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Theorem pclem 14373
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
Assertion
Ref Expression
pclem  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, n, y, N    P, n, x, y
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 ssrab2 3581 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3529 . . . 4  |-  A  C_  NN0
4 nn0ssz 10906 . . . 4  |-  NN0  C_  ZZ
53, 4sstri 3508 . . 3  |-  A  C_  ZZ
65a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  C_  ZZ )
7 0nn0 10831 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  NN0 )
9 eluzelcn 11117 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  CC )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  CC )
1110exp0d 12306 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
12 1dvds 14009 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1312ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  ||  N )
1411, 13eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  ||  N )
15 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ 0 ) )
1615breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
1716, 1elrab2 3259 . . . 4  |-  ( 0  e.  A  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
188, 14, 17sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  A )
19 ne0i 3799 . . 3  |-  ( 0  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  (/) )
21 nnssz 10905 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
22 zcn 10890 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2322abscld 13278 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
2423ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
25 eluzelre 11116 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  RR )
27 eluz2b2 11179 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
2827simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  <  P )
30 expnbnd 12297 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <  P )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x ) )
3124, 26, 29, 30syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )
32 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ y
) )
3433breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ y )  ||  N ) )
3534, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y )  ||  N ) )
3632, 35sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y
)  ||  N )
)
3736simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  ||  N )
38 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  NN )
4036simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  NN0 )
4139, 40nnexpcld 12333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  NN )
4241nnzd 10989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  ZZ )
43 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
44 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  =/=  0 )
45 dvdsleabs 14043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( P ^ y
)  ||  N  ->  ( P ^ y )  <_  ( abs `  N
) ) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( P ^
y )  ||  N  ->  ( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) ) )
4737, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) )
4841nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  RR )
4924adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
5025ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  RR )
51 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN0 )
5350, 52reexpcld 12329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ x
)  e.  RR )
54 lelttr 9692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  RR  /\  ( abs `  N )  e.  RR  /\  ( P ^ x )  e.  RR )  ->  (
( ( P ^
y )  <_  ( abs `  N )  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5548, 49, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( P ^ y )  <_ 
( abs `  N
)  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^ x ) )  ->  ( P ^
y )  <  ( P ^ x ) ) )
5647, 55mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5740nn0zd 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
58 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
6028ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
1  <  P )
6150, 57, 59, 60ltexp2d 12341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  <->  ( P ^ y )  <  ( P ^
x ) ) )
6256, 61sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <  x )
)
6340nn0red 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  RR )
64 nnre 10563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
6564ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR )
66 ltle 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6862, 67syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
6968anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7069ralrimdva 2875 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7170reximdva 2932 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7231, 71mpd 15 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x )
73 ssrexv 3561 . . 3  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7421, 72, 73mpsyl 63 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
756, 20, 743jca 1176 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12168   abscabs 13078    || cdvds 13997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998
This theorem is referenced by:  pcprecl  14374  pcprendvds  14375  pcpremul  14378
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