Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclclN Structured version   Unicode version

Theorem pclclN 34562
Description: Closure of the projective subspace closure function. (Contributed by NM, 8-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfval.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pclfval.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclclN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )

Proof of Theorem pclclN
Dummy variables  y 
q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclfval.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 pclfval.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 pclfval.c . . 3  |-  U  =  ( PCl `  K
)
41, 2, 3pclvalN 34561 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  =  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )
51, 2atpsubN 34424 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A  e.  S )
6 sseq2 3519 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( X  C_  y  <->  X  C_  A
) )
76intminss 4301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
85, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
9 r19.26 2982 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  (
( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
10 jcab 859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  ( ( X 
C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
1110ralbii 2888 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X 
C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
12 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  p  e. 
_V
1312elintrab 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )
)
14 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  q  e. 
_V
1514elintrab 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
q  e.  y ) )
1613, 15anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
179, 11, 163bitr4ri 278 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) ) )
18 simpll1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  K  e.  V )
19 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  y  e.  S )
20 simpll3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  A )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  p  e.  y )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  q  e.  y )
23 simpll2 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q ) )
24 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 1, 2psubspi2N 34419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  y  e.  S  /\  r  e.  A
)  /\  ( p  e.  y  /\  q  e.  y  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  y )
2718, 19, 20, 21, 22, 23, 26syl33anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  y )
2827ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
p  e.  y  /\  q  e.  y )  ->  r  e.  y ) )
2928imim2d 52 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  ( X  C_  y  ->  r  e.  y ) ) )
3029ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) ) )
31 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
3231elintrab 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) )
3330, 32syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
34333exp 1190 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  V  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  A  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3534com24 87 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3617, 35syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3736ralrimdv 2873 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  ->  A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) )
3837ralrimivv 2877 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
3938adantr 465 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
4024, 25, 1, 2ispsubsp 34416 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  C_  A  /\  A. p  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
4140adantr 465 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  (
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A  /\  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
428, 39, 41mpbir2and 915 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S )
434, 42eqeltrd 2548 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3469   |^|cint 4275   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   lecple 14551   joincjn 15420   Atomscatm 33935   PSubSpcpsubsp 34167   PClcpclN 34558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-psubsp 34174  df-pclN 34559
This theorem is referenced by:  pclunN  34569  pclfinN  34571
  Copyright terms: Public domain W3C validator