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Theorem pclfinclN 33235
Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 33185 and also pclcmpatN 33186. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfincl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfincl.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
pclfincl.s  |-  S  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
pclfinclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( U `  X )  e.  S )

Proof of Theorem pclfinclN
Dummy variables  q  p  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3491 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
21anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A
) ) )
3 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( U `
 x )  =  ( U `  (/) ) )
43eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( U `  x )  e.  S  <->  ( U `  (/) )  e.  S
) )
52, 4imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( U `  (/) )  e.  S
) ) )
6 sseq1 3491 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
76anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) ) )
8 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( U `  x )  =  ( U `  y ) )
98eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( U `  x
)  e.  S  <->  ( U `  y )  e.  S
) )
107, 9imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x )  e.  S )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) ) )
11 sseq1 3491 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1211anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
) )
13 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U `  x )  =  ( U `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( U `
 x )  e.  S  <->  ( U `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  S ) )
1512, 14imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  -> 
( U `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) )
16 sseq1 3491 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  A  <->  X  C_  A
) )
1716anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  X  C_  A ) ) )
18 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( U `  x )  =  ( U `  X ) )
1918eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( U `  x
)  e.  S  <->  ( U `  X )  e.  S
) )
2017, 19imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x )  e.  S )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  e.  S ) ) )
21 pclfincl.c . . . . . . 7  |-  U  =  ( PCl `  K
)
2221pcl0N 33207 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  (/) )  =  (/) )
23 pclfincl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubCl `  K )
24230psubclN 33228 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  (/)  e.  S
)
2522, 24eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  (/) )  e.  S )
2625adantr 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A )  ->  ( U `  (/) )  e.  S )
27 anass 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A
)  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y 
C_  A  /\  z  e.  A ) ) )
28 vex 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2928snss 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
3029anbi2i 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  z  e.  A )  <->  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A
) )
31 unss 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  <->  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )
3230, 31bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  z  e.  A )  <->  ( y  u.  { z } )  C_  A
)
3332anbi2i 698 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  A
) )  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)
3427, 33bitr2i 253 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A ) )
35 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  =  (/) )
3635uneq1d 3625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  =  (
(/)  u.  { z } ) )
37 uncom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ z } )  =  ( { z }  u.  (/) )
38 un0 3793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  u.  (/) )  =  { z }
3937, 38eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ z } )  =  { z }
4036, 39syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  =  {
z } )
4140fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  ( U `
 { z } ) )
42 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
43 hlatl 32646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
45 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
46 pclfincl.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
47 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
4846, 47snatpsubN 33035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  z  e.  A )  ->  { z }  e.  ( PSubSp `  K ) )
4944, 45, 48syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  e.  ( PSubSp `  K ) )
5047, 21pclidN 33181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { z }  e.  (
PSubSp `  K ) )  ->  ( U `  { z } )  =  { z } )
5142, 49, 50syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  { z } )  =  {
z } )
5241, 51eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  { z } )
5346, 23atpsubclN 33230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  A )  ->  { z }  e.  S )
5442, 45, 53syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  e.  S )
5552, 54eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S )
5655exp43 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  (
( U `  y
)  e.  S  -> 
( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
57 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
5846, 21pclssidN 33180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  ( U `  y ) )
5958ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  C_  ( U `  y
) )
60 unss1 3641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( U `  y )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
)  u.  { z } ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
)  u.  { z } ) )
62 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  e.  S )
6346, 23psubclssatN 33226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y )  e.  S )  -> 
( U `  y
)  C_  A )
6457, 62, 63syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  C_  A )
65 snssi 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
6665ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  C_  A )
67 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +P `  K )  =  ( +P `  K )
6846, 67paddunssN 33093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y ) 
C_  A  /\  {
z }  C_  A
)  ->  ( ( U `  y )  u.  { z } ) 
C_  ( ( U `
 y ) ( +P `  K
) { z } ) )
6957, 64, 66, 68syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } ) )
7061, 69sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } ) )
7146, 67paddssat 33099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y ) 
C_  A  /\  {
z }  C_  A
)  ->  ( ( U `  y )
( +P `  K ) { z } )  C_  A
)
7257, 64, 66, 71syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } )  C_  A
)
7346, 21pclssN 33179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  /\  ( ( U `
 y ) ( +P `  K
) { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  C_  ( U `  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } ) ) )
7457, 70, 72, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  C_  ( U `  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } ) ) )
75 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
7646, 67, 23paddatclN 33234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A )  ->  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } )  e.  S
)
