Theorem pcoass 22133

Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoass.2	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pcoass.3	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
pcoass.4	|- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
pcoass.5	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcoass.6	|- ( ph -> ( G ` 1 ) = ( H ` 0 ) )
pcoass.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pcoass	|- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, H   x, J   ph, x

Allowed substitution hint:   P( x)

Proof of Theorem pcoass

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3878	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <_ ( 1 / 4 ) -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( 2 x. x ) )
2	1	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( x <_ ( 1 / 4 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) )
3	2	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) )
4		2cn 10702	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
5		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
6		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
7	5, 6	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ 1 ) )
8	7	simp1bi 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> x e. RR )
9	8	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. RR )
10	9	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. CC )
11		mulcom 9643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) = ( x x. 2 ) )
12	4, 10, 11	sylancr 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) = ( x x. 2 ) )
13	7	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ x )
14	13	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> 0 <_ x )
15		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x <_ ( 1 / 4 ) )
16		4nn 10792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. NN
17		nnrecre 10668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 4 ) e. RR
19	5, 18	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) )
20	9, 14, 15, 19	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
21		2rp 11330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
22	4	mul02i 9840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 x. 2 ) = 0
23	18	recni 9673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 4 ) e. CC
24	23	2timesi 10753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
25		2ne0 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
26		recdiv2 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 x. 2 ) ) )
27	4, 25, 4, 25, 26	mp4an 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 / 2 ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 x. 2 ) )
28		2t2e4 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 x. 2 ) = 4
29	28	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 4 )
30	27, 29	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) / 2 ) = ( 1 / 4 )
31	30, 30	oveq12i 6320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / 2 ) / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) / 2 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
32		halfcn 10852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / 2 ) e. CC
33		2halves 10864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( ( 1 / 2 ) / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 / 2 ) / 2 ) + ( ( 1 / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
35	31, 34	eqtr3i 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 2 )
36	24, 35	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 2 )
37	4, 23, 36	mulcomli 9668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 4 ) x. 2 ) = ( 1 / 2 )
38	5, 18, 21, 22, 37	iccdili 11797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
39	20, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
40	12, 39	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
41		pcoass.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
42		pcoass.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
43		pcoass.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
44		pcoass.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` 1 ) = ( H ` 0 ) )
45	42, 43, 44	pcocn 22126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ( *p ` J ) H ) e. ( II Cn J ) )
46	41, 45	pcoval1 22122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( F ` ( 2 x. ( 2 x. x ) ) ) )
47	41, 42	pcoval1 22122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) = ( F ` ( 2 x. ( 2 x. x ) ) ) )
48	46, 47	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
49	40, 48	sylan2 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
50	49	anassrs 660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( 2 x. x ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
51	3, 50	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
52	51	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
53		simplll 776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ph )
54	8	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. RR )
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. RR )
56		letric 9752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ ( 1 / 4 ) e. RR ) -> ( x <_ ( 1 / 4 ) \/ ( 1 / 4 ) <_ x ) )
57	54, 18, 56	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( x <_ ( 1 / 4 ) \/ ( 1 / 4 ) <_ x ) )
58	57	orcanai 927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 1 / 4 ) <_ x )
59		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
60		halfre 10851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
61	18, 60	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ ( 1 / 4 ) <_ x /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) )
62	55, 58, 59, 61	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) )
63	61	simp1bi 1045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> x e. RR )
64		readdcl 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( 1 / 4 ) e. RR ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. RR )
65	63, 18, 64	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. RR )
66	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
67	61	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 4 ) <_ x )
68	66, 63, 66, 67	leadd1dd 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) <_ ( x + ( 1 / 4 ) ) )
69	35, 68	syl5eqbrr 4430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 2 ) <_ ( x + ( 1 / 4 ) ) )
70	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
71	61	simp3bi 1047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
72		2lt4 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 < 4
73		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
74		4re 10708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
75		2pos 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 2
76		4pos 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 4
77	73, 74, 75, 76	ltrecii 10545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 ) )
78	72, 77	mpbi 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 )
79	18, 60, 78	ltleii 9775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 4 ) <_ ( 1 / 2 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 1 / 4 ) <_ ( 1 / 2 ) )
81	63, 66, 70, 70, 71, 80	le2addd 10253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
82		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
83		2halves 10864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. CC -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1
85	81, 84	syl6breq 4435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) <_ 1 )
86	60, 6	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) <-> ( ( x + ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) <_ ( x + ( 1 / 4 ) ) /\ ( x + ( 1 / 4 ) ) <_ 1 ) )
87	65, 69, 85, 86	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
88	62, 87	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
