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Theorem pc2dvds 13941
Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc2dvds  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p

Proof of Theorem pc2dvds
StepHypRef Expression
1 pcdvdstr 13938 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) )
21ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) )
32ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
433expia 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
5 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
p  pCnt  A )  =  ( p  pCnt  0 ) )
65breq1d 4299 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
) )
76ralbidv 2733 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
)  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
8 breq1 4292 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  0  ||  B ) )
97, 8imbi12d 320 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  A  ||  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  0  ||  B ) ) )
10 gcddvds 13695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1110simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
12 gcdcl 13697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
1312nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
14 simpl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
15 dvdsabsb 13548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) ) )
1613, 14, 15syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) ) )
1711, 16mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  ( abs `  A ) )
1817adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) )
19 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  A  =  0 )
2019necon3ai 2649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
21 gcdn0cl 13694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
2220, 21sylan2 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
2322nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
2422nnne0d 10362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  =/=  0
)
25 nnabscl 12809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  NN )
2625adantlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
2726nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 13534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  ( abs `  A )  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  ( abs `  A )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ ) )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A )  <-> 
( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3018, 29mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ )
31 nnre 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
32 nngt0 10347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  0  <  ( abs `  A
) )
3331, 32jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )
34 nnre 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  RR )
35 nngt0 10347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  0  <  ( A  gcd  B
) )
3634, 35jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  gcd  B ) ) )
37 divgt0 10193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) )  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )
3833, 36, 37syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  -> 
0  <  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )
3926, 22, 38syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  0  <  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
40 elnnz 10652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4130, 39, 40sylanbrc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN )
42 elnn1uz2 10927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
4341, 42sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
4410simprd 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
4544adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  ||  B
)
46 breq1 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A
)  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B 
<->  ( abs `  A
)  ||  B )
)
4745, 46syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A
)  ->  ( abs `  A )  ||  B
) )
4826nncnd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
4922nncnd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
50 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  e.  CC )
5248, 49, 51, 24divmuld 10125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  <->  ( ( A  gcd  B )  x.  1 )  =  ( abs `  A ) ) )
5349mulid1d 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  x.  1 )  =  ( A  gcd  B ) )
5453eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( A  gcd  B
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
)  <->  ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A ) ) )
5552, 54bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  <->  ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A ) ) )
56 absdvdsb 13547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  ( abs `  A ) 
||  B ) )
5756adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  ||  B  <->  ( abs `  A
)  ||  B )
)
5847, 55, 573imtr4d 268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  ->  A  ||  B ) )
59 exprmfct 13792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
60 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
6126adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
6261nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
6361nnne0d 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
6422adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
65 pcdiv 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( abs `  A
)  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
6660, 62, 63, 64, 65syl121anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
67 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
68 zq 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  e.  QQ )
70 pcabs 13937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( p  pCnt  A
) )
7160, 69, 70syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( p  pCnt  A
) )
7271oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( p  pCnt  A
)  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
7366, 72eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( p  pCnt  A )  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
74 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
7541adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
76 pcelnn 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7760, 75, 76syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7874, 77mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  e.  NN )
7973, 78eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN )
8060, 64pccld 13913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e. 
