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Theorem padicabv 24466
Description: The p-adic absolute value (with arbitrary base) is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.f  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
padicabv  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, Q    x, P
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem padicabv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qabsabv.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A  =  (AbsVal `  Q )
)
3 qrng.q . . . 4  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 24455 . . 3  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  QQ  =  ( Base `  Q
) )
6 qex 11283 . . 3  |-  QQ  e.  _V
7 cnfldadd 18974 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
83, 7ressplusg 15238 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
96, 8mp1i 13 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
10 cnfldmul 18975 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
113, 10ressmulr 15249 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
126, 11mp1i 13 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
133qrng0 24457 . . 3  |-  0  =  ( 0g `  Q )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  =  ( 0g `  Q ) )
153qdrng 24456 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
16 drngring 17981 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  Q  e.  Ring )
1715, 16mp1i 13 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Q  e.  Ring )
18 0red 9651 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
19 ioossre 11703 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
20 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  ( 0 (,) 1
) )
2119, 20sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR )
2221ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  e.  RR )
23 eliooord 11701 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2423adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2524simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  N )
2621, 25elrpd 11345 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR+ )
2726rpne0d 11353 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  =/=  0 )
2827ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  =/=  0
)
29 df-ne 2616 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  0  <->  -.  x  =  0 )
30 pcqcl 14805 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3130adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  ZZ )
3231anassrs 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3329, 32sylan2br 478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3422, 28, 33reexpclzd 12447 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( N ^
( P  pCnt  x
) )  e.  RR )
3518, 34ifclda 3943 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  x
) ) )  e.  RR )
36 padic.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
3735, 36fmptd 6061 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F : QQ --> RR )
38 0z 10955 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
39 zq 11277 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
4038, 39ax-mp 5 . . 3  |-  0  e.  QQ
41 iftrue 3917 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  0 )
42 c0ex 9644 . . . 4  |-  0  e.  _V
4341, 36, 42fvmpt 5964 . . 3  |-  ( 0  e.  QQ  ->  ( F `  0 )  =  0 )
4440, 43mp1i 13 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
45213ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
46 pcqcl 14805 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
4746adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  ZZ )
48473impb 1201 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
49253ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  N
)
50 expgt0 12311 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
5145, 48, 49, 50syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
52 eqeq1 2426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  0  <->  y  =  0 ) )
53 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  y
) )
5453oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
5552, 54ifbieq2d 3936 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
56 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  _V
5742, 56ifex 3979 . . . . . 6  |-  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e. 
_V
5855, 36, 57fvmpt 5964 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
59583ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) ) )
60 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  y  =/=  0
)
6160neneqd 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  -.  y  = 
0 )
6261iffalsed 3922 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6359, 62eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
6451, 63breqtrrd 4450 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  y )
)
65 pcqmul 14802 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
66653adant1r 1257 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
6766oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( N ^ ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) ) )
6821recnd 9676 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  CC )
69683ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  CC )
70273ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  =/=  0
)
71473adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
72 simp1l 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
73 simp3l 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  QQ )
74 simp3r 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  =/=  0
)
75 pcqcl 14805 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
7672, 73, 74, 75syl12anc 1262 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
77 expaddz 12322 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( P 
pCnt  y )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  z )  e.  ZZ ) )  -> 
( N ^ (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
7869, 70, 71, 76, 77syl22anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( ( P  pCnt  y )  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
7967, 78eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
80 simp2l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  QQ )
81 qmulcl 11289 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  x.  z
)  e.  QQ )
8280, 73, 81syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  QQ )
83 eqeq1 2426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  x.  z )  =  0 ) )
84 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )
8584oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
8683, 85ifbieq2d 3936 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) ) )
87 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) )  e.  _V
8842, 87ifex 3979 . . . . . 6  |-  if ( ( y  x.  z
)  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  e. 
_V
8986, 36, 88fvmpt 5964 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  x.  z ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
9082, 89syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
91 qcn 11285 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  CC )
9280, 91syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  CC )
93 qcn 11285 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  CC )
9473, 93syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  CC )
95 simp2r 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  =/=  0
)
9692, 94, 95, 74mulne0d 10271 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  =/=  0
)
9796neneqd 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  ( y  x.  z )  =  0 )
9897iffalsed 3922 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
9990, 98eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
100633expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
1011003adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
102 eqeq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  0  <->  z  =  0 ) )
103 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  z
) )
104103oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
105102, 104ifbieq2d 3936 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
106 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  _V
10742, 106ifex 3979 . . . . . . 7  |-  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e. 