89		pcoass.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
90	42, 43	pco0 22123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
91	89, 90	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` 0 ) )
92	41, 45, 91	pcoval2 22125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) ) )
93	53, 88, 92	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) ) )
94	84	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 )
95		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> 2 e. CC )
96	55	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> x e. CC )
97	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 1 / 4 ) e. CC )
98	95, 96, 97	adddid 9685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) ) )
99	36	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) )
100	98, 99	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) )
101	100	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
102	94, 101	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
103		remulcl 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ x e. RR ) -> ( 2 x. x ) e. RR )
104	73, 55, 103	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. RR )
105	104	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
106	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
107	105, 106, 106	pnpcan2d 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 1 / 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) )
108	102, 107	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) )
109	108	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( x + ( 1 / 4 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
110	4, 96, 11	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) = ( x x. 2 ) )
111	82, 4, 25	divcan1i 10373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) = 1
112	18, 60, 21, 37, 111	iccdili 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
113	62, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
114	110, 113	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
115	32	subidi 9965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = 0
116		1mhlfehlf 10855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
117	60, 6, 60, 115, 116	iccshftli 11795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. x ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
118	114, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
119	42, 43	pcoval1 22122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( G ` ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
120	53, 118, 119	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( G ` ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
121	95, 105, 106	subdid 10095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) )
122	4, 25	recidi 10360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
123	122	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 )
124	121, 123	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) )
125	124	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( G ` ( 2 x. ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
126	120, 125	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. x ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
127	93, 109, 126	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
128		iffalse 3881	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x <_ ( 1 / 4 ) -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( x + ( 1 / 4 ) ) )
129	128	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( -. x <_ ( 1 / 4 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
130	129	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
131	41, 42, 89	pcoval2 22125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 x. x ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
132	53, 114, 131	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) = ( G ` ( ( 2 x. ( 2 x. x ) ) - 1 ) ) )
133	127, 130, 132	3eqtr4d 2515	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 4 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
134	52, 133	pm2.61dan 808	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
135		iftrue 3878	. . . . . . . 8 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
136	135	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
137	136	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
138		iftrue 3878	. . . . . . 7 |- ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
139	138	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) )
140	134, 137, 139	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
141		elii2 22042	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
142		halfgt0 10853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < ( 1 / 2 )
143	5, 60, 142	ltleii 9775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
144		halflt1 10854	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) < 1
145	60, 6, 144	ltleii 9775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
146	5, 6	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
147	60, 143, 145, 146	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
148		1elunit 11777	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
149		iccss2 11730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ ( 0 [,] 1 ) )
150	147, 148, 149	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
151	150	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> x e. ( 0 [,] 1 ) )
152	4, 25	div0i 10363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 / 2 ) = 0
153		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) = ( 1 / 2 )
154	5, 6, 21, 152, 153	icccntri 11799	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( x / 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
155	32	addid2i 9839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
156	5, 60, 60, 155, 84	iccshftri 11793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x / 2 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
157	151, 154, 156	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
158	41, 45, 91	pcoval2 22125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) )
159	157, 158	sylan2 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) )
160	60, 6	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) <-> ( x e. RR /\ ( 1 / 2 ) <_ x /\ x <_ 1 ) )
161	160	simp1bi 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> x e. RR )
162	161	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> x e. CC )
163	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> 1 e. CC )
164		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> 2 e. CC )
165	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> 2 =/= 0 )
166	162, 163, 164, 165	divdird 10443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x + 1 ) / 2 ) = ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
167	166	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( x + 1 ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
168		peano2cn 9823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( x + 1 ) e. CC )
169	162, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( x + 1 ) e. CC )
170	169, 164, 165	divcan2d 10407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( x + 1 ) / 2 ) ) = ( x + 1 ) )
171	167, 170	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( x + 1 ) )
172	171	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) = ( ( x + 1 ) - 1 ) )
173		pncan 9901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
174	162, 82, 173	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
175	172, 174	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) = x )
176	175	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` x ) )
177	176	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` ( ( 2 x. ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( G ( *p ` J ) H ) ` x ) )
