Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabv Structured version   Unicode version

 Description: The p-adic absolute value (with arbitrary base) is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qabsabv.a . . 3 AbsVal
21a1i 11 . 2 AbsVal
3 qrng.q . . . 4 flds
43qrngbas 23532 . . 3
54a1i 11 . 2
6 qex 11190 . . 3
7 cnfldadd 18196 . . . 4 fld
83, 7ressplusg 14593 . . 3
96, 8mp1i 12 . 2
10 cnfldmul 18197 . . . 4 fld
113, 10ressmulr 14604 . . 3
126, 11mp1i 12 . 2
133qrng0 23534 . . 3
1413a1i 11 . 2
153qdrng 23533 . . 3
16 drngrng 17186 . . 3
1715, 16mp1i 12 . 2
18 0red 9593 . . . 4
19 ioossre 11582 . . . . . . 7
20 simpr 461 . . . . . . 7
2119, 20sseldi 3502 . . . . . 6
2221ad2antrr 725 . . . . 5
23 eliooord 11580 . . . . . . . . . 10
2423adantl 466 . . . . . . . . 9
2524simpld 459 . . . . . . . 8
2621, 25elrpd 11250 . . . . . . 7
2726rpne0d 11257 . . . . . 6
2827ad2antrr 725 . . . . 5
29 df-ne 2664 . . . . . 6
30 pcqcl 14235 . . . . . . . 8
3130adantlr 714 . . . . . . 7
3231anassrs 648 . . . . . 6
3329, 32sylan2br 476 . . . . 5
3422, 28, 33reexpclzd 12299 . . . 4
3518, 34ifclda 3971 . . 3
3735, 36fmptd 6043 . 2
38 0z 10871 . . . 4
39 zq 11184 . . . 4
4038, 39ax-mp 5 . . 3
41 iftrue 3945 . . . 4
42 c0ex 9586 . . . 4
4341, 36, 42fvmpt 5948 . . 3
4440, 43mp1i 12 . 2
45213ad2ant1 1017 . . . 4
46 pcqcl 14235 . . . . . 6
4746adantlr 714 . . . . 5
48473impb 1192 . . . 4
49253ad2ant1 1017 . . . 4
50 expgt0 12163 . . . 4
5145, 48, 49, 50syl3anc 1228 . . 3
52 eqeq1 2471 . . . . . . 7
53 oveq2 6290 . . . . . . . 8
5453oveq2d 6298 . . . . . . 7
5552, 54ifbieq2d 3964 . . . . . 6
56 ovex 6307 . . . . . . 7
5742, 56ifex 4008 . . . . . 6
5855, 36, 57fvmpt 5948 . . . . 5
59583ad2ant2 1018 . . . 4
60 simp3 998 . . . . . 6
6160neneqd 2669 . . . . 5
62 iffalse 3948 . . . . 5
6361, 62syl 16 . . . 4
6459, 63eqtrd 2508 . . 3
6551, 64breqtrrd 4473 . 2
66 pcqmul 14232 . . . . . 6
67663adant1r 1221 . . . . 5
6867oveq2d 6298 . . . 4
6921recnd 9618 . . . . . 6
70693ad2ant1 1017 . . . . 5
71273ad2ant1 1017 . . . . 5
72473adant3 1016 . . . . 5
73 simp1l 1020 . . . . . 6
74 simp3l 1024 . . . . . 6
75 simp3r 1025 . . . . . 6
76 pcqcl 14235 . . . . . 6
7773, 74, 75, 76syl12anc 1226 . . . . 5
78 expaddz 12174 . . . . 5
7970, 71, 72, 77, 78syl22anc 1229 . . . 4
8068, 79eqtrd 2508 . . 3
81 simp2l 1022 . . . . . 6
82 qmulcl 11196 . . . . . 6
8381, 74, 82syl2anc 661 . . . . 5
84 eqeq1 2471 . . . . . . 7
85 oveq2 6290 . . . . . . . 8
8685oveq2d 6298 . . . . . . 7
8784, 86ifbieq2d 3964 . . . . . 6
88 ovex 6307 . . . . . . 7
8942, 88ifex 4008 . . . . . 6
9087, 36, 89fvmpt 5948 . . . . 5
9183, 90syl 16 . . . 4
92 qcn 11192 . . . . . . . 8
9381, 92syl 16 . . . . . . 7
94 qcn 11192 . . . . . . . 8
9574, 94syl 16 . . . . . . 7
96 simp2r 1023 . . . . . . 7
9793, 95, 96, 75mulne0d 10197 . . . . . 6
9897neneqd 2669 . . . . 5
99 iffalse 3948 . . . . 5
10098, 99syl 16 . . . 4
10191, 100eqtrd 2508 . . 3
102643expb 1197 . . . . 5
1031023adant3 1016 . . . 4
104 eqeq1 2471 . . . . . . . 8
105 oveq2 6290 . . . . . . . . 9
106105oveq2d 6298 . . . . . . . 8
107104, 106ifbieq2d 3964 . . . . . . 7
108 ovex 6307 . . . . . . . 8
10942, 108ifex 4008 . . . . . . 7
110107, 36, 109fvmpt 5948 . . . . . 6
11174, 110syl 16 . . . . 5
11275neneqd 2669 . . . . . 6
113 iffalse 3948 . . . . . 6
114112, 113syl 16 . . . . 5
115111, 114eqtrd 2508 . . . 4
116103, 115oveq12d 6300 . . 3
11780, 101, 1163eqtr4d 2518 . 2
118 iftrue 3945 . . . . 5
119118breq1d 4457 . . . 4
120 ifnefalse 3951 . . . . . 6
121120adantl 466 . . . . 5
12272adantr 465 . . . . . . 7
123122zred 10962 . . . . . 6
12477adantr 465 . . . . . . 7
125124zred 10962 . . . . . 6
126 simp1 996 . . . . . . . . . 10
127126, 21syl 16 . . . . . . . . 9
128127ad2antrr 725 . . . . . . . 8
12971ad2antrr 725 . . . . . . . 8
13073adantr 465 . . . . . . . . . 10
131 qaddcl 11194 . . . . . . . . . . . 12
13281, 74, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
133132adantr 465 . . . . . . . . . 10
134 simpr 461 . . . . . . . . . 10
