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Theorem pcfac 13964
Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfac  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
Distinct variable groups:    P, k    k, N    k, M

Proof of Theorem pcfac
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  0 )
)
2 fveq2 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
32oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  0 )
) )
4 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( 0  / 
( P ^ k
) ) )
54fveq2d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
0  /  ( P ^ k ) ) ) )
65sumeq2sdv 13184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) )
73, 6eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  0 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
81, 7raleqbidv 2934 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( P  pCnt  ( ! `  0 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
0  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
98imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  0 )
( P  pCnt  ( ! `  0 )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  n )
)
11 fveq2 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  n ) )
1211oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  n )
) )
13 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( n  / 
( P ^ k
) ) )
1413fveq2d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) )
1514sumeq2sdv 13184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) )
1612, 15eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
1710, 16raleqbidv 2934 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  n ) ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( n  +  1
) ) )
2120oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) ) )
22 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( ( n  +  1 )  / 
( P ^ k
) ) )
2322fveq2d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) )
2423sumeq2sdv 13184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) )
2521, 24eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
2619, 25raleqbidv 2934 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
2726imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( ZZ>=
`  x )  =  ( ZZ>= `  N )
)
29 fveq2 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
3029oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  N )
) )
31 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
x  /  ( P ^ k ) )  =  ( N  / 
( P ^ k
) ) )
3231fveq2d 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  ( |_ `  ( x  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
3332sumeq2sdv 13184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
3430, 33eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  x )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
3528, 34raleqbidv 2934 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) )  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  N ) ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
3635imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  x ) ( P  pCnt  ( ! `  x ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
x  /  ( P ^ k ) ) ) )  <->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  N )
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
37 fzfid 11798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
38 sumz 13202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... m
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... m )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
3938olcs 395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... m )  e.  Fin  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
41 0nn0 10597 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  0  e.  NN0 )
43 elfznn 11481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  NN )
4443nnnn0d 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
45 nn0uz 10898 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4644, 45syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
48 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  P  e.  Prime )
49 pcfaclem 13963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( |_ `  ( 0  / 
( P ^ k
) ) )  =  0 )
5042, 47, 48, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
5150sumeq2dv 13183 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) 0 )
52 fac0 12057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5352oveq2i 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( P 
pCnt  ( ! ` 
0 ) )  =  ( P  pCnt  1
)
54 pc1 13925 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
5553, 54syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  ( ! ` 
0 ) )  =  0 )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( P  pCnt  ( ! `  0
) )  =  0 )
5740, 51, 563eqtr4rd 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( P  pCnt  ( ! `  0
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^
k ) ) ) )
5857ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  0 )
( P  pCnt  ( ! `  0 )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( 0  /  ( P ^ k ) ) ) )
59 nn0z 10672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  n  e.  ZZ )
61 uzid 10878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
62 peano2uz 10911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
6360, 61, 623syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
64 uzss 10884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  n ) )
65 ssralv 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  n )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
6663, 64, 653syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
67 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) )
68 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
69 facp1 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  n )  x.  (
n  +  1 ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ! `  ( n  +  1
) )  =  ( ( ! `  n
)  x.  ( n  +  1 ) ) )
7170oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 n )  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
72 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
73 faccl 12064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
74 nnz 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  ZZ )
75 nnne0 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
7674, 75jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  n )  =/=  0 ) )
7768, 73, 763syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ! `
 n )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 n )  =/=  0 ) )
78 nn0p1nn 10622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
79 nnz 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
80 nnne0 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
8179, 80jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  =/=  0 ) )
8268, 78, 813syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  =/=  0 ) )
83 pcmul 13921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  n
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  n )  =/=  0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1 )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  n )  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) )
8472, 77, 82, 83syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  n
)  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
8571, 84eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) ) )
8668adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  n  e.  NN0 )
8786nn0zd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  n  e.  ZZ )
88 prmnn 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  P  e.  NN )
90 nnexpcl 11881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
9189, 44, 90syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
92 fldivp1 13962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  if ( ( P ^ k ) 
||  ( n  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
9387, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  if ( ( P ^ k ) 
||  ( n  + 
1 ) ,  1 ,  0 ) )
94 elfzuz 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... m )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9568, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
9672, 95pccld 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9796nn0zd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
98 elfz5 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
9994, 97, 98syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
100 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  P  e.  Prime )
10186, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
102101nnzd 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