178	42, 43, 44	pcoval2 22125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) H ) ` x ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
179	159, 177, 178	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
180	141, 179	sylan2 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
181	180	anassrs 660	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
182		iffalse 3881	. . . . . . . 8 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
183	182	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
184	183	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
185		iffalse 3881	. . . . . . 7 |- ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
186	185	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
187	181, 184, 186	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
188	140, 187	pm2.61dan 808	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
189	188	mpteq2dva 4482	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
190		pcoass.7	. . . . . . 7 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
191		iitopon 21989	. . . . . . . . 9 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
192	191	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
193	192	cnmptid 20753	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( II Cn II ) )
194		0elunit 11776	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
195	194	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
196	192, 192, 195	cnmptc 20754	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( II Cn II ) )
197		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
198		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
199		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
200		dfii2 21992	. . . . . . . . 9 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
201		0red 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
202		1red 9676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
203	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
204		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 2 ) )
205	204	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
206	32, 23	addcomi 9842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 2 ) )
207	205, 206	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 2 ) ) )
208	18, 60	ltnlei 9773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 4 ) < ( 1 / 2 ) <-> -. ( 1 / 2 ) <_ ( 1 / 4 ) )
209	78, 208	mpbi 213	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( 1 / 2 ) <_ ( 1 / 4 )
210	204	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y <_ ( 1 / 4 ) <-> ( 1 / 2 ) <_ ( 1 / 4 ) ) )
211	209, 210	mtbiri 310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> -. y <_ ( 1 / 4 ) )
212	211	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
213	204	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) / 2 ) )
214	213, 30	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y / 2 ) = ( 1 / 4 ) )
215	214	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 2 ) ) )
216	207, 212, 215	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
217		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
218		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) )
219	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
220	74, 76	recgt0ii 10534	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < ( 1 / 4 )
221	5, 18, 220	ltleii 9775	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
222	5, 60	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
223	18, 221, 79, 222	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) )
224	223	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
225		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 4 ) )
226	225	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. ( 1 / 4 ) ) )
227	225	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( y + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
228	24, 226, 227	3eqtr4a 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y = ( 1 / 4 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
229		retopon 21862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
230		0xr 9705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR*
231	60	rexri 9711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR*
232		lbicc2 11774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 1 / 2 ) e. RR* /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> 0 e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
233	230, 231, 143, 232	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) )
234		iccss2 11730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) /\ ( 1 / 4 ) e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
235	233, 223, 234	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) )
236		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
237	5, 60, 236	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
238	235, 237	sstri 3427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ RR
239		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) )
240	229, 238, 239	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
241	240	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) )
242	241, 192	cnmpt1st 20760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) ) )
243		retop 21860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
244		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) e. _V
245		restabs 20258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) e. _V ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) )
246	243, 235, 244, 245	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
247	246	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) )
248		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
249	229, 237, 248	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
250	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
251	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) C_ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
252	198	iihalf1cn 22038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
254	247, 250, 251, 253	cnmpt1res 20768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) Cn II ) )
255		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
256	241, 192, 242, 241, 254, 255	cnmpt21 20763	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 4 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
257		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
258	18, 60, 257	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
259		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
260	229, 258, 259	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) )
261	260	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
262	261, 192	cnmpt1st 20760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
263		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
264	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
265		unitssre 11805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
266	265	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
267	150, 87	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
268	267	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( x + ( 1 / 4 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
269	263	cnfldtopon 21881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
270	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
271	270	cnmptid 20753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. CC |-> x ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
272	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. RR )
273	272	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. CC )
274	270, 270, 273	cnmptc 20754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( 1 / 4 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
