Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  paste Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem paste 20387
 Description: Pasting lemma. If and are closed sets in with , then any function whose restrictions to and are continuous is continuous on all of . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
paste.1
paste.2
paste.4
paste.5
paste.6
paste.7
paste.8 t
paste.9 t
Assertion
Ref Expression
paste

Proof of Theorem paste
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paste.7 . 2
2 paste.6 . . . . . . 7
32ineq2d 3625 . . . . . 6
4 ffun 5742 . . . . . . . . 9
51, 4syl 17 . . . . . . . 8
6 respreima 6024 . . . . . . . . 9
7 respreima 6024 . . . . . . . . 9
86, 7uneq12d 3580 . . . . . . . 8
95, 8syl 17 . . . . . . 7
10 indi 3680 . . . . . . 7
119, 10syl6reqr 2524 . . . . . 6
12 imassrn 5185 . . . . . . . . 9
13 dfdm4 5032 . . . . . . . . . 10
14 fdm 5745 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9
1612, 15syl5sseq 3466 . . . . . . . 8
171, 16syl 17 . . . . . . 7
18 df-ss 3404 . . . . . . 7
1917, 18sylib 201 . . . . . 6
203, 11, 193eqtr3rd 2514 . . . . 5
2120adantr 472 . . . 4
22 paste.4 . . . . . . 7
2322adantr 472 . . . . . 6
24 paste.8 . . . . . . 7 t
25 cnclima 20361 . . . . . . 7 t t
2624, 25sylan 479 . . . . . 6 t
27 restcldr 20267 . . . . . 6 t
2823, 26, 27syl2anc 673 . . . . 5
29 paste.5 . . . . . . 7
3029adantr 472 . . . . . 6
31 paste.9 . . . . . . 7 t
32 cnclima 20361 . . . . . . 7 t t
3331, 32sylan 479 . . . . . 6 t
34 restcldr 20267 . . . . . 6 t
3530, 33, 34syl2anc 673 . . . . 5
36 uncld 20133 . . . . 5
3728, 35, 36syl2anc 673 . . . 4
3821, 37eqeltrd 2549 . . 3
3938ralrimiva 2809 . 2
40 cldrcl 20118 . . . 4
4122, 40syl 17 . . 3
42 cntop2 20334 . . . 4 t
4324, 42syl 17 . . 3
44 paste.1 . . . . 5
4544toptopon 20025 . . . 4 TopOn
46 paste.2 . . . . 5
4746toptopon 20025 . . . 4 TopOn
48 iscncl 20362 . . . 4 TopOn TopOn
4945, 47, 48syl2anb 487 . . 3
5041, 43, 49syl2anc 673 . 2
511, 39, 50mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cuni 4190  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccld 20108   ccn 20317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320 This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  22034  cvmliftlem10  30089
 Copyright terms: Public domain W3C validator