Theorem paddunN 34723

Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5868.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddun.a	|- A = ( Atoms ` K )
paddun.p	|- .+ = ( +P ` K )
paddun.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddunN	|- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Proof of Theorem paddunN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. HL )
2		paddun.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		paddun.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4	2, 3	paddssat 34610	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ A )
5	2, 3	paddunssN 34604	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) )
6		paddun.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
7	2, 6	polcon3N 34713	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
9		hlclat 34155	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
10	9	3ad2ant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. CLat )
11		unss 3678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) <-> ( S u. T ) C_ A )
12	11	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
13	12	3adant1 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
14		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
15	14, 2	atssbase 34087	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( Base ` K )
16	13, 15	syl6ss 3516	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) )
17		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
18	14, 17	clatlubcl 15595	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
19	10, 16, 18	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
20		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( pmap ` K ) = ( pmap ` K )
21	14, 20	pmapssbaN 34556	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
22	1, 19, 21	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
23	2, 6	polssatN 34704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
24	23	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
25	2, 6	polssatN 34704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` S ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
26	1, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
27	2, 6	polssatN 34704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
28	27	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
29	2, 6	polssatN 34704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
30	1, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
31	1, 26, 30	3jca 1176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) )
32	2, 6	2polssN 34711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
33	32	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
34	2, 6	2polssN 34711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
35	34	3adant2 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
36	33, 35	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
37	2, 3	paddss12 34615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) -> ( ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) ) )
38	31, 36, 37	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
39	17, 2, 20, 6	2polvalN 34710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
40	39	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
41	17, 2, 20, 6	2polvalN 34710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
42	41	3adant2 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
43	40, 42	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
44	38, 43	sseqtrd 3540	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
45		hllat 34160	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
46	45	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. Lat )
47		simp2 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ A )
48	47, 15	syl6ss 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( Base ` K ) )
49	14, 17	clatlubcl 15595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
51		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ A )
52	51, 15	syl6ss 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( Base ` K ) )
53	14, 17	clatlubcl 15595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
54	10, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
55		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
56	14, 55, 20, 3	pmapjoin 34648	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
57	46, 50, 54, 56	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
58	44, 57	sstrd 3514	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
59	14, 55, 17	lubun 15606	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
60	10, 48, 52, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
61	60	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
62	58, 61	sseqtr4d 3541	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
63		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
64	14, 63, 17	lubss 15604	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) /\ ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
65	10, 22, 62, 64	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
66	4, 15	syl6ss 3516	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) )
67	14, 17	clatlubcl 15595	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
68	10, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
69	14, 17	clatlubcl 15595	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
70	10, 22, 69	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
71	14, 63, 20	pmaple 34557	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
72	1, 68, 70, 71	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
73	65, 72	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
74	17, 2, 20, 6	2polvalN 34710	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
75	1, 4, 74	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
76	17, 2, 20, 6	2polvalN 34710	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
77	1, 13, 76	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
78	17, 2, 20	2pmaplubN 34722	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
79	1, 13, 78	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
80	77, 79	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
81	73, 75, 80	3sstr4d 3547	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) )
82	2, 6	2polcon4bN 34714	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
83	1, 4, 13, 82	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 210	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) )
85	8, 84	eqssd 3521	1 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   u. cun 3474   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   lubclub 15425   joincjn 15427   Latclat 15528   CLatccla 15590   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   pmapcpmap 34293   +Pcpadd 34591   _|_PcpolN 34698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-polarityN 34699

This theorem is referenced by:  poldmj1N  34724