MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcge0 Structured version   Unicode version

Theorem pcge0 14774
Description: The prime count of an integer is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcge0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( P  pCnt  N
) )

Proof of Theorem pcge0
StepHypRef Expression
1 0lepnf 11433 . . 3  |-  0  <_ +oo
2 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( P  pCnt  N )  =  ( P  pCnt  0
) )
3 pc0 14767 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = +oo )
43adantr 466 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  0 )  = +oo )
52, 4sylan9eqr 2492 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( P  pCnt  N )  = +oo )
61, 5syl5breqr 4462 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  0  <_  ( P  pCnt  N )
)
7 pczcl 14761 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  e.  NN0 )
87nn0ge0d 10928 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  <_  ( P  pCnt  N ) )
98anassrs 652 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  0  <_  ( P  pCnt  N )
)
106, 9pm2.61dane 2749 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( P  pCnt  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   0cc0 9538   +oocpnf 9671    <_ cle 9675   ZZcz 10937   Primecprime 14593    pCnt cpc 14749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750
This theorem is referenced by:  pcgcd1  14789  pcz  14793  sqff1o  23972
  Copyright terms: Public domain W3C validator