Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcdiv Structured version   Unicode version

Theorem pcdiv 14585
 Description: Division property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcdiv

Proof of Theorem pcdiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3
2 simp2l 1023 . . . 4
3 simp3 999 . . . 4
4 znq 11231 . . . 4
52, 3, 4syl2anc 659 . . 3
62zcnd 11009 . . . 4
73nncnd 10592 . . . 4
8 simp2r 1024 . . . 4
93nnne0d 10621 . . . 4
106, 7, 8, 9divne0d 10377 . . 3
11 eqid 2402 . . . 4
12 eqid 2402 . . . 4
1311, 12pcval 14577 . . 3
141, 5, 10, 13syl12anc 1228 . 2
15 eqid 2402 . . . . . . . 8
1615pczpre 14580 . . . . . . 7
17163adant3 1017 . . . . . 6
18 nnz 10927 . . . . . . . . 9
19 nnne0 10609 . . . . . . . . 9
2018, 19jca 530 . . . . . . . 8
21 eqid 2402 . . . . . . . . 9
2221pczpre 14580 . . . . . . . 8
2320, 22sylan2 472 . . . . . . 7
24233adant2 1016 . . . . . 6
2517, 24oveq12d 6296 . . . . 5
26 eqid 2402 . . . . 5
2725, 26jctil 535 . . . 4
28 oveq1 6285 . . . . . . 7
2928eqeq2d 2416 . . . . . 6
30 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
3130rabbidv 3051 . . . . . . . . 9
3231supeq1d 7939 . . . . . . . 8
3332oveq1d 6293 . . . . . . 7
3433eqeq2d 2416 . . . . . 6
3529, 34anbi12d 709 . . . . 5
36 oveq2 6286 . . . . . . 7
3736eqeq2d 2416 . . . . . 6
38 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
3938rabbidv 3051 . . . . . . . . 9
4039supeq1d 7939 . . . . . . . 8
4140oveq2d 6294 . . . . . . 7
4241eqeq2d 2416 . . . . . 6
4337, 42anbi12d 709 . . . . 5
4435, 43rspc2ev 3171 . . . 4
452, 3, 27, 44syl3anc 1230 . . 3
46 ovex 6306 . . . 4
4711, 12pceu 14579 . . . . 5
481, 5, 10, 47syl12anc 1228 . . . 4
49 eqeq1 2406 . . . . . . 7
5049anbi2d 702 . . . . . 6
51502rexbidv 2925 . . . . 5
5251iota2 5559 . . . 4
5346, 48, 52sylancr 661 . . 3
5445, 53mpbid 210 . 2
5514, 54eqtrd 2443 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  weu 2238   wne 2598  wrex 2755  crab 2758  cvv 3059   class class class wbr 4395  cio 5531  (class class class)co 6278  csup 7934  cr 9521  cc0 9522   clt 9658   cmin 9841   cdiv 10247  cn 10576  cn0 10836  cz 10905  cq 11227  cexp 12210   cdvds 14195  cprime 14426   cpc 14569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570 This theorem is referenced by:  pcqmul  14586  pcqcl  14589  pcid  14605  pcneg  14606  pc2dvds  14611  pcz  14613  pcaddlem  14616  pcadd  14617  pcmpt2  14621  pcbc  14628  sylow1lem1  16942  chtublem  23867
 Copyright terms: Public domain W3C validator