MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco1 Structured version   Unicode version

Theorem pco1 20586
Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )

Proof of Theorem pco1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
31, 2pcoval 20582 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
43fveq1d 5692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) `  1
) )
5 1elunit 11403 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
6 halflt1 10542 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7 halfre 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
8 1re 9384 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
97, 8ltnlei 9494 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
106, 9mpbi 208 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
11 breq1 4294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1210, 11mtbiri 303 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
13 iffalse 3798 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
15 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
16 2t1e2 10469 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1715, 16syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  2 )
1817oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
19 2m1e1 10435 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2490 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  1 )
2120fveq2d 5694 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( G ` 
1 ) )
2214, 21eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( G ` 
1 ) )
23 eqid 2442 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
24 fvex 5700 . . . 4  |-  ( G `
 1 )  e. 
_V
2522, 23, 24fvmpt 5773 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( G `  1 ) )
265, 25ax-mp 5 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) `  1
)  =  ( G `
 1 )
274, 26syl6eq 2490 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3790   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   0cc0 9281   1c1 9282    x. cmul 9286    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594    / cdiv 9992   2c2 10370   [,]cicc 11302    Cn ccn 18827   IIcii 20450   *pcpco 20571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-2 10379  df-icc 11306  df-top 18502  df-topon 18505  df-cn 18830  df-pco 20576
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  20590  pcorevlem  20597  pcophtb  20600  om1addcl  20604  pi1xfrf  20624  pi1xfr  20626  pi1xfrcnvlem  20627  pi1coghm  20632  conpcon  27123  sconpht2  27126  cvmlift3lem6  27212
  Copyright terms: Public domain W3C validator