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Theorem pcoass 20437
Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoass.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoass.5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcoass.6  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( H `
 0 ) )
pcoass.7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pcoass  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, J    ph, x
Allowed substitution hint:    P( x)

Proof of Theorem pcoass
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  ( 1  / 
4 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  ( 1  / 
4 )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
32adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
4 2cn 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
5 0re 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
6 1re 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
75, 6elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <_  1
) )
87simp1bi 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  RR )
98adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  RR )
109recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  CC )
11 mulcom 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  =  ( x  x.  2 ) )
124, 10, 11sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  ( x  x.  2 ) )
137simp2bi 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  x )
1413adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
0  <_  x )
15 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  <_  ( 1  / 
4 ) )
16 4nn 10468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN
17 nnrecre 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
195, 18elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <_  (
1  /  4 ) ) )
209, 14, 15, 19syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) ) )
21 2rp 10983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
224mul02i 9545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  x.  2 )  =  0
2318recni 9385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
24232timesi 10429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
25 2ne0 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
26 recdiv2 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  /  2
)  =  ( 1  /  ( 2  x.  2 ) ) )
274, 25, 4, 25, 26mp4an 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  /  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  (
2  x.  2 ) )
28 2t2e4 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2928oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  4
)
3027, 29eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  4
)
3130, 30oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  2
)  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
32 halfcn 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
33 2halves 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( 1  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  2
)  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
3531, 34eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
3624, 35eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
374, 23, 36mulcomli 9380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  x.  2 )  =  ( 1  /  2
)
385, 18, 21, 22, 37iccdili 11410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
3920, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( x  x.  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
4012, 39eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
4 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
41 pcoass.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
42 pcoass.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
43 pcoass.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
44 pcoass.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( H `
 0 ) )
4542, 43, 44pcocn 20430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ( *p
`  J ) H )  e.  ( II 
Cn  J ) )
4641, 45pcoval1 20426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( F `  ( 2  x.  (
2  x.  x ) ) ) )
4741, 42pcoval1 20426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( F `  ( 2  x.  (
2  x.  x ) ) ) )
4846, 47eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
4940, 48sylan2 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  4 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
5049anassrs 641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
513, 50eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
5251adantlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  x  <_ 
( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
53 simplll 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  ph )
548ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  RR )
56 letric 9462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4
)  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  4
)  \/  ( 1  /  4 )  <_  x ) )
5754, 18, 56sylancl 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
x  <_  ( 1  /  4 )  \/  ( 1  /  4
)  <_  x )
)
5857orcanai 897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  x )
59 simplr 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
60 halfre 10527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6118, 60elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4 )  <_  x  /\  x  <_  (
1  /  2 ) ) )
6255, 58, 59, 61syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )
6361simp1bi 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  x  e.  RR )
64 readdcl 9352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  4
)  e.  RR )  ->  ( x  +  ( 1  /  4
) )  e.  RR )
6563, 18, 64sylancl 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  RR )
6618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
6761simp2bi 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  x )
6866, 63, 66, 67leadd1dd 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( 1  /  4 ) )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) ) )
6935, 68syl5eqbrr 4314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) ) )
7060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7161simp3bi 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
72 2lt4 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <  4
73 2re 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
74 4re 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
75 2pos 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
76 4pos 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  4
7773, 74, 75, 76ltrecii 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  4  <->  ( 1  /  4 )  < 
( 1  /  2
) )
7872, 77mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  4 )  < 
( 1  /  2
)
7918, 60, 78ltleii 9484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  4 )  <_ 
( 1  /  2
)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
1  /  4 )  <_  ( 1  / 
2 ) )
8163, 66, 70, 70, 71, 80le2addd 9944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
82 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
83 2halves 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8581, 84syl6breq 4319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  1 )
8660, 6elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  <_  ( x  +  ( 1  /  4
) )  /\  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  <_  1 ) )
8765, 69, 85, 86syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
8862, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
89 pcoass.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
9042, 43pco0 20427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G ( *p `  J ) H ) `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
9189, 90eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( ( G ( *p `  J ) H ) `
 0 ) )
9241, 45, 91pcoval2 20429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  ( 1  / 
4 ) )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 ) ) )
9353, 88, 92syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 ) ) )
