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Theorem pclfinN 33547
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 33597. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfin.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclfinN  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  =  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, U    y, K    y, X

Proof of Theorem pclfinN
Dummy variables  q  p  r  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  AtLat )
2 elin 3542 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( y  e.  Fin  /\  y  e. 
~P X ) )
3 elpwi 3872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e.  ~P X
)  ->  y  C_  X )
52, 4sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  y  C_  X )
6 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  K  e.  AtLat )
7 sstr 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  X  /\  X  C_  A )  -> 
y  C_  A )
87ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  A  /\  y  C_  X )  -> 
y  C_  A )
98adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  y  C_  A
)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( PCl `  K
)
1310, 11, 12pclclN 33538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
146, 9, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( U `  y )  e.  (
PSubSp `  K ) )
1510, 11psubssat 33401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( U `  y )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  ( U `  y )  C_  A
)
166, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( U `  y )  C_  A
)
1716ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  C_  X  ->  ( U `  y ) 
C_  A ) )
185, 17syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( U `  y
)  C_  A )
)
1918ralrimiv 2801 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  A. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A )
20 iunss 4214 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) 
C_  A  <->  A. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A )
2119, 20sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A )
22 eliun 4178 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  y
) )
23 fveq2 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( U `  y )  =  ( U `  w ) )
2423eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
p  e.  ( U `
 y )  <->  p  e.  ( U `  w ) ) )
2524cbvrexv 2951 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  y )  <->  E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
) )
2622, 25bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
) )
27 eliun 4178 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  y
) )
28 fveq2 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( U `  y )  =  ( U `  v ) )
2928eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
q  e.  ( U `
 y )  <->  q  e.  ( U `  v ) ) )
3029cbvrexv 2951 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  y )  <->  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) )
3127, 30bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) )
3226, 31anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  /\  q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) )  <-> 
( E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
)  /\  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) ) )
33 elin 3542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( w  e.  Fin  /\  w  e. 
~P X ) )
34 elpwi 3872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ~P X  ->  w  C_  X )
3534anim2i 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  w  e.  ~P X
)  ->  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X ) )
3633, 35sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X ) )
37 elin 3542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( v  e.  Fin  /\  v  e. 
~P X ) )
38 elpwi 3872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ~P X  -> 
v  C_  X )
3938anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  v  e.  ~P X
)  ->  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X ) )
4037, 39sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  (
v  e.  Fin  /\  v  C_  X ) )
41 simp2rl 1057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  e.  Fin )
42 simp12l 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  e.  Fin )
43 unfi 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  v  e.  Fin )  ->  ( w  u.  v
)  e.  Fin )
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  e.  Fin )
45 simp2rr 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  C_  X
)
46 simp12r 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  C_  X
)
4745, 46unssd 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  C_  X
)
48 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
49 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  e. 
_V
5048, 49unex 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  u.  v )  e. 
_V
5150elpw 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  u.  v )  e.  ~P X  <->  ( w  u.  v )  C_  X
)
5247, 51sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  e.  ~P X )
5344, 52elind 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) )
54 simp11l 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
55 simp11r 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  X  C_  A
)
5645, 55sstrd 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  C_  A
)
5746, 55sstrd 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  C_  A
)
5856, 57unssd 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  C_  A
)
5910, 11, 12pclclN 33538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
w  u.  v ) 
C_  A )  -> 
( U `  (
w  u.  v ) )  e.  ( PSubSp `  K ) )
6054, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( U `  ( w  u.  v
) )  e.  (
PSubSp `  K ) )
61 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  A
)
62 ssun1 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  C_  ( w  u.  v
)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  C_  (
w  u.  v ) )
6410, 12pclssN 33541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  w  C_  ( w  u.  v
)  /\  ( w  u.  v )  C_  A
)  ->  ( U `  w )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
6554, 63, 58, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( U `  w )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
66 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  p  e.  ( U `  w ) )
6765, 66sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  p  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
68 ssun2 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  C_  ( w  u.  v
)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  C_  (
w  u.  v ) )
7010, 12pclssN 33541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  v  C_  ( w  u.  v
)  /\  ( w  u.  v )  C_  A
)  ->  ( U `  v )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
7154, 69, 58, 70syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( U `  v )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
72 simp13 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  q  e.  ( U `  v ) )
7371, 72sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  q  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
74 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q ) )
75 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
76 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
7775, 76, 10, 11psubspi2N 33395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  ( U `  (
w  u.  v ) )  e.  ( PSubSp `  K )  /\  r  e.  A )  /\  (
p  e.  ( U `
 ( w  u.  v ) )  /\  q  e.  ( U `  ( w  u.  v
) )  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
7854, 60, 61, 67, 73, 74, 77syl33anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
79 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( w  u.  v )  ->  ( U `  y )  =  ( U `  ( w  u.  v
) ) )
8079eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( w  u.  v )  ->  (
r  e.  ( U `
 y )  <->  r  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) ) )
8180rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  u.  v
