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Theorem pcaddlem 14409
Description: Lemma for pcadd 14410. The original numbers  A and  B have been decomposed using the prime count function as  ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) where  R ,  S are both not divisible by  P and  M  =  ( P  pCnt  A ), and similarly for  B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcaddlem.2  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) ) )
pcaddlem.3  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) ) )
pcaddlem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
pcaddlem.5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  R
) )
pcaddlem.6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  S
) )
pcaddlem.7  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  T
) )
pcaddlem.8  |-  ( ph  ->  ( U  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  U
) )
Assertion
Ref Expression
pcaddlem  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6204 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  =  ( P  pCnt  0
) )
21breq2d 4379 . 2  |-  ( ( A  +  B )  =  0  ->  ( M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  <->  M  <_  ( P 
pCnt  0 ) ) )
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 11006 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65zred 10884 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  e.  RR )
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 14222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1210nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
13 eluzelz 11010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1514, 5zsubcld 10889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
1611, 12, 15expclzd 12217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  CC )
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  T
) )
1817simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
1918zcnd 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  U
) )
2120simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NN )
2221nncnd 10468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2321nnne0d 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
2416, 19, 22, 23divassd 10272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  /  U
)  =  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )
2524oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  /  U ) )  =  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  R
) )
2726simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
2827zcnd 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  S
) )
3029simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
3130nncnd 10468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
3216, 19mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  e.  CC )
3330nnne0d 10497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 10281 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  /  U ) )  =  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )
3525, 34eqtr3d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )
3635oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) ) ) )
3736adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( (
( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) ) )
388adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
3921nnzd 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  ZZ )
4027, 39zmulcld 10890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  U
)  e.  ZZ )
41 uznn0sub 11032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
423, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
4310, 42nnexpcld 12233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  NN )
4443nnzd 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ )
4544, 18zmulcld 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  e.  ZZ )
4630nnzd 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 10890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
)  e.  ZZ )
4840, 47zaddcld 10888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ )
4948adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  e.  ZZ )
5011, 12, 5expclzd 12217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  e.  CC )
5150mul01d 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  0 )  =  0 )
52 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  ->  (
( P ^ M
)  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  0 ) )
5352eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  ->  (
( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  0  <->  (
( P ^ M
)  x.  0 )  =  0 ) )
5451, 53syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  -> 
( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  0 ) )
5554necon3d 2606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =/=  0  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )
5628, 31, 33divcld 10237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  /  S
)  e.  CC )
5719, 22, 23divcld 10237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  /  U
)  e.  CC )
5816, 57mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  CC )
5950, 56, 58adddid 9531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( ( ( P ^ M
)  x.  ( R  /  S ) )  +  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) ) )
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) ) )
625zcnd 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6314zcnd 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6462, 63pncan3d 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
6564oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( P ^ N ) )
66 expaddz 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  P  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ ) )  -> 
( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) ) )
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) ) )
6865, 67eqtr3d 2425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^
( N  -  M
) ) ) )
6968oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) )  =  ( ( ( P ^ M )  x.  ( P ^
( N  -  M
) ) )  x.  ( T  /  U
) ) )
7050, 16, 57mulassd 9530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) )  x.  ( T  /  U ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )
7161, 69, 703eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )
7260, 71oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( P ^ M
)  x.  ( R  /  S ) )  +  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )
7359, 72eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( A  +  B ) )
7473neeq1d 2659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =/=  0  <->  ( A  +  B )  =/=  0 ) )
7535neeq1d 2659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0  <->  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) )  =/=  0 ) )
7655, 74, 753imtr3d 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
)  =/=  0 ) )
7730, 21nnmulcld 10500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  e.  NN )
7877nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  e.  CC )
7977nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  =/=  0 )
8078, 79div0d 10236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  /  ( S  x.  U )
)  =  0 )
81 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  =  0  ->  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) )  =  ( 0  / 