9484oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )
95 2cnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  2  e.  CC )
9655recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  x  e.  CC )
9723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
9895, 96, 97adddid 9397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  (
1  /  4 ) ) ) )
9936oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  ( 1  /  4
) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2 ) )
10098, 99syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2
) ) )
101100oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
10294, 101syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
103 remulcl 9354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  RR )
10473, 55, 103sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  RR )
105104recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
10632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
107105, 106, 106pnpcan2d 9744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 1  /  2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  /  2
) ) )
108102, 107eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  (
x  +  ( 1  /  4 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  /  2
) ) )
109108fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
1104, 96, 11sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  =  ( x  x.  2 ) )
11182, 4, 25divcan1i 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
11218, 60, 21, 37, 111iccdili 11410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
11362, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  x.  2 )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
114110, 113eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
11532subidi 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
2 ) )  =  0
116 1mhlfehlf 10531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
11760, 6, 60, 115, 116iccshftli 11408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
118114, 117syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
11942, 43pcoval1 20426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( 2  x.  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
12053, 118, 119syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( 2  x.  (
( 2  x.  x
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
12195, 105, 106subdid 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  -  ( 2  x.  (
1  /  2 ) ) ) )
1224, 25recidi 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
123122oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  -  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 )
124121, 123syl6eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x ) )  - 
1 ) )
125124fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  ( G `  ( 2  x.  ( ( 2  x.  x )  -  (
1  /  2 ) ) ) )  =  ( G `  (
( 2  x.  (
2  x.  x ) )  -  1 ) ) )
126120, 125eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  x )  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
12793, 109, 1263eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
128 iffalse 3787 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  4 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )
129128fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  4 )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) )
130129adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) )
13141, 42, 89pcoval2 20429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
13253, 114, 131syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  ( 2  x.  x
) )  -  1 ) ) )
133127, 130, 1323eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  x  <_  (
1  /  2 ) )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  4
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
13452, 133pm2.61dan 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) )
135 iftrue 3785 . . . . . . . 8  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
136135fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
137136adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ) )
138 iftrue 3785 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
139138adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) )
140134, 137, 1393eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
141 elii2 20349 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
142 halfgt0 10529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1435, 60, 142ltleii 9484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
144 halflt1 10530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  <  1
14560, 6, 144ltleii 9484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
1465, 6elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
14760, 143, 145, 146mpbir3an 1163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
148 1elunit 11390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
149 iccss2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  (
0 [,] 1 ) )
150147, 148, 149mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
151150sseli 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
1524, 25div0i 10052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  /  2 )  =  0
153 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
1545, 6, 21, 152, 153icccntri 11412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  /  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )
15532addid2i 9544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
1565, 60, 60, 155, 84iccshftri 11406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  /  2 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
157151, 154, 1563syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
15841, 45, 91pcoval2 20429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 ) ) )
159157, 158sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 ) ) )
16060, 6elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( 1  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  1
) )
161160simp1bi 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  RR )
162161recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  x  e.  CC )
16382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  1  e.  CC )
164 2cnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  2  e.  CC )
16525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  2  =/=  0 )
166162, 163, 164, 165divdird 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  +  1 )  /  2 )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
167166oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  +  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
168 peano2cn 9528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
169162, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
170169, 164, 165divcan2d 10096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  +  1 )  /  2 ) )  =  ( x  + 
1 ) )
171167, 170eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( x  + 
1 ) )
172171oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( x  +  1 )  - 
1 ) )
173 pncan 9603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x  + 
1 )  -  1 )  =  x )
174162, 82, 173sylancl 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  +  1 )  -  1 )  =  x )
175172, 174eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  1 )  =  x )
176175fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  x ) )
177176adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  ( ( 2  x.  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( G ( *p `  J
) H ) `  x ) )
17842, 43, 44pcoval2 20429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) H ) `  x )  =  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
179159, 177, 1783eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
180141, 179sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
181180anassrs 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
182 iffalse 3787 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )
183182fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