135 pcqcl 14235 . . . . . . . . . 10
136130, 133, 134, 135syl12anc 1226 . . . . . . . . 9
137136adantr 465 . . . . . . . 8
138128, 129, 137reexpclzd 12299 . . . . . . 7
139122adantr 465 . . . . . . . 8
140128, 129, 139reexpclzd 12299 . . . . . . 7
141126adantr 465 . . . . . . . . . . 11
142141, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
143141, 27syl 16 . . . . . . . . . 10
144142, 143, 122reexpclzd 12299 . . . . . . . . 9
145142, 143, 124reexpclzd 12299 . . . . . . . . 9
146144, 145readdcld 9619 . . . . . . . 8
147146adantr 465 . . . . . . 7
148130adantr 465 . . . . . . . . 9
14981ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
15074ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
151 simpr 461 . . . . . . . . 9
152148, 149, 150, 151pcadd 14263 . . . . . . . 8
153141, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12
15424simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
155141, 154syl 16 . . . . . . . . . . . 12
156153, 122, 136, 155ltexp2rd 12298 . . . . . . . . . . 11
157156notbid 294 . . . . . . . . . 10
158136zred 10962 . . . . . . . . . . 11
159123, 158lenltd 9726 . . . . . . . . . 10
160142, 143, 136reexpclzd 12299 . . . . . . . . . . 11
161160, 144lenltd 9726 . . . . . . . . . 10
162157, 159, 1613bitr4d 285 . . . . . . . . 9
163162biimpa 484 . . . . . . . 8
164152, 163syldan 470 . . . . . . 7
165126, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12
166165, 77rpexpcld 12297 . . . . . . . . . . 11
167166adantr 465 . . . . . . . . . 10
168167rpge0d 11256 . . . . . . . . 9
169144, 145addge01d 10136 . . . . . . . . 9
170168, 169mpbid 210 . . . . . . . 8
171170adantr 465 . . . . . . 7
172138, 140, 147, 164, 171letrd 9734 . . . . . 6
173160adantr 465 . . . . . . 7
174145adantr 465 . . . . . . 7
175146adantr 465 . . . . . . 7
176130adantr 465 . . . . . . . . . 10
17774ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
17881ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
179 simpr 461 . . . . . . . . . 10
180176, 177, 178, 179pcadd 14263 . . . . . . . . 9
18193, 95addcomd 9777 . . . . . . . . . . 11
182181oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10
183182ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
184180, 183breqtrrd 4473 . . . . . . . 8
185153, 124, 136, 155ltexp2rd 12298 . . . . . . . . . . 11
186185notbid 294 . . . . . . . . . 10
187125, 158lenltd 9726 . . . . . . . . . 10
188160, 145lenltd 9726 . . . . . . . . . 10
189186, 187, 1883bitr4d 285 . . . . . . . . 9
190189biimpa 484 . . . . . . . 8
191184, 190syldan 470 . . . . . . 7
192165, 72rpexpcld 12297 . . . . . . . . . . 11
193192adantr 465 . . . . . . . . . 10
194193rpge0d 11256 . . . . . . . . 9
195145, 144addge02d 10137 . . . . . . . . 9
196194, 195mpbid 210 . . . . . . . 8
197196adantr 465 . . . . . . 7
198173, 174, 175, 191, 197letrd 9734 . . . . . 6
199123, 125, 172, 198lecasei 9686 . . . . 5
200121, 199eqbrtrd 4467 . . . 4
201192, 166rpaddcld 11267 . . . . 5
202201rpge0d 11256 . . . 4
203119, 200, 202pm2.61ne 2782 . . 3
204 eqeq1 2471 . . . . . 6
205 oveq2 6290 . . . . . . 7
206205oveq2d 6298 . . . . . 6
207204, 206ifbieq2d 3964 . . . . 5
208 ovex 6307 . . . . . 6
20942, 208ifex 4008 . . . . 5
210207, 36, 209fvmpt 5948 . . . 4
211132, 210syl 16 . . 3
212103, 115oveq12d 6300 . . 3
213203, 211, 2123brtr4d 4477 . 2
2142, 5, 9, 12, 14, 17, 37, 44, 65, 117, 213isabvd 17252 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cvv 3113  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   clt 9624   cle 9625  cz 10860  cq 11178  crp 11216  cioo 11525  cexp 12130  cprime 14072   cpc 14215  cbs 14486   ↾s cress 14487   cplusg 14551  cmulr 14552  c0g 14691  crg 16986  cdr 17179  AbsValcabv 17248  ℂfldccnfld 18191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-subg 15993  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-abv 17249  df-cnfld 18192 This theorem is referenced by:  padicabvf  23544  padicabvcxp  23545
 Copyright terms: Public domain W3C validator