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Theorem pautsetN 34903
Description: The set of projective automorphisms. (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
pautsetN  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y    f, K, x    S, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, f)    K( y)    M( x, y, f)

Proof of Theorem pautsetN
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 pautset.m . . 3  |-  M  =  ( PAut `  K
)
3 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  ( PSubSp `  K )
)
4 pautset.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  S )
6 f1oeq2 5807 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : ( PSubSp `  k
)
-1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
8 f1oeq3 5808 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
95, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S
-1-1-onto-> S ) )
107, 9bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
115raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( PSubSp `
 k ) ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
125, 11raleqbidv 3072 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( PSubSp `
 k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
1310, 12anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) ) )
1413abbidv 2603 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `
 k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
15 df-pautN 34796 . . . 4  |-  PAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  (
PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
16 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
174, 16eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
1817, 17mapval 7432 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  =  { f  |  f : S --> S }
19 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  e. 
_V
2018, 19eqeltrri 2552 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S --> S }  e.  _V
21 f1of 5815 . . . . . . 7  |-  ( f : S -1-1-onto-> S  ->  f : S
--> S )
2221ss2abi 3572 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  C_  { f  |  f : S --> S }
2320, 22ssexi 4592 . . . . 5  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  e.  _V
24 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  ->  f : S -1-1-onto-> S )
2524ss2abi 3572 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  C_  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }
2623, 25ssexi 4592 . . . 4  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  e.  _V
2714, 15, 26fvmpt 5949 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PAut `  K )  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
282, 27syl5eq 2520 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
291, 28syl 16 1  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   -->wf 5583   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420   PSubSpcpsubsp 34301   PAutcpautN 34792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-map 7422  df-pautN 34796
This theorem is referenced by:  ispautN  34904
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