MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcabs Structured version   Unicode version

Theorem pcabs 14052
Description: The prime count of an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcabs  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  ( abs `  A
) )  =  ( P  pCnt  A )
)

Proof of Theorem pcabs
StepHypRef Expression
1 oveq2 6201 . . 3  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  ( P  pCnt  ( abs `  A
) )  =  ( P  pCnt  A )
)
21a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  (
( abs `  A
)  =  A  -> 
( P  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( P  pCnt  A ) ) )
3 pcneg 14051 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  -u A )  =  ( P  pCnt  A
) )
4 oveq2 6201 . . . 4  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  ( P  pCnt  ( abs `  A
) )  =  ( P  pCnt  -u A ) )
54eqeq1d 2453 . . 3  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( P  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( P  pCnt  A )  <->  ( P  pCnt  -u A )  =  ( P  pCnt  A )
) )
63, 5syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  ->  ( P  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( P  pCnt  A ) ) )
7 qre 11062 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
87adantl 466 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  A  e.  RR )
98absord 13013 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  (
( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
102, 6, 9mpjaod 381 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  ( abs `  A
) )  =  ( P  pCnt  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   -ucneg 9700   QQcq 11057   abscabs 12834   Primecprime 13874    pCnt cpc 14014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875  df-pc 14015
This theorem is referenced by:  pcgcd1  14054  pc2dvds  14056  lgsdilem2  22796  lgsne0  22798
  Copyright terms: Public domain W3C validator