Theorem pcoass 19002

Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoass.2	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pcoass.3	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
pcoass.4	|- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
pcoass.5	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcoass.6	|- ( ph -> ( G ` 1 ) = ( H ` 0 ) )
pcoass.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pcoass	|- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, H   x, J   ph, x

Allowed substitution hint:   P( x)

Proof of Theorem pcoass

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3705	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <_ ( 1 / 4 ) -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( 2 x. x ) )
2	1	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x <_ ( 1 / 4 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) )
3	2	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) )
4		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
5		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
6		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
7	5, 6	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ 1 ) )
8	7	simp1bi 972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> x e. RR )
9	8	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. RR )
10	9	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. CC )
11		mulcom 9032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) = ( x x. 2 ) )
12	4, 10, 11	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) = ( x x. 2 ) )
13	7	simp2bi 973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ x )
14	13	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> 0 <_ x )
15		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x <_ ( 1 / 4 ) )
16		4nn 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. NN
17		nnrecre 9992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
18	16, 17	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 4 ) e. RR
19	5, 18	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) )
20	9, 14, 15, 19	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
21		2rp 10573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
22	4	mul02i 9211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 x. 2 ) = 0
23	18	recni 9058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 4 ) e. CC
24	23	2timesi 10057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
25		2ne0 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
26		recdiv2 9683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 x. 2 ) ) )
27	4, 25, 4, 25, 26	mp4an 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 / 2 ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 x. 2 ) )
28		2t2e4 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 x. 2 ) = 4
29	28	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 4 )
30	27, 29	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) / 2 ) = ( 1 / 4 )
31	30, 30	oveq12i 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / 2 ) / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) / 2 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
32	6	rehalfcli 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / 2 ) e. RR
33	32	recni 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 2 ) e. CC
34		2halves 10152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( ( 1 / 2 ) / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
35	33, 34	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / 2 ) / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
36	31, 35	eqtr3i 2426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 2 )
37	24, 36	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 2 )
38	4, 23, 37	mulcomli 9053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 4 ) x. 2 ) = ( 1 / 2 )
39	5, 18, 21, 22, 38	iccdili 10991	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
40	20, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
41	12, 40	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
42		pcoass.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
43		pcoass.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
44		pcoass.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
45		pcoass.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` 1 ) = ( H ` 0 ) )
46	43, 44, 45	pcocn 18995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ( *p ` J ) H ) e. ( II Cn J ) )
47	42, 46	pcoval1 18991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( F ` ( 2 x. ( 2 x. x ) ) ) )
48	42, 43	pcoval1 18991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) = ( F ` ( 2 x. ( 2 x. x ) ) ) )
49	47, 48	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
50	41, 49	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
51	50	anassrs 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
52	3, 51	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
53	52	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
54		simplll 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ph )
55	8	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. RR )
56	55	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. RR )
57		letric 9130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ ( 1 / 4 ) e. RR ) -> ( x <_ ( 1 / 4 ) \/ ( 1 / 4 ) <_ x ) )
58	55, 18, 57	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( x <_ ( 1 / 4 ) \/ ( 1 / 4 ) <_ x ) )
59	58	orcanai 880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 1 / 4 ) <_ x )
60		simplr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
61	18, 32	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ ( 1 / 4 ) <_ x /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) )
62	56, 59, 60, 61	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) )
63	61	simp1bi 972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> x e. RR )
64		readdcl 9029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( 1 / 4 ) e. RR ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. RR )
65	63, 18, 64	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. RR )
66	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
67	61	simp2bi 973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 4 ) <_ x )
68	66, 63, 66, 67	leadd1dd 9596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) <_ ( x + ( 1 / 4 ) ) )
69	36, 68	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 2 ) <_ ( x + ( 1 / 4 ) ) )
70	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
71	61	simp3bi 974	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
72		2lt4 10102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 < 4
73		2re 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
74		4re 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
75		2pos 10038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 2
76		4pos 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 4
77	73, 74, 75, 76	ltrecii 9883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 ) )
78	72, 77	mpbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 )
79	18, 32, 78	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 4 ) <_ ( 1 / 2 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 4 ) <_ ( 1 / 2 ) )
81	63, 66, 70, 70, 71, 80	le2addd 9600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
82		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
83		2halves 10152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. CC -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
84	82, 83	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1