275	263	addcn 21975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
276	275	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
277	270, 271, 274, 276	cnmpt12f 20758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x + ( 1 / 4 ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
278	263, 218, 200, 264, 266, 268, 277	cnmptre 22033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( x + ( 1 / 4 ) ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
279		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x + ( 1 / 4 ) ) = ( y + ( 1 / 4 ) ) )
280	261, 192, 262, 261, 278, 279	cnmpt21 20763	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( y + ( 1 / 4 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 4 ) [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
281	197, 217, 218, 198, 201, 219, 224, 192, 228, 256, 280	cnmpt2pc 22034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
282		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
283	60, 6, 282	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
284		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
285	229, 283, 284	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
286	285	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
287	286, 192	cnmpt1st 20760	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
288	283	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
289	150, 157	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
290	289	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
291	263	divccn 21983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( x e. CC |-> ( x / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
292	4, 25, 291	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC |-> ( x / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
293	292	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
294	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
295	270, 270, 294	cnmptc 20754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( 1 / 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
296	270, 293, 295, 276	cnmpt12f 20758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
297	263, 199, 200, 288, 266, 290, 296	cnmptre 22033	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
298		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x / 2 ) = ( y / 2 ) )
299	298	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
300	286, 192, 287, 286, 297, 299	cnmpt21 20763	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
301	197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 216, 281, 300	cnmpt2pc 22034	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
302		breq1 4398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
303		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x <_ ( 1 / 4 ) <-> y <_ ( 1 / 4 ) ) )
304	303, 255, 279	ifbieq12d 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) )
305	302, 304, 299	ifbieq12d 3899	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
306	305	equcoms 1872	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
307	306	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
308	307	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , if ( y <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. y ) , ( y + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( y / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
309	192, 193, 196, 192, 192, 301, 308	cnmpt12 20759	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) e. ( II Cn II ) )
310	190, 309	syl5eqel 2553	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( II Cn II ) )
311		iiuni 21991	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
312	311, 311	cnf 20339	. . . . . 6 |- ( P e. ( II Cn II ) -> P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
313	310, 312	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
314	190	fmpt 6058	. . . . 5 |- ( A. x e. ( 0 [,] 1 ) if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
315	313, 314	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] 1 ) if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
316	190	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) )
317	41, 45, 91	pcocn 22126	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) e. ( II Cn J ) )
318		eqid 2471	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
319	311, 318	cnf 20339	. . . . . 6 |- ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
320	317, 319	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
321	320	feqmptd 5932	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` y ) ) )
322		fveq2 5879	. . . 4 |- ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` y ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) )
323	315, 316, 321, 322	fmptcof 6073	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) o. P ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) )
324	41, 42, 89	pcocn 22126	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
325	324, 43	pcoval 22120	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( F ( *p ` J ) G ) ` ( 2 x. x ) ) , ( H ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
326	189, 323, 325	3eqtr4rd 2516	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) = ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) o. P ) )
327		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> x = 0 )
328	327, 143	syl6eqbr 4433	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 2 ) )
329	328	iftrued 3880	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) )
330	327, 221	syl6eqbr 4433	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 4 ) )
331	330	iftrued 3880	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) = ( 2 x. x ) )
332		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
333		2t0e0 10788	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 0 ) = 0
334	332, 333	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 x. x ) = 0 )
335	329, 331, 334	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = 0 )
336		c0ex 9655	. . . . 5 |- 0 e. _V
337	335, 190, 336	fvmpt 5963	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( P ` 0 ) = 0 )
338	195, 337	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( P ` 0 ) = 0 )
339	148	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ( 0 [,] 1 ) )
340	60, 6	ltnlei 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
341	144, 340	mpbi 213	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
342		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
343	341, 342	mtbiri 310	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
344	343	iffalsed 3883	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
345		oveq1 6315	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
346	345	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
347	346, 84	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
348	344, 347	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = 1 )
349		1ex 9656	. . . . 5 |- 1 e. _V
350	348, 190, 349	fvmpt 5963	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( P ` 1 ) = 1 )
351	339, 350	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( P ` 1 ) = 1 )
352	317, 310, 338, 351	reparpht 22107	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) o. P ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) )
353	326, 352	eqbrtrd 4416	1 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( *p ` J ) H ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( G ( *p ` J ) H ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   4c4 10683   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317   tX ctx 20652   IIcii 21985   ~=ph cphtpc 22078   *pcpco 22109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pco 22114

This theorem is referenced by:  pcophtb  22138  pi1grplem  22158  pi1xfr  22164  pi1xfrcnvlem  22165