( S  x.  U
) ) )
8281eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  =  0  ->  (
( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
)  =  0  <->  (
0  /  ( S  x.  U ) )  =  0 ) )
8380, 82syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  =  0  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) )  =  0 ) )
8483necon3d 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) )  =/=  0  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )
8576, 84syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )
8685imp 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  =/=  0 )
8777adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( S  x.  U )  e.  NN )
88 pcdiv 14378 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ  /\  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 )  /\  ( S  x.  U )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) ) )
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
) )  =  ( ( P  pCnt  (
( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P 
pCnt  ( S  x.  U ) ) ) )
90 pcmul 14377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( S  e.  ZZ  /\  S  =/=  0 )  /\  ( U  e.  ZZ  /\  U  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P  pCnt  U ) ) )
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P  pCnt  U ) ) )
9229simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  S
)
93 pceq0 14396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  S  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  S
)  =  0  <->  -.  P  ||  S ) )
948, 30, 93syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  =  0  <->  -.  P  ||  S ) )
9592, 94mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  S
)  =  0 )
9620simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  U
)
97 pceq0 14396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  U  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  U
)  =  0  <->  -.  P  ||  U ) )
988, 21, 97syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  U )  =  0  <->  -.  P  ||  U ) )
9996, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  U
)  =  0 )
10095, 99oveq12d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P 
pCnt  U ) )  =  ( 0  +  0 ) )
101 00id 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
102100, 101syl6eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P 
pCnt  U ) )  =  0 )
10391, 102eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  0 )
104103oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P 
pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  - 
0 ) )
105104adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) )  -  0 ) )
106 pczcl 14374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ  /\  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  NN0 )
10738, 49, 86, 106syl12anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  NN0 )
108107nn0cnd 10771 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  CC )
109108subid1d 9833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  - 
0 )  =  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) ) )
110105, 109eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) ) )
11137, 89, 1103eqtrd 2427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) ) )
112111, 107eqeltrd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  e.  NN0 )
113 nn0addge1 10759 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) ) ) )
1147, 112, 113syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  <_  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
115 nnq 11114 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  QQ )
11610, 115syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  QQ )
117 qexpclz 12090 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P ^ M )  e.  QQ )
118116, 12, 5, 117syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  e.  QQ )
119118adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P ^ M )  e.  QQ )
12011, 12, 5expne0d 12218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  =/=  0 )
121120adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P ^ M )  =/=  0
)
122 znq 11105 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  ZZ  /\  S  e.  NN )  ->  ( R  /  S
)  e.  QQ )
12327, 30, 122syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  S
)  e.  QQ )
124 qexpclz 12090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  P  =/=  0  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ )  ->  ( P ^ ( N  -  M ) )  e.  QQ )
125116, 12, 15, 124syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  QQ )
126 znq 11105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ZZ  /\  U  e.  NN )  ->  ( T  /  U
)  e.  QQ )
12718, 21, 126syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  /  U
)  e.  QQ )
128 qmulcl 11119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  QQ  /\  ( T  /  U
)  e.  QQ )  ->  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) )  e.  QQ )
129125, 127, 128syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  QQ )
130 qaddcl 11117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  /  S
)  e.  QQ  /\  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  QQ )  -> 
( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
131123, 129, 130syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
132131adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
13374, 55sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )
134133imp 427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 )
135 pcqmul 14379 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( P ^ M
)  e.  QQ  /\  ( P ^ M )  =/=  0 )  /\  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
13773oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( P ^ M
)  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( A  +  B ) ) )
138137adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) )
139 pcid 14398 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  =  M )
1408, 5, 139syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  =  M )
141140oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( M  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
142141adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
143136, 138, 1423eqtr3d 2431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B
) )  =  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
144114, 143breqtrrd 4393 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) )
1456rexrd 9554 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
146 pnfge 11260 . . . 4  |-  ( M  e.  RR*  ->  M  <_ +oo )
147145, 146syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_ +oo )
148 pc0 14380 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = +oo )
1498, 148syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  0
)  = +oo )
150147, 149breqtrrd 4393 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  0 ) )
1512, 144, 150pm2.61ne 2697 1  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    x. cmul 9408   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   QQcq 11101   ^cexp 12069    || cdvds 13988   Primecprime 14219    pCnt cpc 14362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-pc 14363
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