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Theorem pclem 14788
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
Assertion
Ref Expression
pclem  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, n, y, N    P, n, x, y
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 ssrab2 3546 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3494 . . . 4  |-  A  C_  NN0
4 nn0ssz 10966 . . . 4  |-  NN0  C_  ZZ
53, 4sstri 3473 . . 3  |-  A  C_  ZZ
65a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  C_  ZZ )
7 0nn0 10892 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  NN0 )
9 eluzelcn 11178 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  CC )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  CC )
1110exp0d 12417 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
12 1dvds 14317 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1312ad2antrl 732 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  ||  N )
1411, 13eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  ||  N )
15 oveq2 6314 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ 0 ) )
1615breq1d 4433 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
1716, 1elrab2 3230 . . . 4  |-  ( 0  e.  A  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
188, 14, 17sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  A )
19 ne0i 3767 . . 3  |-  ( 0  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2018, 19syl 17 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  (/) )
21 nnssz 10965 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
22 zcn 10950 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2322abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
2423ad2antrl 732 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
25 eluzelre 11177 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
2625adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  RR )
27 eluz2b2 11239 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
2827simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
2928adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  <  P )
30 expnbnd 12408 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <  P )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x ) )
3124, 26, 29, 30syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )
32 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
33 oveq2 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ y
) )
3433breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ y )  ||  N ) )
3534, 1elrab2 3230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y )  ||  N ) )
3632, 35sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y
)  ||  N )
)
3736simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  ||  N )
38 eluz2nn 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
3938ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  NN )
4036simpld 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  NN0 )
4139, 40nnexpcld 12444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  NN )
4241nnzd 11047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  ZZ )
43 simplrl 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
44 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  =/=  0 )
45 dvdsleabs 14351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( P ^ y
)  ||  N  ->  ( P ^ y )  <_  ( abs `  N
) ) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( P ^
y )  ||  N  ->  ( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) ) )
4737, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) )
4841nnred 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  RR )
4924adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
5025ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  RR )
51 nnnn0 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
5251ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN0 )
5350, 52reexpcld 12440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ x
)  e.  RR )
54 lelttr 9732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  RR  /\  ( abs `  N )  e.  RR  /\  ( P ^ x )  e.  RR )  ->  (
( ( P ^
y )  <_  ( abs `  N )  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5548, 49, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( P ^ y )  <_ 
( abs `  N
)  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^ x ) )  ->  ( P ^
y )  <  ( P ^ x ) ) )
5647, 55mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5740nn0zd 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
58 nnz 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
5958ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
6028ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
1  <  P )
6150, 57, 59, 60ltexp2d 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  <->  ( P ^ y )  <  ( P ^
x ) ) )
6256, 61sylibrd 237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <  x )
)
6340nn0red 10934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  RR )
64 nnre 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
6564ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR )
66 ltle 9730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6763, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6862, 67syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
6968anassrs 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7069ralrimdva 2840 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7170reximdva 2897 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7231, 71mpd 15 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x )
73 ssrexv 3526 . . 3  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7421, 72, 73mpsyl 65 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
756, 20, 743jca 1185 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    < clt 9683    <_ cle 9684   NNcn 10617   2c2 10667   NN0cn0 10877   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167   ^cexp 12279   abscabs 13298    || cdvds 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-sup 7966  df-inf 7967  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-dvds 14306
This theorem is referenced by:  pcprecl  14789  pcprendvds  14790  pcpremul  14793
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