_V
108105, 36, 107fvmpt 5964 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
10973, 108syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
11074neneqd 2621 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  z  = 
0 )
111110iffalsed 3922 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
112109, 111eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
113101, 112oveq12d 6323 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  x.  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
11479, 99, 1133eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
115 iftrue 3917 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  0 )
116115breq1d 4433 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  ( if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  <->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
117 ifnefalse 3923 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  z )  =/=  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
118117adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
11971adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
120119zred 11047 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  RR )
12176adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
122121zred 11047 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  RR )
123213ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR )
124123ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  e.  RR )
12570ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  =/=  0 )
12672adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
127 qaddcl 11287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
12880, 73, 127syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
129128adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
130 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  =/=  0 )
131 pcqcl 14805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( y  +  z )  e.  QQ  /\  ( y  +  z )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
132126, 129, 130, 131syl12anc 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
133132adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
134124, 125, 133reexpclzd 12447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
135119adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
136124, 125, 135reexpclzd 12447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
137 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) ) )
138137, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
139137, 27syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  =/=  0 )
140138, 139, 119reexpclzd 12447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
141138, 139, 121reexpclzd 12447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
142140, 141readdcld 9677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR )
143142adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
144126adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  P  e.  Prime )
14580ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  y  e.  QQ )
14673ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  z  e.  QQ )
147 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )
148144, 145, 146, 147pcadd 14833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
149137, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR+ )
15024simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  <  1 )
151137, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  <  1 )
152149, 119, 132, 151ltexp2rd 12446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  y
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
153152notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
154132zred 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  RR )
155120, 154lenltd 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y ) ) )
156138, 139, 132reexpclzd 12447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
157156, 140lenltd 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
158153, 155, 1573bitr4d 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
159158biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
160148, 159syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
161263ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR+ )
162161, 76rpexpcld 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  e.  RR+ )
163162adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR+ )
164163rpge0d 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
165140, 141addge01d 10208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
166164, 165mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
167166adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
168134, 136, 143, 160, 167letrd 9799 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
169156adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
170141adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
171142adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
172126adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  P  e.  Prime )
17373ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  z  e.  QQ )
17480ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  y  e.  QQ )
175 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )
176172, 173, 174, 175pcadd 14833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
17792, 94addcomd 9842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  =  ( z  +  y ) )
178177oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P 
pCnt  ( z  +  y ) ) )
179178ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
180176, 179breqtrrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
181149, 121, 132, 151ltexp2rd 12446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  z
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
182181notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
183122, 154lenltd 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z ) ) )
184156, 141lenltd 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
185182, 183, 1843bitr4d 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
186185biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
187180, 186syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
188161, 71rpexpcld 12445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  e.  RR+ )
189188adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR+ )
190189rpge0d 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
191141, 140addge02d 10209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
192190, 191mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
193192adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
194169, 170, 171, 187, 193letrd 9799 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
195120, 122, 168, 194lecasei 9747 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
196118, 195eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
197188, 162rpaddcld 11363 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR+ )
198197rpge0d 11352 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
199116, 196, 198pm2.61ne 2735 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
200 eqeq1 2426 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  +  z )  =  0 ) )
201 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
202201oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
203200, 202ifbieq2d 3936 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
204 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  _V
20542, 204ifex 3979 . . . . 5  |-  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  e. 
_V
206203, 36, 205fvmpt 5964 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
207128, 206syl 17 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
208101, 112oveq12d 6323 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
209199, 207, 2083brtr4d 4454 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
2102, 5, 9, 12, 14, 17, 37, 44, 64, 114, 209isabvd 18047 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683   ZZcz 10944   QQcq 11271   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   ^cexp 12278   Primecprime 14621    pCnt cpc 14785   Basecbs 15120   ↾s cress 15121   +g cplusg 15189   .rcmulr 15190   0gc0g 15337   Ringcrg 17779   DivRingcdr 17974  AbsValcabv 18043  ℂfldccnfld 18969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-fz 11792  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-subg 16813  df-cmn 17431  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-dvr 17910  df-drng 17976  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-cnfld 18970
This theorem is referenced by:  padicabvf  24467  padicabvcxp  24468
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