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Mathbox for Norm Megill |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > paddunN | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5892.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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paddun.a |
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paddun.p |
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paddun.o |
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Ref | Expression |
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paddunN |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 1014 |
. . 3
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2 | paddun.a |
. . . 4
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3 | paddun.p |
. . . 4
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4 | 2, 3 | paddssat 33424 |
. . 3
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5 | 2, 3 | paddunssN 33418 |
. . 3
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6 | paddun.o |
. . . 4
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7 | 2, 6 | polcon3N 33527 |
. . 3
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8 | 1, 4, 5, 7 | syl3anc 1276 |
. 2
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9 | hlclat 32969 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . 6
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11 | unss 3620 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | biimpi 199 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | 3adant1 1032 |
. . . . . . . . 9
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14 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14, 2 | atssbase 32901 |
. . . . . . . . 9
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16 | 13, 15 | syl6ss 3456 |
. . . . . . . 8
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17 | eqid 2462 |
. . . . . . . . 9
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18 | 14, 17 | clatlubcl 16407 |
. . . . . . . 8
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19 | 10, 16, 18 | syl2anc 671 |
. . . . . . 7
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20 | eqid 2462 |
. . . . . . . 8
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21 | 14, 20 | pmapssbaN 33370 |
. . . . . . 7
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22 | 1, 19, 21 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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23 | 2, 6 | polssatN 33518 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 23 | 3adant3 1034 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 2, 6 | polssatN 33518 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 1, 24, 25 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 2, 6 | polssatN 33518 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 27 | 3adant2 1033 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 2, 6 | polssatN 33518 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 1, 28, 29 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 1, 26, 30 | 3jca 1194 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 2, 6 | 2polssN 33525 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 32 | 3adant3 1034 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 2, 6 | 2polssN 33525 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | 3adant2 1033 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 33, 35 | jca 539 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 2, 3 | paddss12 33429 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 31, 36, 37 | sylc 62 |
. . . . . . . . 9
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39 | 17, 2, 20, 6 | 2polvalN 33524 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | 3adant3 1034 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 17, 2, 20, 6 | 2polvalN 33524 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | 3adant2 1033 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 40, 42 | oveq12d 6333 |
. . . . . . . . 9
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44 | 38, 43 | sseqtrd 3480 |
. . . . . . . 8
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45 | hllat 32974 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 45 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . . . . 9
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47 | simp2 1015 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 47, 15 | syl6ss 3456 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 14, 17 | clatlubcl 16407 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 10, 48, 49 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . 9
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51 | simp3 1016 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 51, 15 | syl6ss 3456 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 14, 17 | clatlubcl 16407 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 10, 52, 53 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . 9
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55 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 14, 55, 20, 3 | pmapjoin 33462 |
. . . . . . . . 9
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57 | 46, 50, 54, 56 | syl3anc 1276 |
. . . . . . . 8
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58 | 44, 57 | sstrd 3454 |
. . . . . . 7
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59 | 14, 55, 17 | lubun 16418 |
. . . . . . . . 9
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71 | 14, 63, 20 | pmaple 33371 |
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72 | 1, 68, 70, 71 | syl3anc 1276 |
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74 | 17, 2, 20, 6 | 2polvalN 33524 |
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75 | 1, 4, 74 | syl2anc 671 |
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76 | 17, 2, 20, 6 | 2polvalN 33524 |
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77 | 1, 13, 76 | syl2anc 671 |
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78 | 17, 2, 20 | 2pmaplubN 33536 |
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79 | 1, 13, 78 | syl2anc 671 |
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80 | 77, 79 | eqtr4d 2499 |
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81 | 73, 75, 80 | 3sstr4d 3487 |
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82 | 2, 6 | 2polcon4bN 33528 |
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83 | 1, 4, 13, 82 | syl3anc 1276 |
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84 | 81, 83 | mpbid 215 |
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85 | 8, 84 | eqssd 3461 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4529 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-riotaBAD 32570 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-op 3987 df-uni 4213 df-iun 4294 df-iin 4295 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-id 4768 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-undef 7046 df-preset 16222 df-poset 16240 df-plt 16253 df-lub 16269 df-glb 16270 df-join 16271 df-meet 16272 df-p0 16334 df-p1 16335 df-lat 16341 df-clat 16403 df-oposet 32787 df-ol 32789 df-oml 32790 df-covers 32877 df-ats 32878 df-atl 32909 df-cvlat 32933 df-hlat 32962 df-psubsp 33113 df-pmap 33114 df-padd 33406 df-polarityN 33513 |
This theorem is referenced by: poldmj1N 33538 |
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