NN0 )
8180nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
82 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  =/=  0 )
83 pczcl 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
8460, 67, 82, 83syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  NN0 )
8584nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  ZZ )
86 znnsub 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  (
p  pCnt  A )  e.  ZZ )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  ( ( p 
pCnt  A )  -  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN ) )
8781, 85, 86syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  ( ( p 
pCnt  A )  -  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN ) )
8879, 87mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  < 
( p  pCnt  A
) )
8980nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  RR )
9084nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  RR )
9189, 90ltnled 9517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
9288, 91mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )
93 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
94 nprmdvds1 13793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  -.  p  ||  1 )
9594ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  p  ||  1 )
96 gcdid0 13704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
9767, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
9897oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) ) )
9948adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10099, 63dividd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
10198, 100eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) )  =  1 )
102101breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  0
) )  <->  p  ||  1
) )
10395, 102mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  p  ||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) )
104 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  0  ->  ( A  gcd  B )  =  ( A  gcd  0
) )
105104oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  0  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) )
106105breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  0  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) ) ) )
10774, 106syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( B  =  0  ->  p 
||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) ) )
108107necon3bd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( -.  p  ||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) )  ->  B  =/=  0 ) )
109103, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  B  =/=  0 )
110 pczcl 13911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  NN0 )
11160, 93, 109, 110syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  NN0 )
112111nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
113 lemin 11159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  pCnt  A
)  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR  /\  (
p  pCnt  B )  e.  RR )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  if (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
11490, 90, 112, 113syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  if (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
115 pcgcd 13940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
11660, 67, 93, 115syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
117116breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( A  gcd  B
) )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) ) ) )
11890leidd 9902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
) )
119118biantrurd 505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
120114, 117, 1193bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
12192, 120mtbird 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
122121expr 612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
123122reximdva 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. p  e.  Prime  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
124 rexnal 2724 . . . . . . . . 9  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
)  <->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
125123, 124syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  ->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
12659, 125syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
12758, 126orim12d 829 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  ( A  ||  B  \/  -.  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
12843, 127mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  ||  B  \/  -.  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) )
129128ord 377 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( -.  A  ||  B  ->  -.  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
130129con4d 105 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )  ->  A  ||  B ) )
131 2prm 13775 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
132 ne0i 3640 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  Prime  ->  Prime  =/=  (/) )
133131, 132ax-mp 5 . . . . 5  |-  Prime  =/=  (/)
134 r19.2z 3766 . . . . 5  |-  ( ( Prime  =/=  (/)  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
)
135133, 134mpan 665 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  E. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
)
136 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
137 zq 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
138137adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  QQ )
139 pcxcl 13923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR* )
140136, 138, 139syl2anr 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR* )
141 pnfge 11106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  pCnt  B )  e.  RR*  ->  ( p  pCnt  B )  <_ +oo )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  B )  <_ +oo )
143142biantrurd 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( +oo  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( ( p  pCnt  B
)  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
144 pc0 13917 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p 
pCnt  0 )  = +oo )
145144adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  0 )  = +oo )
146145breq1d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  <-> +oo  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
147 pnfxr 11088 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
148 xrletri3 11125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  pCnt  B
)  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( p  pCnt  B
)  = +oo  <->  ( (
p  pCnt  B )  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( p  pCnt  B )
) ) )
149140, 147, 148sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  B )  = +oo  <->  (
( p  pCnt  B
)  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
150143, 146, 1493bitr4d 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  <->  ( p  pCnt  B )  = +oo )
)
151 pnfnre 9421 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e/  RR
152151neli 2705 . . . . . . . . 9  |-  -. +oo  e.  RR
153 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  pCnt  B )  = +oo  ->  ( (
p  pCnt  B )  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
154152, 153mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  pCnt  B )  = +oo  ->  -.  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
155110nn0red 10633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  RR )
156155adantll 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  Prime )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR )
157156an4s 817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  B  =/=  0
) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
158157expr 612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( B  =/=  0  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR ) )
159158necon1bd 2677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  (
p  pCnt  B )  e.  RR  ->  B  = 
0 ) )
160154, 159syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  B )  = +oo  ->  B  =  0 ) )
161150, 160sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  B  = 
0 ) )
162161rexlimdva 2839 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  B  =  0 ) )
163 0dvds 13549 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  ||  B  <->  B  = 
0 ) )
164163adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  B  <->  B  =  0 ) )
165162, 164sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  0  ||  B ) )
166135, 165syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  0  ||  B ) )
1679, 130, 166pm2.61ne 2684 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  A  ||  B ) )
1684, 167impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   QQcq 10949   abscabs 12719    || cdivides 13531    gcd cgcd 13686   Primecprime 13759    pCnt cpc 13899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900
This theorem is referenced by:  pc11  13942  pcz  13943  pcprmpw2  13944  pockthg  13963  pgpfi  16097  fislw  16117  gexexlem  16327  ablfac1c  16562  sqff1o  22463  chtublem  22493  bposlem6  22571
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