Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclogsum Structured version   Unicode version

Theorem pclogsum 24006
 Description: The logarithmic analogue of pcprod 14803. The sum of the logarithms of the primes dividing multiplied by their powers yields the logarithm of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
pclogsum
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem pclogsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3655 . . . . . 6
21baib 911 . . . . 5
32ifbid 3937 . . . 4
4 fvif 5892 . . . . 5
5 log1 23400 . . . . . 6
6 ifeq2 3920 . . . . . 6
75, 6ax-mp 5 . . . . 5
84, 7eqtri 2458 . . . 4
93, 8syl6eqr 2488 . . 3
109sumeq2i 13743 . 2
11 inss1 3688 . . . 4
12 simpr 462 . . . . . . . . . . 11
1311, 12sseldi 3468 . . . . . . . . . 10
14 elfznn 11826 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9
16 inss2 3689 . . . . . . . . . . 11
1716, 12sseldi 3468 . . . . . . . . . 10
18 simpl 458 . . . . . . . . . 10
1917, 18pccld 14763 . . . . . . . . 9
2015, 19nnexpcld 12434 . . . . . . . 8
2120nnrpd 11339 . . . . . . 7
2221relogcld 23437 . . . . . 6
2322recnd 9668 . . . . 5
2423ralrimiva 2846 . . . 4
25 fzfi 12182 . . . . . 6
2625olci 392 . . . . 5
27 sumss2 13770 . . . . 5
2826, 27mpan2 675 . . . 4
2911, 24, 28sylancr 667 . . 3
3015nnrpd 11339 . . . . 5
3119nn0zd 11038 . . . . 5
32 relogexp 23410 . . . . 5
3330, 31, 32syl2anc 665 . . . 4
3433sumeq2dv 13747 . . 3
3529, 34eqtr3d 2472 . 2
3614adantl 467 . . . . 5
37 eleq1 2501 . . . . . . . 8
38 id 23 . . . . . . . . 9
39 oveq1 6312 . . . . . . . . 9
4038, 39oveq12d 6323 . . . . . . . 8
4137, 40ifbieq1d 3938 . . . . . . 7
4241fveq2d 5885 . . . . . 6
43 eqid 2429 . . . . . 6
44 fvex 5891 . . . . . 6
4542, 43, 44fvmpt 5964 . . . . 5
4636, 45syl 17 . . . 4
47 elnnuz 11195 . . . . 5
4847biimpi 197 . . . 4
4936adantr 466 . . . . . . . . 9
50 simpr 462 . . . . . . . . . 10
51 simpll 758 . . . . . . . . . 10
5250, 51pccld 14763 . . . . . . . . 9
5349, 52nnexpcld 12434 . . . . . . . 8
54 1nn 10620 . . . . . . . . 9
5554a1i 11 . . . . . . . 8
5653, 55ifclda 3947 . . . . . . 7
5756nnrpd 11339 . . . . . 6
5857relogcld 23437 . . . . 5
5958recnd 9668 . . . 4
6046, 48, 59fsumser 13774 . . 3
61 rpmulcl 11324 . . . . 5
6261adantl 467 . . . 4
63 eqid 2429 . . . . . . 7
64 ovex 6333 . . . . . . . 8
65 1ex 9637 . . . . . . . 8
6664, 65ifex 3983 . . . . . . 7
6741, 63, 66fvmpt 5964 . . . . . 6
6836, 67syl 17 . . . . 5
6968, 57eqeltrd 2517 . . . 4
70 relogmul 23406 . . . . 5
7170adantl 467 . . . 4
7268fveq2d 5885 . . . . 5
7372, 46eqtr4d 2473 . . . 4
7462, 69, 48, 71, 73seqhomo 12257 . . 3
7563pcprod 14803 . . . 4
7675fveq2d 5885 . . 3
7760, 74, 763eqtr2d 2476 . 2
7810, 35, 773eqtr3a 2494 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782   cin 3441   wss 3442  cif 3915   cmpt 4484  cfv 5601  (class class class)co 6305  cfn 7577  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543  cn 10609  cz 10937  cuz 11159  crp 11302  cfz 11782   cseq 12210  cexp 12269  csu 13730  cprime 14593   cpc 14749  clog 23369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371 This theorem is referenced by:  vmasum  24007  chebbnd1lem1  24170
 Copyright terms: Public domain W3C validator