184183adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
185 iffalse 3787 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
186185adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
187181, 184, 1863eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
188140, 187pm2.61dan 782 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( H `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
189188mpteq2dva 4366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( H `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
190 pcoass.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
191 iitopon 20296 . . . . . . . . 9  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
192191a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
193192cnmptid 19075 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
194 0elunit 11389 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
195194a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
196192, 192, 195cnmptc 19076 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
197 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
198 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
199 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
200 dfii2 20299 . . . . . . . . 9  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
201 0red 9374 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
202 1red 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
203147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
204 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
205204oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )
20632, 23addcomi 9547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  2 ) )
207205, 206syl6eq 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
20818, 60ltnlei 9482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  <  ( 1  / 
2 )  <->  -.  (
1  /  2 )  <_  ( 1  / 
4 ) )
20978, 208mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
1  /  2 )  <_  ( 1  / 
4 )
210204breq1d 4290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  <_  (
1  /  4 )  <-> 
( 1  /  2
)  <_  ( 1  /  4 ) ) )
211209, 210mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  -.  y  <_  ( 1  /  4 ) )
212 iffalse 3787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  <_  ( 1  /  4 )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
214204oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  2 ) )
215214, 30syl6eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  /  2
)  =  ( 1  /  4 ) )
216215oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
217207, 213, 2163eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  =  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
218 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )
219 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )
22060a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
22174, 76recgt0ii 10225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  4
)
2225, 18, 221ltleii 9484 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
2235, 60elicc2i 11348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( (
1  /  4 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
22418, 222, 79, 223mpbir3an 1163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  4 )  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
225224a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
226 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  4 ) )
227226oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
4 ) ) )
228226oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( y  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) ) )
22924, 227, 2283eqtr4a 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  ( 1  / 
4 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) )
230 retopon 20183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
231 0xr 9417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
23260rexri 9423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e. 
RR*
233 lbicc2 11387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
1  /  2 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  2
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
234231, 232, 143, 233mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
235 iccss2 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  /\  ( 1  /  4
)  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  4
) )  C_  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
236234, 224, 235mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
237 iccssre 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
2385, 60, 237mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
239236, 238sstri 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  RR
240 resttopon 18606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  4 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
241230, 239, 240mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
243242, 192cnmpt1st 19082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) ) ) )
244 retop 20181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
245 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V
246 restabs 18610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,] ( 1  / 
4 ) )  C_  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  /\  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V )  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) ) )
247244, 236, 245, 246mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )
248247eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  4 ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )
249 resttopon 18606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
250230, 238, 249mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
252236a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] (
1  /  4 ) )  C_  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )
253198iihalf1cn 20345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
255248, 251, 252, 254cnmpt1res 19090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  4 ) ) )  Cn  II ) )
256 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
257242, 192, 243, 242, 255, 256cnmpt21 19085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  4 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  y
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  4
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
258 iccssre 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
25918, 60, 258mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
260 resttopon 18606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) ) )
261230, 259, 260mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )
262261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) ) )
263262, 192cnmpt1st 19082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
264 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
265259a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )
266 unitssre 11418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
268150, 87sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
269268adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
270264cnfldtopon 20203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
272271cnmptid 19075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
27318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
274273recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  CC )
275271, 271, 274cnmptc 19076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  /  4
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
276264addcn 20282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
277276a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
278271, 272, 275, 277cnmpt12f 19080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  +  (
1  /  4 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
279264, 219, 200, 265, 267, 269, 278cnmptre 20340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
