Theorem pcl0bN 35790

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	|- A = ( Atoms ` K )
pcl0b.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	|- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> ( ( U ` P ) = (/) <-> P = (/) ) )

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
2		pcl0b.c	. . . . 5 |- U = ( PCl ` K )
3	1, 2	pclssidN 35762	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> P C_ ( U ` P ) )
4		eqimss 3551	. . . 4 |- ( ( U ` P ) = (/) -> ( U ` P ) C_ (/) )
5	3, 4	sylan9ss 3512	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ ( U ` P ) = (/) ) -> P C_ (/) )
6		ss0 3825	. . 3 |- ( P C_ (/) -> P = (/) )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ ( U ` P ) = (/) ) -> P = (/) )
8		fveq2 5872	. . . 4 |- ( P = (/) -> ( U ` P ) = ( U ` (/) ) )
9	2	pcl0N 35789	. . . 4 |- ( K e. HL -> ( U ` (/) ) = (/) )
10	8, 9	sylan9eqr 2520	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ P = (/) ) -> ( U ` P ) = (/) )
11	10	adantlr 714	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ P = (/) ) -> ( U ` P ) = (/) )
12	7, 11	impbida 832	1 |- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> ( ( U ` P ) = (/) <-> P = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ` cfv 5594   Atomscatm 35131   HLchlt 35218   PClcpclN 35754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34827

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-undef 7020  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-pclN 35755  df-polarityN 35770

This theorem is referenced by:  pclfinclN  35817