7757, 62, 75, 76syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } )  e.  S
)
7847, 23psubclsubN 33225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  e.  S )  -> 
( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  e.  ( PSubSp `  K
) )
7957, 77, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } )  e.  (
PSubSp `  K ) )
8047, 21pclidN 33181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( ( U `  y )
( +P `  K ) { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } ) )
8157, 79, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( ( U `  y )
( +P `  K ) { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } ) )
8274, 81sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  C_  ( ( U `  y )
( +P `  K ) { z } ) )
83 hllat 32649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
8457, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
85 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  =/=  (/) )
8646, 21pcl0bN 33208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  -> 
( ( U `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
8786ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
8887necon3bid 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  =/=  (/)  <->  y  =/=  (/) ) )
8985, 88mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  =/=  (/) )
90 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
91 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
9290, 91, 46, 67elpaddat 33089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  y
)  C_  A  /\  z  e.  A )  /\  ( U `  y
)  =/=  (/) )  -> 
( q  e.  ( ( U `  y
) ( +P `  K ) { z } )  <->  ( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) ) )
9384, 64, 75, 89, 92syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  <->  ( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) ) )
94 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
95943ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  ->  K  e.  HL )
9695adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  K  e.  HL )
97 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  w  e.  ( PSubSp `  K ) )
98 simpl13 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q  e.  A )
99 unss 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  <->  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w )
100 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  ->  y  C_  w )
10199, 100sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  w  ->  y  C_  w )
102101ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
y  C_  w )
103 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  p  e.  ( U `  y ) )
10447, 21elpcliN 33178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  w  /\  w  e.  ( PSubSp `  K ) )  /\  p  e.  ( U `  y ) )  ->  p  e.  w )
10596, 102, 97, 103, 104syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  p  e.  w )
10628snss 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  w  <->  { z }  C_  w )
107106biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { z }  C_  w  ->  z  e.  w )
108107adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  ->  z  e.  w )
10999, 108sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  w  ->  z  e.  w )
110109ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
z  e.  w )
111 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )
11290, 91, 46, 47psubspi2N 33033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  q  e.  A )  /\  (
p  e.  w  /\  z  e.  w  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) )  ->  q  e.  w )
11396, 97, 98, 105, 110, 111, 112syl33anc 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q  e.  w )
114113exp520 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  (
p  e.  ( U `
 y )  -> 
( q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) ) )
115114rexlimdv 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  ( E. p  e.  ( U `  y )
q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) )
1161153expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  A  -> 
( E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) ) )
117116impd 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y ) q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  ->  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) )
11893, 117sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  ->  (
w  e.  ( PSubSp `  K )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) ) )
119118ralrimdv 2848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  ->  A. w  e.  ( PSubSp `  K )
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) )
120 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  C_  A )
121120, 75jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  C_  A  /\  z  e.  A )
)
122121, 32sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
123 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  q  e. 
_V
12446, 47, 21, 123elpclN 33177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
q  e.  ( U `
 ( y  u. 
{ z } ) )  <->  A. w  e.  (
PSubSp `  K ) ( ( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) )
12557, 122, 124syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( U `
 ( y  u. 
{ z } ) )  <->  A. w  e.  (
PSubSp `  K ) ( ( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) )
126119, 125sylibrd 237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } )  ->  q  e.  ( U `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
127126ssrdv 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( +P `  K ) { z } )  C_  ( U `  ( y  u.  { z } ) ) )
12882, 127eqssd 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( +P `  K ) { z } ) )
129128, 77eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S )
130129exp43 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( ( U `  y )  e.  S  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
13156, 130pm2.61dane 2749 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( ( U `  y )  e.  S  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
132131a2d 29 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S )  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
133132imp4b 593 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) )  -> 
( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S ) )
13434, 133syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) )
135134ex 435 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S )  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) )
1365, 10, 15, 20, 26, 135findcard2 7817 . . 3  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X
)  e.  S ) )
1371363impib 1203 . 2  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  e.  S )
1381373coml 1212 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( U `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    u. cun 3440    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   lecple 15160   joincjn 16144   Latclat 16246   Atomscatm 32549   AtLatcal 32550   HLchlt 32636   PSubSpcpsubsp 32781   +Pcpadd 33080   PClcpclN 33172   PSubClcpscN 33219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32245
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7028  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-preset 16128  df-poset 16146  df-plt 16159  df-lub 16175  df-glb 16176  df-join 16177  df-meet 16178  df-p0 16240  df-p1 16241  df-lat 16247  df-clat 16309  df-oposet 32462  df-ol 32464  df-oml 32465  df-covers 32552  df-ats 32553  df-atl 32584  df-cvlat 32608  df-hlat 32637  df-psubsp 32788  df-pmap 32789  df-padd 33081  df-pclN 33173  df-polarityN 33188  df-psubclN 33220
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