MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Structured version   Unicode version

Theorem pco0 20605
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco0  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 9405 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 0le0 10430 . . . 4  |-  0  <_  0
3 halfre 10559 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
4 halfgt0 10561 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
51, 3, 4ltleii 9516 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
61, 3elicc2i 11380 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
( 1  /  2
) ) )
71, 2, 5, 6mpbir3an 1170 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
8 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
108, 9pcoval1 20604 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F `  ( 2  x.  0 ) ) )
117, 10mpan2 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 ( 2  x.  0 ) ) )
12 2t0e0 10496 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
1312fveq2i 5713 . 2  |-  ( F `
 ( 2  x.  0 ) )  =  ( F `  0
)
1411, 13syl6eq 2491 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4311   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302    x. cmul 9306    <_ cle 9438    / cdiv 10012   2c2 10390   [,]cicc 11322    Cn ccn 18847   IIcii 20470   *pcpco 20591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-2 10399  df-icc 11326  df-top 18522  df-topon 18525  df-cn 18850  df-pco 20596
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  20610  pcoass  20615  pcorevlem  20617  pcophtb  20620  om1addcl  20624  pi1xfrf  20644  pi1xfr  20646  pi1xfrcnvlem  20647  pi1coghm  20652  conpcon  27143  sconpht2  27146  cvmlift3lem6  27232
  Copyright terms: Public domain W3C validator