Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclunN Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pclunN 33508
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclun.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
pclun.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclunN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1014 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  K  e.  V )
2 pclun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 pclun.p . . . 4  |-  .+  =  ( +P `  K
)
42, 3paddunssN 33418 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( X  .+  Y
) )
52, 3paddssat 33424 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
6 pclun.c . . . 4  |-  U  =  ( PCl `  K
)
72, 6pclssN 33504 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  ( X  .+  Y )  /\  ( X  .+  Y )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
9 unss 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  <->  ( X  u.  Y )  C_  A
)
109biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( X  u.  Y
)  C_  A )
11103adant1 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  A )
122, 6pclssidN 33505 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( X  u.  Y
)  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )
131, 11, 12syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
14 unss 3620 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )  <->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
1513, 14sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) ) )
16 simp2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  A )
17 simp3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  Y  C_  A )
18 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
192, 18, 6pclclN 33501 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y )
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
201, 11, 19syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)
212, 18, 3paddss 33455 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
) )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1278 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
2315, 22mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
242, 18psubssat 33364 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
251, 20, 24syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
262, 6pclssN 33504 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
271, 23, 25, 26syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
2818, 6pclidN 33506 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
291, 20, 28syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
3027, 29sseqtrd 3480 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
318, 30eqssd 3461 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    u. cun 3414    C_ wss 3416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Atomscatm 32874   PSubSpcpsubsp 33106   +Pcpadd 33405   PClcpclN 33497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-psubsp 33113  df-padd 33406  df-pclN 33498
This theorem is referenced by:  pclun2N  33509
  Copyright terms: Public domain W3C validator