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Theorem pcadd 13943
Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcadd.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcadd.2  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
pcadd.3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
pcadd.4  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
Assertion
Ref Expression
pcadd  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem pcadd
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
2 elq 10947 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
4 pcadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
5 elq 10947 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
64, 5sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
7 pcadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
8 pcxcl 13919 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  A )  e. 
RR* )
97, 1, 8syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  RR* )
10 xrleid 11119 . . . . . . 7  |-  ( ( P  pCnt  A )  e.  RR*  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  A ) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  A ) )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  A
) )
13 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( A  +  B )  =  ( A  + 
0 ) )
14 qcn 10959 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
151, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615addid1d 9561 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
1713, 16sylan9eqr 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  +  B )  =  A )
1817oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  =  ( P  pCnt  A
) )
1912, 18breqtrrd 4313 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  ( A  +  B )
) )
2019a1d 25 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) ) )
21 reeanv 2883 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
22 reeanv 2883 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
237ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
24 prmnn 13758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
26 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
27 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  =  ( x  /  y ) )
284ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  e.  QQ )
29 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  =/=  0 )
30 pcqcl 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  ZZ )
3123, 28, 29, 30syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  ZZ )
3231zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  RR )
33 ltpnf 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  ( P  pCnt  B )  < +oo )
34 rexr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  ( P  pCnt  B )  e.  RR* )
35 pnfxr 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- +oo  e.  RR*
36 xrltnle 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  pCnt  B
)  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( P  pCnt  B
)  < +oo  <->  -. +oo  <_  ( P  pCnt  B )
) )
3734, 35, 36sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  ( ( P  pCnt  B )  < +oo 
<->  -. +oo  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
3833, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  -. +oo  <_  ( P  pCnt  B )
)
3932, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -. +oo  <_  ( P  pCnt  B ) )
40 pc0 13913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = +oo )
4123, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  0
)  = +oo )
4241breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P  pCnt  0 )  <_  ( P  pCnt  B )  <-> +oo  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
4339, 42mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  ( P  pCnt  0
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
44 pcadd.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
4544ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
46 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  =  0  ->  ( P  pCnt  A )  =  ( P  pCnt  0
) )
4746breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  =  0  ->  (
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B )  <->  ( P  pCnt  0 )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
4845, 47syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( P  pCnt  0 )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
4948necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( -.  ( P 
pCnt  0 )  <_ 
( P  pCnt  B
)  ->  A  =/=  0 ) )
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  =/=  0 )
5127, 50eqnetrrd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( x  /  y
)  =/=  0 )
52 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  NN )
5352nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  CC )
5452nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  =/=  0 )
5553, 54div0d 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( 0  /  y
)  =  0 )
56 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  y )  =  ( 0  / 
y ) )
5756eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  /  y
)  =  0  <->  (
0  /  y )  =  0 ) )
5855, 57syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( x  =  0  ->  ( x  / 
y )  =  0 ) )
5958necon3d 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  =/=  0  ->  x  =/=  0 ) )
6051, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  x  =/=  0 )
61 pczcl 13907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  NN0 )
6223, 26, 60, 61syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  NN0 )
6325, 62nnexpcld 12021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  NN )
6463nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  CC )
6564, 53mulcomd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  x.  y
)  =  ( y  x.  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) )
6665oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  x.  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  /  ( ( P ^ ( P 
pCnt  x ) )  x.  y ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  /  ( y  x.  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) ) )
6726zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
6823, 52pccld 13909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  NN0 )
6925, 68nnexpcld 12021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  NN )
7069nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  CC )
7163nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  =/=  0 )
7269nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  =/=  0 )
7367, 64, 53, 70, 71, 72, 54divdivdivd 10146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  /  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  x.  y
) ) )
7427oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  =  ( P 
pCnt  ( x  / 
y ) ) )
75 pcdiv 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7623, 26, 60, 52, 75syl121anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7774, 76eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7877oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =  ( P ^
( ( P  pCnt  x )  -  ( P 
pCnt  y ) ) ) )
7925nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
8025nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  =/=  0 )
8168nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  ZZ )
8262nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  ZZ )
8379, 80, 81, 82expsubd 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ (
( P  pCnt  x
)  -  ( P 
pCnt  y ) ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  x ) )  / 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
8478, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
8584oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( A  /  (
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) ) )
8627oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  /  (
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( ( x  /  y )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) )
8767, 53, 64, 70, 54, 72, 71divdivdivd 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  /  (
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) )  / 
( y  x.  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) ) ) )
8885, 86, 873eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  /  ( y  x.  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) ) )
8966, 73, 883eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  /  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
9089oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  (
( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  / 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  A ) )  x.  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
911ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  e.  QQ )
9291, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
93 pcqcl 13915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  e.  ZZ )
9423, 91, 50, 93syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  e.  ZZ )
9579, 80, 94expclzd 12005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  CC )
9679, 80, 94expne0d 12006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =/=  0 )
9792, 95, 96divcan2d 10101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  A )
9890, 97eqtr2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  (
( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  / 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) ) )
99 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
100 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  =  ( z  /  w ) )
101100, 29eqnetrrd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( z  /  w
)  =/=  0 )
102 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  NN )
103102nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  CC )
104102nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  =/=  0 )
105103, 104div0d 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( 0  /  w
)  =  0 )
106 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  0  ->  (
z  /  w )  =  ( 0  /  w ) )
107106eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  /  w
)  =  0  <->  (
0  /  w )  =  0 ) )
108105, 107syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( z  =  0  ->  ( z  /  w )  =  0 ) )
109108necon3d 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  /  w )  =/=  0  ->  z  =/=  0 ) )
110101, 109mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
z  =/=  0 )
111 pczcl 13907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  NN0 )
11223, 99, 110, 111syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  NN0 )
11325, 112nnexpcld 12021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  NN )
114113nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  CC )
115114, 103mulcomd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  x.  w
)  =  ( w  x.  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
