MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco1 Structured version   Unicode version

Theorem pco1 21383
Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )

Proof of Theorem pco1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
31, 2pcoval 21379 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
43fveq1d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) `  1
) )
5 1elunit 11651 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
6 halflt1 10769 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7 halfre 10766 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8 1re 9607 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
97, 8ltnlei 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
106, 9mpbi 208 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
11 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1210, 11mtbiri 303 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
13 iffalse 3954 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
15 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
16 2t1e2 10696 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1715, 16syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  2 )
1817oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
19 2m1e1 10662 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  1 )
2120fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( G ` 
1 ) )
2214, 21eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( G ` 
1 ) )
23 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
24 fvex 5882 . . . 4  |-  ( G `
 1 )  e. 
_V
2522, 23, 24fvmpt 5957 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( G `  1 ) )
265, 25ax-mp 5 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) `  1
)  =  ( G `
 1 )
274, 26syl6eq 2524 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   2c2 10597   [,]cicc 11544    Cn ccn 19593   IIcii 21247   *pcpco 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-icc 11548  df-top 19268  df-topon 19271  df-cn 19596  df-pco 21373
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  21387  pcorevlem  21394  pcophtb  21397  om1addcl  21401  pi1xfrf  21421  pi1xfr  21423  pi1xfrcnvlem  21424  pi1coghm  21429  conpcon  28496  sconpht2  28499  cvmlift3lem6  28585
  Copyright terms: Public domain W3C validator