10344adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  k  e.  NN0 )
104 pcdvdsb 13938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <->  ( P ^ k )  ||  ( n  +  1
) ) )
105100, 102, 103, 104syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
k  <_  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <->  ( P ^ k )  ||  ( n  +  1
) ) )
10699, 105bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( P ^ k
)  ||  ( n  +  1 )  <->  k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
107106ifbid 3814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  if ( ( P ^
k )  ||  (
n  +  1 ) ,  1 ,  0 )  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
10893, 107eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
109108sumeq2dv 13183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
110 fzfid 11798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
11168nn0red 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
112 peano2re 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
115114, 91nndivred 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )
116115flcld 11651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( ( n  +  1 )  / 
( P ^ k
) ) )  e.  ZZ )
117116zcnd 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( ( n  +  1 )  / 
( P ^ k
) ) )  e.  CC )
118111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  n  e.  RR )
119118, 91nndivred 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
n  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )
120119flcld 11651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( n  / 
( P ^ k
) ) )  e.  ZZ )
121120zcnd 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( |_ `  ( n  / 
( P ^ k
) ) )  e.  CC )
122110, 117, 121fsumsub 13258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( |_
`  ( n  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
123 fzfi 11797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
12496nn0red 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
125 eluzelz 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
127126zred 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
128 prmuz2 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  P  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
13095nnnn0d 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN0 )
131 bernneq3 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
n  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( n  +  1 )  <  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )
132129, 130, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )
133124, 113letrid 9527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  \/  ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
134133ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) ) )
13595nnzd 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ZZ )
136 pcdvdsb 13938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
n  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 )  <_  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
) ) )
13772, 135, 130, 136syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  <->  ( P ^
( n  +  1 ) )  ||  (
n  +  1 ) ) )
13889, 130nnexpcld 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  e.  NN )
139138nnzd 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
140 dvdsle 13581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P ^ (
n  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
)  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 ) ) )
141139, 95, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
)  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 ) ) )
142138nnred 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  e.  RR )
143142, 113lenltd 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  <->  -.  ( n  +  1 )  < 
( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
144141, 143sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( n  +  1
)  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^
( n  +  1 ) ) ) )
145137, 144sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^
( n  +  1 ) ) ) )
146134, 145syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( n  +  1 )  ->  -.  (
n  +  1 )  <  ( P ^
( n  +  1 ) ) ) )
147132, 146mt4d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) )
148 eluzle 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) )  ->  ( n  +  1 )  <_  m )
149148adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  m
)
150124, 113, 127, 147, 149letrd 9531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  m )
151 eluz 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  pCnt  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  (
ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  m
) )
15297, 126, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <_  m
) )
153150, 152mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )
154 fzss2 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  C_  (
1 ... m ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  C_  (
1 ... m ) )
156 sumhash 13961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) 
C_  ( 1 ... m ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
157123, 155, 156sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
158 hashfz1 12120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )
15996, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )
160157, 159eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) if ( k  e.  ( 1 ... ( P  pCnt  ( n  + 
1 ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )
161109, 122, 1603eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) ) )
162110, 117fsumcl 13213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
163110, 121fsumcl 13213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
164124recnd 9415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
165162, 163, 164subaddd 9740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( ( n  +  1 )  /  ( P ^
k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( n  +  1 ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
166161, 165mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
( n  +  1 )  /  ( P ^ k ) ) ) )
16785, 166eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( P  pCnt  ( ! `  n ) )  +  ( P  pCnt  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
16867, 167syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( ( n  +  1 )  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
169168ralimdva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
17066, 169syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( A. m  e.  ( ZZ>= `  n )
( P  pCnt  ( ! `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
171170ex 434 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
172171a2d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  n ) ( P 
pCnt  ( ! `  n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  (
n  /  ( P ^ k ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( P  pCnt  ( ! `  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( ( n  + 
1 )  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
1739, 18, 27, 36, 58, 172nn0ind 10741 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  N )
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
174173imp 429 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
175 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... M
) )
176175sumeq1d 13181 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
177176eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... m
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  <->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
178177rspcv 3072 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  N ) ( P 
pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... m ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
179174, 178syl5 32 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
1801793impib 1185 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  NN0  /\  P  e. 
Prime )  ->  ( P 
pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
1811803com12 1191 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718    C_ wss 3331   ifcif 3794   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598    / cdiv 9996   NNcn 10325   2c2 10374   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440   |_cfl 11643   ^cexp 11868   !cfa 12054   #chash 12106   sum_csu 13166    || cdivides 13538   Primecprime 13766    pCnt cpc 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-dvds 13539  df-gcd 13694  df-prm 13767  df-pc 13907
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