Theorem pclunN 33508

Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclun.a	|- A = ( Atoms ` K )
pclun.p	|- .+ = ( +P ` K )
pclun.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pclunN	|- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) = ( U ` ( X .+ Y ) ) )

Proof of Theorem pclunN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1014	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> K e. V )
2		pclun.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		pclun.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4	2, 3	paddunssN 33418	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ ( X .+ Y ) )
5	2, 3	paddssat 33424	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
6		pclun.c	. . . 4 |- U = ( PCl ` K )
7	2, 6	pclssN 33504	. . 3 |- ( ( K e. V /\ ( X u. Y ) C_ ( X .+ Y ) /\ ( X .+ Y ) C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ ( U ` ( X .+ Y ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ ( U ` ( X .+ Y ) ) )
9		unss 3620	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) <-> ( X u. Y ) C_ A )
10	9	biimpi 199	. . . . . . . 8 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
11	10	3adant1 1032	. . . . . . 7 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
12	2, 6	pclssidN 33505	. . . . . . 7 |- ( ( K e. V /\ ( X u. Y ) C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
13	1, 11, 12	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
14		unss 3620	. . . . . 6 |- ( ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) <-> ( X u. Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
15	13, 14	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
16		simp2 1015	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> X C_ A )
17		simp3 1016	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> Y C_ A )
18		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( PSubSp ` K ) = ( PSubSp ` K )
19	2, 18, 6	pclclN 33501	. . . . . . 7 |- ( ( K e. V /\ ( X u. Y ) C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) )
20	1, 11, 19	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) )
21	2, 18, 3	paddss 33455	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ ( X C_ A /\ Y C_ A /\ ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) ) -> ( ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) <-> ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
22	1, 16, 17, 20, 21	syl13anc 1278	. . . . 5 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) <-> ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
23	15, 22	mpbid 215	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
24	2, 18	psubssat 33364	. . . . 5 |- ( ( K e. V /\ ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ A )
25	1, 20, 24	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ A )
26	2, 6	pclssN 33504	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ ( U ` ( X u. Y ) ) C_ A ) -> ( U ` ( X .+ Y ) ) C_ ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
27	1, 23, 25, 26	syl3anc 1276	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X .+ Y ) ) C_ ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
28	18, 6	pclidN 33506	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) -> ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) = ( U ` ( X u. Y ) ) )
29	1, 20, 28	syl2anc 671	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) = ( U ` ( X u. Y ) ) )
30	27, 29	sseqtrd 3480	. 2 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X .+ Y ) ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
31	8, 30	eqssd 3461	1 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) = ( U ` ( X .+ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   u. cun 3414   C_ wss 3416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Atomscatm 32874   PSubSpcpsubsp 33106   +Pcpadd 33405   PClcpclN 33497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-psubsp 33113  df-padd 33406  df-pclN 33498

This theorem is referenced by:  pclun2N  33509