MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Unicode version

Theorem padicabvf 23682
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
padicabvf  |-  J : Prime --> A
Distinct variable groups:    x, q, A    x, Q
Allowed substitution hints:    Q( q)    J( x, q)

Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 11206 . . . 4  |-  QQ  e.  _V
21mptex 6142 . . 3  |-  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u ( q 
pCnt  x ) ) ) )  e.  _V
3 padic.j . . 3  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
42, 3fnmpti 5715 . 2  |-  J  Fn  Prime
53padicfval 23667 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( J `
 p )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( p ^ -u (
p  pCnt  x )
) ) ) )
6 prmnn 14096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  p  e.  NN )
87nncnd 10564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  p  e.  CC )
97nnne0d 10592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  p  =/=  0 )
10 df-ne 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  0  <->  -.  x  =  0 )
11 pcqcl 14256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  x )  e.  ZZ )
1211anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( p  pCnt  x )  e.  ZZ )
1310, 12sylan2br 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  ZZ )
148, 9, 13expnegd 12297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  (
p ^ -u (
p  pCnt  x )
)  =  ( 1  /  ( p ^
( p  pCnt  x
) ) ) )
158, 9, 13exprecd 12298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  (
( 1  /  p
) ^ ( p 
pCnt  x ) )  =  ( 1  /  (
p ^ ( p 
pCnt  x ) ) ) )
1614, 15eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  (
p ^ -u (
p  pCnt  x )
)  =  ( ( 1  /  p ) ^ ( p  pCnt  x ) ) )
1716ifeq2da 3976 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  x  e.  QQ )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( p ^ -u (
p  pCnt  x )
) )  =  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p
) ^ ( p 
pCnt  x ) ) ) )
1817mpteq2dva 4539 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( p ^ -u ( p 
pCnt  x ) ) ) )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p ) ^ ( p  pCnt  x ) ) ) ) )
195, 18eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( J `
 p )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p
) ^ ( p 
pCnt  x ) ) ) ) )
206nnrecred 10593 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( 1  /  p )  e.  RR )
216nnred 10563 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
22 prmuz2 14111 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
23 eluz2b2 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
2423simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
26 recgt1i 10454 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  RR  /\  1  <  p )  -> 
( 0  <  (
1  /  p )  /\  ( 1  /  p )  <  1
) )
2721, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( 0  <  ( 1  /  p )  /\  (
1  /  p )  <  1 ) )
2827simpld 459 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  0  < 
( 1  /  p
) )
2927simprd 463 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( 1  /  p )  <  1 )
30 0xr 9652 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
31 1re 9607 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3231rexri 9658 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR*
33 elioo2 11582 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( 1  /  p
)  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
1  /  p )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  p
)  /\  ( 1  /  p )  <  1 ) ) )
3430, 32, 33mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  p )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
1  /  p )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  p
)  /\  ( 1  /  p )  <  1 ) )
3520, 28, 29, 34syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( 1  /  p )  e.  ( 0 (,) 1
) )
36 qrng.q . . . . . 6  |-  Q  =  (flds  QQ )
37 qabsabv.a . . . . . 6  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
38 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p ) ^ ( p  pCnt  x ) ) ) )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p ) ^
( p  pCnt  x
) ) ) )
3936, 37, 38padicabv 23681 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
1  /  p )  e.  ( 0 (,) 1 ) )  -> 
( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p
) ^ ( p 
pCnt  x ) ) ) )  e.  A )
4035, 39mpdan 668 . . . 4  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( ( 1  /  p ) ^ ( p  pCnt  x ) ) ) )  e.  A )
4119, 40eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( J `
 p )  e.  A )
4241rgen 2827 . 2  |-  A. p  e.  Prime  ( J `  p )  e.  A
43 ffnfv 6058 . 2  |-  ( J : Prime --> A  <->  ( J  Fn  Prime  /\  A. p  e.  Prime  ( J `  p )  e.  A
) )
444, 42, 43mpbir2an 918 1  |-  J : Prime --> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   RR*cxr 9639    < clt 9640   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   QQcq 11194   (,)cioo 11541   ^cexp 12146   Primecprime 14093    pCnt cpc 14236   ↾s cress 14508  AbsValcabv 17336  ℂfldccnfld 18290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-prm 14094  df-pc 14237  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-abv 17337  df-cnfld 18291
This theorem is referenced by:  ostth  23690
  Copyright terms: Public domain W3C validator