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Theorem pcfac 14923
Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfac  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
Distinct variable groups:    P, k    k, N    k, M

Proof of Theorem pcfac
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  0 )
)
2 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
32oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  0 )
) )
4 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( 0  / 
( P ^ k
) ) )
54fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
0  /  ( P ^ k ) ) ) )
65sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) )
73, 6eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  0 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
81, 7raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( P  pCnt  ( ! `  0 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
0  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
98imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  0 )
( P  pCnt  ( ! `  0 )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  n )
)
11 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  n ) )
1211oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  n )
) )
13 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( n  / 
( P ^ k
) ) )
1413fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) )
1514sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) )
1612, 15eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
1710, 16raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  n ) ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
1817imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( n  +  1
) ) )
2120oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) ) )
22 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( ( n  +  1 )  / 
( P ^ k
) ) )
2322fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) )
2423sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) )
2521, 24eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
2619, 25raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
2726imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  N )
)
29 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
3029oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  N )
) )
31 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( N  / 
( P ^ k
) ) )
3231fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
3332sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
3430, 33eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
3528, 34raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  N ) ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
3635imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  N )
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
37 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
38 sumz 13865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... m
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... m )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
3938olcs 402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... m )  e.  Fin  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
41 0nn0 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  0  e.  NN0 )
43 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  NN )
4443nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
45 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4644, 45syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
4746adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
48 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  P  e.  Prime )
49 pcfaclem 14922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( |_ `  ( 0  / 
( P ^ k
) ) )  =  0 )
5042, 47, 48, 49syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
5150sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0 )
52 fac0 12500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5352oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( P 
pCnt  ( ! ` 
0 ) )  =  ( P  pCnt  1
)
54 pc1 14884 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
5553, 54syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  ( ! ` 
0 ) )  =  0 )
5655adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( P  pCnt  ( ! `  0
) )  =  0 )
5740, 51, 563eqtr4rd 2516 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( P  pCnt  ( ! `  0
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^
k ) ) ) )
5857ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  0 )
( P  pCnt  ( ! `  0 )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) )
59 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
6059adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  n  e.  ZZ )
61 uzid 11197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
62 peano2uz 11235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
6360, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
64 uzss 11203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  n ) )
65 ssralv 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  n )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
67 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) )
68 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
69 facp1 12502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  n )  x.  (
n  +  1 ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ! `  ( n  +  1
) )  =  ( ( ! `  n
)  x.  ( n  +  1 ) ) )
7170oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 n )  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
72 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
73 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
74 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  ZZ )
75 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
7674, 75jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  n )  =/=  0 ) )
7768, 73, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ! `
 n )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 n )  =/=  0 ) )
78 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
79 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
80 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
8179, 80jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  =/=  0 ) )
8268, 78, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  =/=  0 ) )
83 pcmul 14880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  n
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  n )  =/=  0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  n )  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) )
8472, 77, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  n
)  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
8571, 84eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) ) )
8668adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  n  e.  NN0 )
8786nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  n  e.  ZZ )
88 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
8988ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  P  e.  NN )
90 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
9189, 44, 90syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
92 fldivp1 14921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  if ( ( P ^ k ) 
||  ( n  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
9387, 91, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  if ( ( P ^ k ) 
||  ( n  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
94 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9568, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
9672, 95pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9796nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
98 elfz5 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
9994, 97, 98syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
100 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  P  e.  Prime )
10186, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
102101nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
10344adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  k  e.  NN0 )
104 pcdvdsb 14897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <->  ( P ^ k )  ||  ( n  +  1
) ) )
105100, 102, 103, 104syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <->  ( P ^ k )  ||  ( n  +  1
) ) )
10699, 105bitr2d 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( P ^ k
)  ||  ( n  +  1 )  <->  k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
107106ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  if ( ( P ^
k )  ||  (
n  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
10893, 107eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
109108sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
110 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
11168nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
112 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
115114, 91nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )
116115flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( ( n  +  1 )  / 
( P ^ k
) ) )  e.  ZZ )
117116zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( ( n  +  1 )  / 
( P ^ k
) ) )  e.  CC )
118111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  n  e.  RR )
119118, 91nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )
120119flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( n  / 
( P ^ k
) ) )  e.  ZZ )
121120zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( n  / 
( P ^ k
) ) )  e.  CC )
122110, 117, 121fsumsub 13926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
123 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
12496nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
125 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
127126zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
128 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
129128ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  P  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
13095nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
131 bernneq3 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
n  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( n  +  1 )  <  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )
132129, 130, 131syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )
133124, 113letrid 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  \/  ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
134133ord 384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
13595nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ZZ )
136 pcdvdsb 14897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
n  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 )  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
) ) )
13772, 135, 130, 136syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <->  ( P ^
( n  +  1 ) )  ||  (
n  +  1 ) ) )
13889, 130nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  e.  NN )
139138nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
140 dvdsle 14427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P ^ (
n  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
)  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 ) ) )
141139, 95, 140syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
)  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 ) ) )
142138nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  e.  RR )
143142, 113lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  <->  -.  ( n  +  1 )  < 
( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
144141, 143sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
)  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^
( n  +  1 ) ) ) )
145137, 144sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^
( n  +  1 ) ) ) )
146134, 145syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^
( n  +  1 ) ) ) )
147132, 146mt4d 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) )
148 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) )  ->  ( n  +  1 )  <_  m )
149148adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  m
)
150124, 113, 127, 147, 149letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  m )
151 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  m
) )
15297, 126, 151syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  m
) )
153150, 152mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
154 fzss2 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  C_  (
1 ... m ) )
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  C_  (
1 ... m ) )
156 sumhash 14920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) 
C_  ( 1 ... m ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
157123, 155, 156sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
158 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )
15996, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )
160157, 159eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )
161109, 122, 1603eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )
162110, 117fsumcl 13876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
163110, 121fsumcl 13876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
164124recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
165162, 163, 164subaddd 10023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( ( n  +  1 )  /  ( P ^
k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
166161, 165mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) )
16785, 166eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
16867, 167syl5ib 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( ( n  +  1 )  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
169168ralimdva 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
17066, 169syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
171170ex 441 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
172171a2d 28 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
1739, 18, 27, 36, 58, 172nn0ind 11053 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  N )
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
174173imp 436 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
175 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... M
) )
176175sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
177176eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
178177rspcv 3132 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  N ) ( P 
pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
179174, 178syl5 32 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
1801793impib 1229 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  NN0  /\  P  e. 
Prime )  ->  ( P 
pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
1811803com12 1235 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   |_cfl 12059   ^cexp 12310   !cfa 12497   #chash 12553   sum_csu 13829    || cdvds 14382   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866
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