Theorem pcl0bN 33488

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	|- A = ( Atoms ` K )
pcl0b.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	|- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> ( ( U ` P ) = (/) <-> P = (/) ) )

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
2		pcl0b.c	. . . . 5 |- U = ( PCl ` K )
3	1, 2	pclssidN 33460	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> P C_ ( U ` P ) )
4		eqimss 3484	. . . 4 |- ( ( U ` P ) = (/) -> ( U ` P ) C_ (/) )
5	3, 4	sylan9ss 3445	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ ( U ` P ) = (/) ) -> P C_ (/) )
6		ss0 3765	. . 3 |- ( P C_ (/) -> P = (/) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ ( U ` P ) = (/) ) -> P = (/) )
8		fveq2 5865	. . . 4 |- ( P = (/) -> ( U ` P ) = ( U ` (/) ) )
9	2	pcl0N 33487	. . . 4 |- ( K e. HL -> ( U ` (/) ) = (/) )
10	8, 9	sylan9eqr 2507	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ P = (/) ) -> ( U ` P ) = (/) )
11	10	adantlr 721	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ P C_ A ) /\ P = (/) ) -> ( U ` P ) = (/) )
12	7, 11	impbida 843	1 |- ( ( K e. HL /\ P C_ A ) -> ( ( U ` P ) = (/) <-> P = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ` cfv 5582   Atomscatm 32829   HLchlt 32916   PClcpclN 33452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-riotaBAD 32525

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-undef 7020  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-pclN 33453  df-polarityN 33468

This theorem is referenced by:  pclfinclN  33515