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Theorem pc2dvds 14907
Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc2dvds  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p

Proof of Theorem pc2dvds
StepHypRef Expression
1 pcdvdstr 14904 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) )
21ancoms 460 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) )
32ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
433expia 1233 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
5 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
p  pCnt  A )  =  ( p  pCnt  0 ) )
65breq1d 4405 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
) )
76ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
)  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
8 breq1 4398 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  0  ||  B ) )
97, 8imbi12d 327 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  A  ||  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  0  ||  B ) ) )
10 gcddvds 14556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1110simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
12 gcdcl 14559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
1312nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
14 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
15 dvdsabsb 14399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) ) )
1613, 14, 15syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) ) )
1711, 16mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  ( abs `  A ) )
1817adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) )
19 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  A  =  0 )
2019necon3ai 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
21 gcdn0cl 14555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
2220, 21sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
2322nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
2422nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  =/=  0
)
25 nnabscl 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  NN )
2625adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
2726nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  ( abs `  A )  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  ( abs `  A )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ ) )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A )  <-> 
( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3018, 29mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ )
31 nnre 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
32 nngt0 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  0  <  ( abs `  A
) )
3331, 32jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )
34 nnre 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  RR )
35 nngt0 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  0  <  ( A  gcd  B
) )
3634, 35jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  gcd  B ) ) )
37 divgt0 10495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) )  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )
3833, 36, 37syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  -> 
0  <  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )
3926, 22, 38syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  0  <  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
40 elnnz 10971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4130, 39, 40sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN )
42 elnn1uz2 11258 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
4341, 42sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
4410simprd 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
4544adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  ||  B
)
46 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A
)  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B 
<->  ( abs `  A
)  ||  B )
)
4745, 46syl5ibcom 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A
)  ->  ( abs `  A )  ||  B
) )
4826nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
4922nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
50 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  e.  CC )
5148, 49, 50, 24divmuld 10427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  <->  ( ( A  gcd  B )  x.  1 )  =  ( abs `  A ) ) )
5249mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  x.  1 )  =  ( A  gcd  B ) )
5352eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( A  gcd  B
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
)  <->  ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A ) ) )
5451, 53bitrd 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  <->  ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A ) ) )
55 absdvdsb 14398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  ( abs `  A ) 
||  B ) )
5655adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  ||  B  <->  ( abs `  A
)  ||  B )
)
5747, 54, 563imtr4d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  ->  A  ||  B ) )
58 exprmfct 14727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
59 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
6026adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
6160nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
6260nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
6322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
64 pcdiv 14881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( abs `  A
)  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
6559, 61, 62, 63, 64syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
66 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
67 zq 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  e.  QQ )
69 pcabs 14903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( p  pCnt  A
) )
7059, 68, 69syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( p  pCnt  A
) )
7170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( p  pCnt  A
)  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
7265, 71eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( p  pCnt  A )  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
73 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
7441adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
75 pcelnn 14898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7659, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7773, 76mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  e.  NN )
7872, 77eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN )
7959, 63pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e. 
NN0 )
8079nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
81 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  =/=  0 )
82 pczcl 14877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
8359, 66, 81, 82syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  NN0 )
8483nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  ZZ )
85 znnsub 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  (
p  pCnt  A )  e.  ZZ )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  ( ( p 
pCnt  A )  -  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN ) )
8680, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  ( ( p 
pCnt  A )  -  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN ) )
8778, 86mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  < 
( p  pCnt  A
) )
8879nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  RR )
8983nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  RR )
9088, 89ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
9187, 90mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )
92 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
93 nprmdvds1 14729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  -.  p  ||  1 )
9493ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  p  ||  1 )
95 gcdid0 14567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
9796oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) ) )
9848adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
9998, 62dividd 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
10097, 99eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) )  =  1 )
101100breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  0
) )  <->  p  ||  1
) )
10294, 101mtbird 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  p  ||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) )
103 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  0  ->  ( A  gcd  B )  =  ( A  gcd  0
) )
104103oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  0  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) )
105104breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  0  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) ) ) )
10673, 105syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( B  =  0  ->  p 
||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) ) )
107106necon3bd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( -.  p  ||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) )  ->  B  =/=  0 ) )
108102, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  B  =/=  0 )
109 pczcl 14877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  NN0 )
11059, 92, 108, 109syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  NN0 )
111110nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
112 lemin 11509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  pCnt  A
)  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR  /\  (
p  pCnt  B )  e.  RR )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  if (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
11389, 89, 111, 112syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  if (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
114 pcgcd 14906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
11559, 66, 92, 114syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
116115breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( A  gcd  B
) )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) ) ) )
11789leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
) )
118117biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
119113, 116, 1183bitr4rd 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
12091, 119mtbird 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
121120expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
122121reximdva 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. p  e.  Prime  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
123 rexnal 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
)  <->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
124122, 123syl6ib 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  ->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
12558, 124syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
12657, 125orim12d 856 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  ( A  ||  B  \/  -.  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
12743, 126mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  ||  B  \/  -.  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) )
128127ord 384 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( -.  A  ||  B  ->  -.  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
129128con4d 108 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )  ->  A  ||  B ) )
130 2prm 14719 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
131130ne0ii 3729 . . . . 5  |-  Prime  =/=  (/)
132 r19.2z 3849 . . . . 5  |-  ( ( Prime  =/=  (/)  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
)
133131, 132mpan 684 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  E. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
)
134 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
135 zq 11293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
136135adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  QQ )
137 pcxcl 14889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR* )
138134, 136, 137syl2anr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR* )
139 pnfge 11455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  pCnt  B )  e.  RR*  ->  ( p  pCnt  B )  <_ +oo )
140138, 139syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  B )  <_ +oo )
141140biantrurd 516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( +oo  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( ( p  pCnt  B
)  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
142 pc0 14883 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p 
pCnt  0 )  = +oo )
143142adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  0 )  = +oo )
144143breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  <-> +oo  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
145 pnfxr 11435 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
146 xrletri3 11474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  pCnt  B
)  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( p  pCnt  B
)  = +oo  <->  ( (
p  pCnt  B )  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( p  pCnt  B )
) ) )
147138, 145, 146sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  B )  = +oo  <->  (
( p  pCnt  B
)  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
148141, 144, 1473bitr4d 293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  <->  ( p  pCnt  B )  = +oo )
)
149 pnfnre 9700 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
150149neli 2745 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
151 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  pCnt  B )  = +oo  ->  ( (
p  pCnt  B )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
152150, 151mtbiri 310 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  pCnt  B )  = +oo  ->  -.  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
153109nn0red 10950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  RR )
154153adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  Prime )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR )
155154an4s 842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  B  =/=  0
) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
156155expr 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( B  =/=  0  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR ) )
157156necon1bd 2661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  (
p  pCnt  B )  e.  RR  ->  B  = 
0 ) )
158152, 157syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  B )  = +oo  ->  B  =  0 ) )
159148, 158sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  B  = 
0 ) )
160159rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  B  =  0 ) )
161 0dvds 14400 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  ||  B  <->  B  = 
0 ) )
162161adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  B  <->  B  =  0 ) )
163160, 162sylibrd 242 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  0  ||  B ) )
164133, 163syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  0  ||  B ) )
1659, 129, 164pm2.61ne 2728 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  A  ||  B ) )
1664, 165impbid 195 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   QQcq 11287   abscabs 13374    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866
This theorem is referenced by:  pc11  14908  pcz  14909  pcprmpw2  14910  pockthg  14929  pgpfi  17335  fislw  17355  gexexlem  17568  ablfac1c  17782  sqff1o  24188  chtublem  24218  bposlem6  24296
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