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Theorem pcmpt2 13953
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
pcmpt2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
pcmpt2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 pcmpt.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
3 pcmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
42, 3pcmptcl 13951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
54simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
6 pcmpt.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 pcmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
8 eluznn 10923 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
105, 9ffvelrnd 5842 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
1110nnzd 10744 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
1210nnne0d 10364 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
135, 6ffvelrnd 5842 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  NN )
14 pcdiv 13917 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  ZZ  /\  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )  /\  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  -  ( P 
pCnt  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  N )
) ) )
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) ) )
16 pcmpt.5 . . . 4  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 13952 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 13952 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
1917, 18oveq12d 6107 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2016eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
2120rspcv 3067 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  B  e.  NN0 ) )
221, 3, 21sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2322nn0cnd 10636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2423subidd 9705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
26 prmnn 13764 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
271, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
2827nnred 10335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  e.  RR )
306nnred 10335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  e.  RR )
329nnred 10335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  M  e.  RR )
34 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  N )
35 eluzle 10871 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
367, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  <_  M )
3829, 31, 33, 34, 37letrd 9526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  M )
39 iftrue 3795 . . . . . 6  |-  ( P  <_  M  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
41 iftrue 3795 . . . . . 6  |-  ( P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4241adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4340, 42oveq12d 6107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( B  -  B ) )
44 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
4544, 34nsyl3 119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) )
46 iffalse 3797 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
)  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
4745, 46syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
4825, 43, 473eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
49 iffalse 3797 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  0 )
5049oveq2d 6105 . . . . 5  |-  ( -.  P  <_  N  ->  ( if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  0 ) )
51 0cn 9376 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
52 ifcl 3829 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5323, 51, 52sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5453subid1d 9706 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  - 
0 )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
5550, 54sylan9eqr 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
56 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
5756biantrud 507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( P  <_  M  <->  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ) )
5857ifbid 3809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
5955, 58eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6048, 59pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
6115, 19, 603eqtrd 2477 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   ifcif 3789   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    x. cmul 9285    <_ cle 9417    - cmin 9593    / cdiv 9991   NNcn 10320   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859    seqcseq 11804   ^cexp 11863   Primecprime 13761    pCnt cpc 13901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fl 11640  df-mod 11707  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-dvds 13534  df-gcd 13689  df-prm 13762  df-pc 13902
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  13954  bposlem6  22626
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