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Theorem pclem 13167
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
Assertion
Ref Expression
pclem  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, n, y, N    P, n, x, y
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3338 . . . 4  |-  A  C_  NN0
4 nn0ssz 10258 . . . 4  |-  NN0  C_  ZZ
53, 4sstri 3317 . . 3  |-  A  C_  ZZ
65a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  C_  ZZ )
7 0nn0 10192 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  NN0 )
9 eluzelz 10452 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
109zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  CC )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  CC )
1211exp0d 11472 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
13 1dvds 12819 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1413ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  ||  N )
1512, 14eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  ||  N )
16 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ 0 ) )
1716breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
1817, 1elrab2 3054 . . . 4  |-  ( 0  e.  A  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
198, 15, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  A )
20 ne0i 3594 . . 3  |-  ( 0  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  (/) )
22 nnssz 10257 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
23 zcn 10243 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2423abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
2524ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
26 eluzelre 10453 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  RR )
28 eluz2b2 10504 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
2928simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
3029adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  <  P )
31 expnbnd 11463 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <  P )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x ) )
3225, 27, 30, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
34 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ y
) )
3534breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ y )  ||  N ) )
3635, 1elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y )  ||  N ) )
3733, 36sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y
)  ||  N )
)
3837simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  ||  N )
3928simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  NN )
4137simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  NN0 )
4240, 41nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  NN )
4342nnzd 10330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  ZZ )
44 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
45 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  =/=  0 )
46 dvdsleabs 12851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( P ^ y
)  ||  N  ->  ( P ^ y )  <_  ( abs `  N
) ) )
4743, 44, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( P ^
y )  ||  N  ->  ( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) ) )
4838, 47mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) )
4942nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  RR )
5025adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
5126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  RR )
52 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
5352ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN0 )
5451, 53reexpcld 11495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ x
)  e.  RR )
55 lelttr 9121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  RR  /\  ( abs `  N )  e.  RR  /\  ( P ^ x )  e.  RR )  ->  (
( ( P ^
y )  <_  ( abs `  N )  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5649, 50, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( P ^ y )  <_ 
( abs `  N
)  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^ x ) )  ->  ( P ^
y )  <  ( P ^ x ) ) )
5748, 56mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5841nn0zd 10329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
59 nnz 10259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
6059ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
6129ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
1  <  P )
6251, 58, 60, 61ltexp2d 11507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  <->  ( P ^ y )  <  ( P ^
x ) ) )
6357, 62sylibrd 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <  x )
)
6441nn0red 10231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  RR )
65 nnre 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR )
67 ltle 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6864, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6963, 68syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7069anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7170ralrimdva 2756 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7271reximdva 2778 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7332, 72mpd 15 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x )
74 ssrexv 3368 . . 3  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7522, 73, 74mpsyl 61 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
766, 21, 753jca 1134 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ^cexp 11337   abscabs 11994    || cdivides 12807
This theorem is referenced by:  pcprecl  13168  pcprendvds  13169  pcpremul  13172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808
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