MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Structured version   Unicode version

Theorem pco0 20545
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco0  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 9382 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 0le0 10407 . . . 4  |-  0  <_  0
3 halfre 10536 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
4 halfgt0 10538 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
51, 3, 4ltleii 9493 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
61, 3elicc2i 11357 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
( 1  /  2
) ) )
71, 2, 5, 6mpbir3an 1165 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
8 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
108, 9pcoval1 20544 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F `  ( 2  x.  0 ) ) )
117, 10mpan2 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 ( 2  x.  0 ) ) )
12 2t0e0 10473 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
1312fveq2i 5691 . 2  |-  ( F `
 ( 2  x.  0 ) )  =  ( F `  0
)
1411, 13syl6eq 2489 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    <_ cle 9415    / cdiv 9989   2c2 10367   [,]cicc 11299    Cn ccn 18787   IIcii 20410   *pcpco 20531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-2 10376  df-icc 11303  df-top 18462  df-topon 18465  df-cn 18790  df-pco 20536
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  20550  pcoass  20555  pcorevlem  20557  pcophtb  20560  om1addcl  20564  pi1xfrf  20584  pi1xfr  20586  pi1xfrcnvlem  20587  pi1coghm  20592  conpcon  27054  sconpht2  27057  cvmlift3lem6  27143
  Copyright terms: Public domain W3C validator