Theorem pcl0bN 33567

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	|- A = ( Atoms ` K )
pcl0b.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	|- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> ( ( U ` P ) = (/) <-> P = (/) ) )

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
2		pcl0b.c	. . . . 5 |- U = ( PCl ` K )
3	1, 2	pclssidN 33539	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> P C_ ( U ` P ) )
4		eqimss 3408	. . . 4 |- ( ( U ` P ) = (/) -> ( U ` P ) C_ (/) )
5	3, 4	sylan9ss 3369	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ ( U ` P ) = (/) ) -> P C_ (/) )
6		ss0 3668	. . 3 |- ( P C_ (/) -> P = (/) )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ ( U ` P ) = (/) ) -> P = (/) )
8		fveq2 5691	. . . 4 |- ( P = (/) -> ( U ` P ) = ( U ` (/) ) )
9	2	pcl0N 33566	. . . 4 |- ( K e. HL -> ( U ` (/) ) = (/) )
10	8, 9	sylan9eqr 2497	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ P = (/) ) -> ( U ` P ) = (/) )
11	10	adantlr 714	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ P = (/) ) -> ( U ` P ) = (/) )
12	7, 11	impbida 828	1 |- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> ( ( U ` P ) = (/) <-> P = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ` cfv 5418   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   PClcpclN 33531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-riotaBAD 32604

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-undef 6792  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-pclN 33532  df-polarityN 33547

This theorem is referenced by:  pclfinclN  33594