)  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  /\  r  e.  ( U `  ( w  u.  v
) ) )  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) r  e.  ( U `
 y ) )
8253, 78, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) r  e.  ( U `  y ) )
83 eliun 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) r  e.  ( U `  y
) )
8482, 83sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) )
85843exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v )
)  ->  ( (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  ->  ( (
r  e.  A  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q ) )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) ) ) )
8685exp5c 616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v )
)  ->  ( p  e.  ( U `  w
)  ->  ( (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) )
87863exp 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  ->  ( q  e.  ( U `  v )  ->  ( p  e.  ( U `  w
)  ->  ( (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) ) ) )
8840, 87syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
v  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( q  e.  ( U `  v )  ->  ( p  e.  ( U `  w
)  ->  ( (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) ) ) )
8988rexlimdv 2843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `
 v )  -> 
( p  e.  ( U `  w )  ->  ( ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) ) )
9089com24 87 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  ->  ( p  e.  ( U `  w )  ->  ( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
)  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) ) ) )
9136, 90syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( p  e.  ( U `  w )  ->  ( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
)  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) ) ) )
9291rexlimdv 2843 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `
 w )  -> 
( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
)  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) ) )
9392impd 431 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
)  /\  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) )
9432, 93syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y )  /\  q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) )  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) )
9594ralrimdv 2808 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y )  /\  q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) )  ->  A. r  e.  A  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) )
9695ralrimivv 2810 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  A. p  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. q  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. r  e.  A  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) )
9775, 76, 10, 11ispsubsp 33392 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y )  e.  ( PSubSp `  K
)  <->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A  /\  A. p  e. 
U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. q  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. r  e.  A  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) )
9897adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `  y
)  e.  ( PSubSp `  K )  <->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) 
C_  A  /\  A. p  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) A. q  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) A. r  e.  A  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) )
9921, 96, 98mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
100 snfi 7393 . . . . . . . . 9  |-  { w }  e.  Fin
101100a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  Fin )
102 snelpwi 4540 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  X  ->  { w }  e.  ~P X
)
103102adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  ~P X
)
104101, 103elind 3543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) )
105 ssnid 3909 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
{ w }
106 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  K  e.  AtLat
)
107 ssel2 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  A  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  A )
108107adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  A )
10910, 11snatpsubN 33397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  w  e.  A )  ->  { w }  e.  ( PSubSp `  K ) )
110106, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  ( PSubSp `  K ) )
11111, 12pclidN 33543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  {
w }  e.  (
PSubSp `  K ) )  ->  ( U `  { w } )  =  { w }
)
112106, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  ( U `  { w } )  =  { w }
)
113105, 112syl5eleqr 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  ( U `  { w } ) )
114 fveq2 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { w }  ->  ( U `  y
)  =  ( U `
 { w }
) )
115114eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { w }  ->  ( w  e.  ( U `  y )  <-> 
w  e.  ( U `
 { w }
) ) )
116115rspcev 3076 . . . . . . 7  |-  ( ( { w }  e.  ( Fin  i^i  ~P X
)  /\  w  e.  ( U `  { w } ) )  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `
 y ) )
117104, 113, 116syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `  y
) )
118117ex 434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  X  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `
 y ) ) )
119 eliun 4178 . . . . 5  |-  ( w  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `  y
) )
120118, 119syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  X  ->  w  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) )
121120ssrdv 3365 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  X  C_ 
U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
122 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  y  C_  X
)
123 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  X  C_  A
)
12410, 12pclssN 33541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  y  C_  X  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  y )  C_  ( U `  X
) )
1256, 122, 123, 124syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( U `  y )  C_  ( U `  X )
)
126125sseld 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( w  e.  ( U `  y
)  ->  w  e.  ( U `  X ) ) )
127126ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  C_  X  ->  ( w  e.  ( U `
 y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) ) )
1285, 127syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( w  e.  ( U `  y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) ) )
129128rexlimdv 2843 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `
 y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) )
130119, 129syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) )
131130ssrdv 3365 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  ( U `  X ) )
13211, 12pclbtwnN 33544 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\ 
U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y )  e.  (
PSubSp `  K ) )  /\  ( X  C_  U_ y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) ( U `  y )  /\  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  ( U `  X ) ) )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  =  ( U `  X
) )
1331, 99, 121, 131, 132syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  =  ( U `  X
) )
134133eqcomd 2448 1  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  =  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   ~Pcpw 3863   {csn 3880   U_ciun 4174   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   lecple 14248   joincjn 15117   Atomscatm 32911   AtLatcal 32912   PSubSpcpsubsp 33143   PClcpclN 33534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-fin 7317  df-poset 15119  df-plt 15131  df-lub 15147  df-glb 15148  df-join 15149  df-meet 15150  df-p0 15212  df-lat 15219  df-covers 32914  df-ats 32915  df-atl 32946  df-psubsp 33150  df-pclN 33535
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  33548
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