85	81, 84	syl6breq 4211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) <_ 1 )
86	32, 6	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) <-> ( ( x + ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) <_ ( x + ( 1 / 4 ) ) /\ ( x + ( 1 / 4 ) ) <_ 1 ) )
87	65, 69, 85, 86	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
88	62, 87	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
89		pcoass.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
90	43, 44	pco0 18992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
91	89, 90	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` 0 ) )
92	42, 46, 91	pcoval2 18994	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) ) )
93	54, 88, 92	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) ) )
94	84	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 )
95	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> 2 e. CC )
96	56	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. CC )
97	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 1 / 4 ) e. CC )
98	95, 96, 97	adddid 9068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) ) )
99	37	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) )
100	98, 99	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) )
101	100	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
102	94, 101	syl5eqr 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
103		remulcl 9031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ x e. RR ) -> ( 2 x. x ) e. RR )
104	73, 56, 103	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. RR )
105	104	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
106	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
107	105, 106, 106	pnpcan2d 9405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) )
108	102, 107	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) )
109	108	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
110	4, 96, 11	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) = ( x x. 2 ) )
111	82, 4, 25	divcan1i 9714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) = 1
112	18, 32, 21, 38, 111	iccdili 10991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
113	62, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
114	110, 113	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
115	33	subidi 9327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = 0
116		1mhlfehlf 10146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
117	32, 6, 32, 115, 116	iccshftli 10989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. x ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
118	114, 117	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
119	43, 44	pcoval1 18991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( G ` ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
120	54, 118, 119	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( G ` ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
121	95, 105, 106	subdid 9445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) )
122	4, 25	recidi 9701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
123	122	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 )
124	121, 123	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) )
125	124	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( G ` ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
126	120, 125	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
127	93, 109, 126	3eqtrd 2440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
128		iffalse 3706	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x <_ ( 1 / 4 ) -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( x + ( 1 / 4 ) ) )
129	128	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( -. x <_ ( 1 / 4 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
130	129	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
131	42, 43, 89	pcoval2 18994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
132	54, 114, 131	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
133	127, 130, 132	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
134	53, 133	pm2.61dan 767	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
135		iftrue 3705	. . . . . . . 8 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
136	135	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
137	136	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
138		iftrue 3705	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
139	138	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
140	134, 137, 139	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
141		elii2 18914	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
142		halfgt0 10144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < ( 1 / 2 )
143	5, 32, 142	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
144		halflt1 10145	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) < 1
145	32, 6, 144	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
146	5, 6	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
147	32, 143, 145, 146	mpbir3an 1136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
148		1elunit 10972	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
149		iccss2 10937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ ( 0 [,] 1 ) )
150	147, 148, 149	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
151	150	sseli 3304	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> x e. ( 0 [,] 1 ) )
152	4, 25	div0i 9704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 / 2 ) = 0
153		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) = ( 1 / 2 )
154	5, 6, 21, 152, 153	icccntri 10993	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( x / 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
155	33	addid2i 9210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
156	5, 32, 32, 155, 84	iccshftri 10987	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x / 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
157	151, 154, 156	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
158	42, 46, 91	pcoval2 18994	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) )
159	157, 158	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) )
160	32, 6	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) <-> ( x e. RR /\ ( 1 / 2 ) <_ x /\ x <_ 1 ) )
161	160	simp1bi 972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> x e. RR )
162	161	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> x e. CC )
163	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> 1 e. CC )
164	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> 2 e. CC )
165	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> 2 =/= 0 )
166	162, 163, 164, 165	divdird 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
167	166	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( x + 1 ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
168		peano2cn 9194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( x + 1 ) e. CC )
169	162, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( x + 1 ) e. CC )
170	169, 164, 165	divcan2d 9748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( x + 1 ) / 2 ) ) = ( x + 1 ) )
171	167, 170	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( x + 1 ) )
172	171	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) = ( ( x + 1 ) - 1 ) )
173		pncan 9267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
174	162, 82, 173	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