4 ) [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
280 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  ( 1  /  4 ) )  =  ( y  +  ( 1  /  4
) ) )
281262, 192, 263, 262, 279, 280cnmpt21 19085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  4
) [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  4 ) [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
282197, 218, 219, 198, 201, 220, 225, 192, 229, 257, 281cnmpt2pc 20341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) )  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
283 iccssre 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
28460, 6, 283mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
285 resttopon 18606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
286230, 284, 285mp2an 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
287286a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
288287, 192cnmpt1st 19082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
289284a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
290150, 157sseldi 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
291290adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
292264divccn 20290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
2934, 25, 292mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
294293a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
29532a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
296271, 271, 295cnmptc 19076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
297271, 294, 296, 277cnmpt12f 19080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
298264, 199, 200, 289, 267, 291, 297cnmptre 20340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
299 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  /  2 )  =  ( y  / 
2 ) )
300299oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
301287, 192, 288, 287, 298, 300cnmpt21 19085 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( y  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
302197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 217, 282, 301cnmpt2pc 20341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( y  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y
) ,  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II ) )
303 breq1 4283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  y  <_  ( 1  /  2 ) ) )
304 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  ( 1  /  4 )  <->  y  <_  ( 1  /  4 ) ) )
305304, 256, 280ifbieq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4
) ) ) )
306303, 305, 300ifbieq12d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
307306equcoms 1732 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( y  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
308307adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( y  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y
) ,  ( y  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
309308eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( y  <_  (
1  /  4 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  ( y  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( y  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
310192, 193, 196, 192, 192, 302, 309cnmpt12 19081 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
311190, 310syl5eqel 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( II 
Cn  II ) )
312 iiuni 20298 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
313312, 312cnf 18691 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( II  Cn  II )  ->  P :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] 1 ) )
314311, 313syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
315190fmpt 5852 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <-> 
P : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] 1 ) )
316314, 315sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
317190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
31841, 45, 91pcocn 20430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
319 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
320312, 319cnf 18691 . . . . . 6  |-  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) )  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
321318, 320syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
322321feqmptd 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) ( G ( *p `  J ) H ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 y ) ) )
323 fveq2 5679 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) `  y
)  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
324316, 317, 322, 323fmptcof 5864 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) )  o.  P
)  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) ) `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) ) )
32541, 42, 89pcocn 20430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
326325, 43pcoval 20424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( H `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
327189, 324, 3263eqtr4rd 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H )  =  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p `  J
) H ) )  o.  P ) )
328 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
329328, 143syl6eqbr 4317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
330329, 135syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) ) )
331328, 222syl6eqbr 4317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  4
) )
332331, 1syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  4 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  ( x  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
333 oveq2 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
334 2t0e0 10464 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
335333, 334syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
336330, 332, 3353eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  0 )
337 c0ex 9367 . . . . 5  |-  0  e.  _V
338336, 190, 337fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( P `  0 )  =  0 )
339195, 338syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  0 )
340148a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
34160, 6ltnlei 9482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
342144, 341mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
343 breq1 4283 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
344342, 343mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
345344, 182syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )
346 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
347346oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
348347, 84syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
349345, 348eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  1 )
350 1ex 9368 . . . . 5  |-  1  e.  _V
351349, 190, 350fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( P `  1 )  =  1 )
352340, 351syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  1
)  =  1 )
353318, 311, 339, 352reparpht 20411 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) )  o.  P
) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
354327, 353eqbrtrd 4300 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( *p
`  J ) H ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( G ( *p
`  J ) H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   ifcif 3779   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ran crn 4828    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   4c4 10360   (,)cioo 11287   [,]cicc 11290   ↾t crest 14341   TopOpenctopn 14342   topGenctg 14358  ℂfldccnfld 17661   Topctop 18339  TopOnctopon 18340    Cn ccn 18669    tX ctx 18974   IIcii 20292    ~=ph cphtpc 20382   *pcpco 20413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-ii 20294  df-htpy 20383  df-phtpy 20384  df-phtpc 20405  df-pco 20418
This theorem is referenced by:  pcophtb  20442  pi1grplem  20462  pi1xfr  20468  pi1xfrcnvlem  20469
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