MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceq0 Structured version   Unicode version

Theorem pceq0 14783
Description: There are zero powers of a prime  P in  N iff  P does not divide  N. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pceq0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  P  ||  N ) )

Proof of Theorem pceq0
StepHypRef Expression
1 pcelnn 14782 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  NN  <->  P  ||  N
) )
2 pccl 14762 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  N )  e. 
NN0 )
3 nnne0 10642 . . . . 5  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN  ->  ( P  pCnt  N )  =/=  0
)
4 elnn0 10871 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  <->  ( ( P 
pCnt  N )  e.  NN  \/  ( P  pCnt  N
)  =  0 ) )
54biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  ->  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN  \/  ( P 
pCnt  N )  =  0 ) )
65ord 378 . . . . . 6  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  ->  ( -.  ( P  pCnt  N )  e.  NN  ->  ( P  pCnt  N )  =  0 ) )
76necon1ad 2647 . . . . 5  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  ->  ( ( P  pCnt  N )  =/=  0  ->  ( P  pCnt  N )  e.  NN ) )
83, 7impbid2 207 . . . 4  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  ->  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN  <->  ( P  pCnt  N )  =/=  0 ) )
92, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  NN  <->  ( P  pCnt  N )  =/=  0
) )
101, 9bitr3d 258 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P  ||  N  <->  ( P  pCnt  N )  =/=  0
) )
1110necon2bbid 2687 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  P  ||  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   0cc0 9538   NNcn 10609   NN0cn0 10869    || cdvds 14283   Primecprime 14593    pCnt cpc 14749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  14794  pcaddlem  14796  pcmpt  14800  pcprod  14803  prmreclem2  14824  pgpfi  17192  sylow2alem2  17205  ablfac1c  17639  pgpfac1lem3a  17644  isppw2  23905  chtublem  24002  bposlem3  24077  lgsval2lem  24097  lgsmod  24112  lgsdilem2  24122  lgsne0  24124  ostth3  24339
  Copyright terms: Public domain W3C validator