparpht 18976 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) )  o.  P
) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
354327, 353eqbrtrd 4192 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   IIcii 18858    ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978
This theorem is referenced by:  pcophtb  19007  pi1grplem  19027  pi1xfr  19033  pi1xfrcnvlem  19034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983
  Copyright terms: Public domain W3C validator