175	172, 174	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) = x )
176	175	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` x ) )
177	176	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` x ) )
178	43, 44, 45	pcoval2 18994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` x ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
179	159, 177, 178	3eqtrd 2440	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
180	141, 179	sylan2 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
181	180	anassrs 630	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
182		iffalse 3706	. . . . . . . 8 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
183	182	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
184	183	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
185		iffalse 3706	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
186	185	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
187	181, 184, 186	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
188	140, 187	pm2.61dan 767	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
189	188	mpteq2dva 4255	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
190		pcoass.7	. . . . . . 7 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
191		iitopon 18862	. . . . . . . . 9 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
192	191	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
193	192	cnmptid 17646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( II Cn II ) )
194		0elunit 10971	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
195	194	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
196	192, 192, 195	cnmptc 17647	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( II Cn II ) )
197		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
198		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
199		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
200		dfii2 18865	. . . . . . . . 9 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
201	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
202	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
203	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
204		simprl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 2 ) )
205	204	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
206	33, 23	addcomi 9213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 2 ) )
207	205, 206	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 2 ) ) )
208	18, 32	ltnlei 9150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 ) <-> -. ( 1 / 2 ) <_ ( 1 / 4 ) )
209	78, 208	mpbi 200	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( 1 / 2 ) <_ ( 1 / 4 )
210	204	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y <_ ( 1 / 4 ) <-> ( 1 / 2 ) <_ ( 1 / 4 ) ) )
211	209, 210	mtbiri 295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> -. y <_ ( 1 / 4 ) )
212		iffalse 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y <_ ( 1 / 4 ) -> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
213	211, 212	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
214	204	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) / 2 ) )
215	214, 30	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( 1 / 4 ) )
216	215	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 2 ) ) )
217	207, 213, 216	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
218		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
219		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) )
220	32	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
221	74, 76	recgt0ii 9872	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < ( 1 / 4 )
222	5, 18, 221	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
223	5, 32	elicc2i 10932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
224	18, 222, 79, 223	mpbir3an 1136	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) )
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
226		simprl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 4 ) )
227	226	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) )
228	226	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
229	24, 227, 228	3eqtr4a 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
230		retopon 18750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
231		0xr 9087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR*
232	32	rexri 9093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
233		lbicc2 10969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> 0 e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
234	231, 232, 143, 233	mp3an 1279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) )
235		iccss2 10937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) /\ ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
236	234, 224, 235	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) )
237		iccssre 10948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
238	5, 32, 237	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
239	236, 238	sstri 3317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ RR
240		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) )
241	230, 239, 240	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) )
243	242, 192	cnmpt1st 17653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) ) )
244		retop 18748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
245		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) e. _V
246		restabs 17183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) e. _V ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) )
247	244, 236, 245, 246	mp3an 1279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
248	247	eqcomi 2408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
249		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
250	230, 238, 249	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
251	250	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
252	236	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
253	198	iihalf1cn 18910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
255	248, 251, 252, 254	cnmpt1res 17661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) Cn II ) )
256		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
257	242, 192, 243, 242, 255, 256	cnmpt21 17656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
258		iccssre 10948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
259	18, 32, 258	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
260		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
261	230, 259, 260	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) )
262	261	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
263	262, 192	cnmpt1st 17653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
264		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
265	259	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
266		unitssre 10998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
267	266	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
268	150, 87	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
269	268	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
270	264	cnfldtopon 18770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
271	270	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
272	271	cnmptid 17646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. CC |-> x ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
273	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. RR )
