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Theorem paddval 33408
Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddval  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p    q, p, r, K    X, p, q    Y, p, q, r
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( r, q, p)    .+ ( r,
q, p)    .\/ ( r, q, p)    .<_ ( r, q, p)    X( r)

Proof of Theorem paddval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 244 . 2  |-  ( K  e.  B  <->  K  e.  B )
2 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 fvex 5898 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  e.  _V
42, 3eqeltri 2536 . . 3  |-  A  e. 
_V
54elpw2 4581 . 2  |-  ( X  e.  ~P A  <->  X  C_  A
)
64elpw2 4581 . 2  |-  ( Y  e.  ~P A  <->  Y  C_  A
)
7 paddfval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 paddfval.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 paddfval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +P `  K
)
107, 8, 2, 9paddfval 33407 . . . . 5  |-  ( K  e.  B  ->  .+  =  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) )
1110oveqd 6332 . . . 4  |-  ( K  e.  B  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y ) )
12113ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y ) )
13 simpl 463 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  X  e.  ~P A )
14 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  Y  e.  ~P A )
15 unexg 6619 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  u.  Y )  e.  _V )
164rabex 4568 . . . . . . 7  |-  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  e.  _V
17 unexg 6619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  u.  Y
)  e.  _V  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) }  e.  _V )  ->  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V )
1815, 16, 17sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  (
( X  u.  Y
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  e. 
_V )
1913, 14, 183jca 1194 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V ) )
20193adant1 1032 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V ) )
21 uneq1 3593 . . . . . 6  |-  ( m  =  X  ->  (
m  u.  n )  =  ( X  u.  n ) )
22 rexeq 3000 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2322rabbidv 3048 . . . . . 6  |-  ( m  =  X  ->  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  =  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )
2421, 23uneq12d 3601 . . . . 5  |-  ( m  =  X  ->  (
( m  u.  n
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  =  ( ( X  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
25 uneq2 3594 . . . . . 6  |-  ( n  =  Y  ->  ( X  u.  n )  =  ( X  u.  Y ) )
26 rexeq 3000 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  Y  ->  ( E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2726rexbidv 2913 . . . . . . 7  |-  ( n  =  Y  ->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2827rabbidv 3048 . . . . . 6  |-  ( n  =  Y  ->  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  =  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )
2925, 28uneq12d 3601 . . . . 5  |-  ( n  =  Y  ->  (
( X  u.  n
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
30 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )  =  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3124, 29, 30ovmpt2g 6458 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V )  -> 
( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3220, 31syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X ( m  e. 
~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3312, 32eqtrd 2496 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
341, 5, 6, 33syl3anbr 1320 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    u. cun 3414    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    |-> cmpt2 6317   lecple 15246   joincjn 16238   Atomscatm 32874   +Pcpadd 33405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-padd 33406
This theorem is referenced by:  elpadd  33409  paddunssN  33418  paddcom  33423  paddssat  33424  sspadd1  33425  sspadd2  33426
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