Table of ContentsTable of Contents Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem partarelt2 15274
Description: If Z is an element of our tar function at A then ~PZ is an element or tar at suc A. CLASSES1 th. 15
Assertion
Ref Expression
partarelt2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> ~PZ e. ((tar` <.X, Y>.)` suc A)))
Proof of Theorem partarelt2
StepHypRef Expression
1 elin 2786 . . . 4 |- (~PZ e. ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) <-> (~PZ e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ ~PZ e. (tarskiMap` X)))
2 simpr 350 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A))
3 eqidd 1885 . . . . . . 7 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ~PZ = ~PZ)
4 pweq 3036 . . . . . . . . 9 |- (v = Z -> ~Pv = ~PZ)
54eqeq2d 1895 . . . . . . . 8 |- (v = Z -> (~PZ = ~Pv <-> ~PZ = ~PZ))
65rcla4ev 2381 . . . . . . 7 |- ((Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ ~PZ = ~PZ) -> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)~PZ = ~Pv)
72, 3, 6syl11anc 524 . . . . . 6 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)~PZ = ~Pv)
8 pwexg 3489 . . . . . . . 8 |- (Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> ~PZ e. _V)
9 eqeq1 1890 . . . . . . . . . 10 |- (u = ~PZ -> (u = ~Pv <-> ~PZ = ~Pv))
109rexbidv 2124 . . . . . . . . 9 |- (u = ~PZ -> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)~PZ = ~Pv))
1110elabg 2405 . . . . . . . 8 |- (~PZ e. _V -> (~PZ e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv} <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)~PZ = ~Pv))
128, 11syl 12 . . . . . . 7 |- (Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> (~PZ e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv} <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)~PZ = ~Pv))
1312adantl 424 . . . . . 6 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (~PZ e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv} <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)~PZ = ~Pv))
147, 13mpbird 213 . . . . 5 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ~PZ e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv})
15 elun2 2772 . . . . 5 |- (~PZ e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv} -> ~PZ e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}))
16 elun1 2771 . . . . 5 |- (~PZ e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) -> ~PZ e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)))
1714, 15, 163syl 24 . . . 4 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ~PZ e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)))
18 simpl1 879 . . . . 5 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> X e. B)
19 tartarmap 15265 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` A) C_ (tarskiMap` X))
2019sseld 2619 . . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> Z e. (tarskiMap` X)))
2120imp 377 . . . . 5 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> Z e. (tarskiMap` X))
22 pwtsm 15266 . . . . 5 |- ((X e. B /\ Z e. (tarskiMap` X)) -> ~PZ e. (tarskiMap` X))
2318, 21, 22syl11anc 524 . . . 4 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ~PZ e. (tarskiMap` X))
241, 17, 23sylanbrc 527 . . 3 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ~PZ e. ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
25 vtarsu 15263 . . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc A) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
2625adantr 425 . . 3 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc A) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
2724, 26eleqtrrd 1974 . 2 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ~PZ e. ((tar` <.X, Y>.)` suc A))
2827ex 402 1 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (Z e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> ~PZ e. ((tar` <.X, Y>.)` suc A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  <.cop 3046  Oncon0 3657  suc csuc 3659  ` cfv 3998  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-groth 10131
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tsk 15210  df-tskmp 15248  df-tar 15259
Copyright terms: Public domain