274	273	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. CC )
275	271, 271, 274	cnmptc 17647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( 1 / 4 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
276	264	addcn 18848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
277	276	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
278	271, 272, 275, 277	cnmpt12f 17651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x + ( 1 / 4 ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
279	264, 219, 200, 265, 267, 269, 278	cnmptre 18905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( x + ( 1 / 4 ) ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
280		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x + ( 1 / 4 ) ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
281	262, 192, 263, 262, 279, 280	cnmpt21 17656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( y + ( 1 / 4 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
282	197, 218, 219, 198, 201, 220, 225, 192, 229, 257, 281	cnmpt2pc 18906	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
283		iccssre 10948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
284	32, 6, 283	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
285		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
286	230, 284, 285	mp2an 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
287	286	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
288	287, 192	cnmpt1st 17653	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
289	284	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
290	150, 157	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
291	290	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
292	264	divccn 18856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( x e. CC |-> ( x / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
293	4, 25, 292	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC |-> ( x / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
294	293	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
295	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
296	271, 271, 295	cnmptc 17647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( 1 / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
297	271, 294, 296, 277	cnmpt12f 17651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
298	264, 199, 200, 289, 267, 291, 297	cnmptre 18905	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
299		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x / 2 ) = ( y / 2 ) )
300	299	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
301	287, 192, 288, 287, 298, 300	cnmpt21 17656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
302	197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 217, 282, 301	cnmpt2pc 18906	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
303		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
304		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x <_ ( 1 / 4 ) <-> y <_ ( 1 / 4 ) ) )
305	304, 256, 280	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) )
306	303, 305, 300	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
307	306	equcoms 1689	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
308	307	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
309	308	eqcomd 2409	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
310	192, 193, 196, 192, 192, 302, 309	cnmpt12 17652	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) e. ( II Cn II ) )
311	190, 310	syl5eqel 2488	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( II Cn II ) )
312		iiuni 18864	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
313	312, 312	cnf 17264	. . . . . 6 |- ( P e. ( II Cn II ) -> P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
314	311, 313	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
315	190	fmpt 5849	. . . . 5 |- ( A. x e. ( 0 [,] 1 ) if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
316	314, 315	sylibr 204	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] 1 ) if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
317	190	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) )
318	42, 46, 91	pcocn 18995	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) e. ( II Cn J ) )
319		eqid 2404	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
320	312, 319	cnf 17264	. . . . . 6 |- ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
321	318, 320	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
322	321	feqmptd 5738	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` y ) ) )
323		fveq2 5687	. . . 4 |- ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` y ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) )
324	316, 317, 322, 323	fmptcof 5861	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) o. P ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) )
325	42, 43, 89	pcocn 18995	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
326	325, 44	pcoval 18989	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
327	189, 324, 326	3eqtr4rd 2447	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) o. P ) )
328		id 20	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> x = 0 )
329	328, 143	syl6eqbr 4209	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 2 ) )
330	329, 135	syl 16	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
331	328, 222	syl6eqbr 4209	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 4 ) )
332	331, 1	syl 16	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( 2 x. x ) )
333		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
334	4	mul01i 9212	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 0 ) = 0
335	333, 334	syl6eq 2452	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = 0 )
336	330, 332, 335	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = 0 )
337		c0ex 9041	. . . . 5 |- 0 e. _V
338	336, 190, 337	fvmpt 5765	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( P ` 0 ) = 0 )
339	195, 338	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( P ` 0 ) = 0 )
340	148	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ( 0 [,] 1 ) )
341	32, 6	ltnlei 9150	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
342	144, 341	mpbi 200	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
343		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
344	342, 343	mtbiri 295	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
345	344, 182	syl 16	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
346		oveq1 6047	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
347	346	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
348	347, 84	syl6eq 2452	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
349	345, 348	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = 1 )
350		1ex 9042	. . . . 5 |- 1 e. _V
351	349, 190, 350	fvmpt 5765	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( P ` 1 ) = 1 )
352	340, 351	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( P ` 1 ) = 1 )
353	318, 311, 339, 352	reparpht 18976	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) o. P ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) )
354	327, 353	eqbrtrd 4192	1 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂ_fldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   IIcii 18858   ~=ph cphtpc 18947   *pcpco 18978

This theorem is referenced by:  pcophtb  19007  pi1grplem  19027  pi1xfr  19033  pi1xfrcnvlem  19034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970  df-pco 18983