Theorem paddval 33408

Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	|- .<_ = ( le ` K )
paddfval.j	|- .\/ = ( join ` K )
paddfval.a	|- A = ( Atoms ` K )
paddfval.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddval	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )

Distinct variable groups:   A, p   q, p, r, K   X, p, q   Y, p, q, r

Allowed substitution hints:   A( r, q)   B( r, q, p)   .+ ( r, q, p)   .\/ ( r, q, p)   .<_ ( r, q, p)   X( r)

Proof of Theorem paddval

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 244	. 2 |- ( K e. B <-> K e. B )
2		paddfval.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		fvex 5898	. . . 4 |- ( Atoms ` K ) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2536	. . 3 |- A e. _V
5	4	elpw2 4581	. 2 |- ( X e. ~P A <-> X C_ A )
6	4	elpw2 4581	. 2 |- ( Y e. ~P A <-> Y C_ A )
7		paddfval.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
8		paddfval.j	. . . . . 6 |- .\/ = ( join ` K )
9		paddfval.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +P ` K )
10	7, 8, 2, 9	paddfval 33407	. . . . 5 |- ( K e. B -> .+ = ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) )
11	10	oveqd 6332	. . . 4 |- ( K e. B -> ( X .+ Y ) = ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) )
12	11	3ad2ant1 1035	. . 3 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) )
13		simpl 463	. . . . . 6 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> X e. ~P A )
14		simpr 467	. . . . . 6 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> Y e. ~P A )
15		unexg 6619	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X u. Y ) e. _V )
16	4	rabex 4568	. . . . . . 7 |- { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } e. _V
17		unexg 6619	. . . . . . 7 |- ( ( ( X u. Y ) e. _V /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } e. _V ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancl 673	. . . . . 6 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V )
19	13, 14, 18	3jca 1194	. . . . 5 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A /\ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V ) )
20	19	3adant1 1032	. . . 4 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A /\ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V ) )
21		uneq1 3593	. . . . . 6 |- ( m = X -> ( m u. n ) = ( X u. n ) )
22		rexeq 3000	. . . . . . 7 |- ( m = X -> ( E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) ) )
23	22	rabbidv 3048	. . . . . 6 |- ( m = X -> { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } = { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } )
24	21, 23	uneq12d 3601	. . . . 5 |- ( m = X -> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) = ( ( X u. n ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
25		uneq2 3594	. . . . . 6 |- ( n = Y -> ( X u. n ) = ( X u. Y ) )
26		rexeq 3000	. . . . . . . 8 |- ( n = Y -> ( E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) ) )
27	26	rexbidv 2913	. . . . . . 7 |- ( n = Y -> ( E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) ) )
28	27	rabbidv 3048	. . . . . 6 |- ( n = Y -> { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } = { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } )
29	25, 28	uneq12d 3601	. . . . 5 |- ( n = Y -> ( ( X u. n ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
30		eqid 2462	. . . . 5 |- ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) = ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
31	24, 29, 30	ovmpt2g 6458	. . . 4 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A /\ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V ) -> ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
32	20, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
33	12, 32	eqtrd 2496	. 2 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
34	1, 5, 6, 33	syl3anbr 1320	1 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057   u. cun 3414   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   |-> cmpt2 6317   lecple 15246   joincjn 16238   Atomscatm 32874   +Pcpadd 33405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-padd 33406

This theorem is referenced by:  elpadd  33409  paddunssN  33418  paddcom  33423  paddssat  33424  sspadd1  33425  sspadd2  33426