116115oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  x.  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  /  ( ( P ^ ( P 
pCnt  z ) )  x.  w ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  / 
( w  x.  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) ) ) )
11799zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
11823, 102pccld 13909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  NN0 )
11925, 118nnexpcld 12021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  NN )
120119nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  CC )
121113nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  =/=  0 )
122119nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  =/=  0 )
123117, 114, 103, 120, 121, 122, 104divdivdivd 10146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  / 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  /  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  x.  w
) ) )
124100oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  =  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) )
125 pcdiv 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 )  /\  w  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
12623, 99, 110, 102, 125syl121anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
127124, 126eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
128127oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  =  ( P ^
( ( P  pCnt  z )  -  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
129118nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  ZZ )
130112nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  ZZ )
13179, 80, 129, 130expsubd 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ (
( P  pCnt  z
)  -  ( P 
pCnt  w ) ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) )
132128, 131eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) )
133132oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( B  /  ( P ^ ( P  pCnt  B ) ) )  =  ( B  /  (
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) ) )
134100oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( B  /  (
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( ( z  /  w )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) )
135117, 103, 114, 120, 104, 122, 121divdivdivd 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  /  w )  /  (
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  / 
( w  x.  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) ) ) )
136133, 134, 1353eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( B  /  ( P ^ ( P  pCnt  B ) ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  /  ( w  x.  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
137116, 123, 1363eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  / 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  /  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( B  / 
( P ^ ( P  pCnt  B ) ) ) )
138137oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  B
) )  x.  (
( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  / 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  B ) )  x.  ( B  /  ( P ^ ( P  pCnt  B ) ) ) ) )
139 qcn 10959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
14028, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
14179, 80, 31expclzd 12005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  e.  CC )
14279, 80, 31expne0d 12006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  =/=  0 )
143140, 141, 142divcan2d 10101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  B
) )  x.  ( B  /  ( P ^
( P  pCnt  B
) ) ) )  =  B )
144138, 143eqtr2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  B ) )  x.  (
( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  / 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) ) )
145 eluz 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  pCnt  A
)  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  pCnt  B )  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  A ) )  <->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
14694, 31, 145syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P  pCnt  B )  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  A ) )  <->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
14745, 146mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  A ) ) )
148 pczdvds 13921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P ^
( P  pCnt  x
) )  ||  x
)
14923, 26, 60, 148syl12anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) 
||  x )
15063nnzd 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  ZZ )
151 dvdsval2 13530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  ||  x  <->  ( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ ) )
152150, 71, 26, 151syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  ||  x  <->  ( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ ) )
153149, 152mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ )
154 pczndvds2 13925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  (
x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) ) )
15523, 26, 60, 154syl12anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( x  /  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) )
156153, 155jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  ( x  /  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) ) )
157 pcdvds 13922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  ||  y
)
15823, 52, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) 
||  y )
15969nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  ZZ )
16052nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
161 dvdsval2 13530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  ||  y  <->  ( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  ZZ ) )
162159, 72, 160, 161syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  y
) )  ||  y  <->  ( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  ZZ ) )
163158, 162mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  ZZ )
16452nnred 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  RR )
16569nnred 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
16652nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  y )
16769nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )
168164, 165, 166, 167divgt0d 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
169 elnnz 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  NN  <->  ( ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) )
170163, 168, 169sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  NN )
171 pcndvds2 13926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( y  / 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
17223, 52, 171syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
173170, 172jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( y  / 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  NN  /\  -.  P  ||  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) ) )
174 pczdvds 13921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P ^
( P  pCnt  z
) )  ||  z
)
17523, 99, 110, 174syl12anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) 
||  z )
176113nnzd 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  ZZ )
177 dvdsval2 13530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  =/=  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  ||  z  <->  ( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ ) )
178176, 121, 99, 177syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  ||  z  <->  ( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ ) )
179175, 178mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ )
180 pczndvds2 13925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  (
z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
18123, 99, 110, 180syl12anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( z  /  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
182179, 181jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  / 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  ( z  /  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
183 pcdvds 13922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  w  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  ||  w
)
18423, 102, 183syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) ) 
||  w )
185119nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  ZZ )
186102nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
187 dvdsval2 13530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  ||  w  <->  ( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  ZZ ) )
188185, 122, 186, 187syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  w
) )  ||  w  <->  ( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  ZZ ) )
189184, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  ZZ )
190102nnred 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
191119nnred 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  RR )
192102nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  w )
193119nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )
194190, 191, 192, 193divgt0d 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )
195 elnnz 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  NN  <->  ( ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) )
196189, 194, 195sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  NN )
197 pcndvds2 13926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  w  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( w  / 
( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) )
19823, 102, 197syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )
199196, 198jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( w  / 
( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  NN  /\  -.  P  ||  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) ) )
20023, 98, 144, 147, 156, 173, 182, 199pcaddlem 13942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
201200expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  ( A  +  B )
) ) )
202201rexlimdvva 2843 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )
)  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  ( A  +  B )
) ) )
20322, 202syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )
)  ->  ( ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) ) )
204203rexlimdvva 2843 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) ) )
20521, 204syl5bir 218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) ) )
20620, 205pm2.61dane 2684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) ) )
2073, 6, 206mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    x. cmul 9279   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   QQcq 10945   ^cexp 11857    || cdivides 13527   Primecprime 13755    pCnt cpc 13895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896
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