Theorem paddunN 33537

Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5892.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddun.a	|- A = ( Atoms ` K )
paddun.p	|- .+ = ( +P ` K )
paddun.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddunN	|- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Proof of Theorem paddunN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1014	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. HL )
2		paddun.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		paddun.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4	2, 3	paddssat 33424	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ A )
5	2, 3	paddunssN 33418	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) )
6		paddun.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
7	2, 6	polcon3N 33527	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
9		hlclat 32969	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
10	9	3ad2ant1 1035	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. CLat )
11		unss 3620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) <-> ( S u. T ) C_ A )
12	11	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
13	12	3adant1 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
14		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
15	14, 2	atssbase 32901	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( Base ` K )
16	13, 15	syl6ss 3456	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) )
17		eqid 2462	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
18	14, 17	clatlubcl 16407	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
19	10, 16, 18	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
20		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( pmap ` K ) = ( pmap ` K )
21	14, 20	pmapssbaN 33370	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
22	1, 19, 21	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
23	2, 6	polssatN 33518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
24	23	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
25	2, 6	polssatN 33518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` S ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
26	1, 24, 25	syl2anc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
27	2, 6	polssatN 33518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
28	27	3adant2 1033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
29	2, 6	polssatN 33518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
30	1, 28, 29	syl2anc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
31	1, 26, 30	3jca 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) )
32	2, 6	2polssN 33525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
33	32	3adant3 1034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
34	2, 6	2polssN 33525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
35	34	3adant2 1033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
36	33, 35	jca 539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
37	2, 3	paddss12 33429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) -> ( ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) ) )
38	31, 36, 37	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
39	17, 2, 20, 6	2polvalN 33524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
40	39	3adant3 1034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
41	17, 2, 20, 6	2polvalN 33524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
42	41	3adant2 1033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
43	40, 42	oveq12d 6333	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
44	38, 43	sseqtrd 3480	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
45		hllat 32974	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
46	45	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. Lat )
47		simp2 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ A )
48	47, 15	syl6ss 3456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( Base ` K ) )
49	14, 17	clatlubcl 16407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
51		simp3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ A )
52	51, 15	syl6ss 3456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( Base ` K ) )
53	14, 17	clatlubcl 16407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
54	10, 52, 53	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
55		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
56	14, 55, 20, 3	pmapjoin 33462	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
57	46, 50, 54, 56	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
58	44, 57	sstrd 3454	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
59	14, 55, 17	lubun 16418	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
60	10, 48, 52, 59	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
61	60	fveq2d 5892	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
62	58, 61	sseqtr4d 3481	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
63		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
64	14, 63, 17	lubss 16416	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) /\ ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
65	10, 22, 62, 64	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
66	4, 15	syl6ss 3456	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) )
67	14, 17	clatlubcl 16407	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
68	10, 66, 67	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
69	14, 17	clatlubcl 16407	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
70	10, 22, 69	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
71	14, 63, 20	pmaple 33371	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
72	1, 68, 70, 71	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
73	65, 72	mpbid 215	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
74	17, 2, 20, 6	2polvalN 33524	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
75	1, 4, 74	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
76	17, 2, 20, 6	2polvalN 33524	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
77	1, 13, 76	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
78	17, 2, 20	2pmaplubN 33536	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
79	1, 13, 78	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
80	77, 79	eqtr4d 2499	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
81	73, 75, 80	3sstr4d 3487	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) )
82	2, 6	2polcon4bN 33528	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
83	1, 4, 13, 82	syl3anc 1276	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 215	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) )
85	8, 84	eqssd 3461	1 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   u. cun 3414   C_ wss 3416   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   lubclub 16236   joincjn 16238   Latclat 16340   CLatccla 16402   Atomscatm 32874   HLchlt 32961   pmapcpmap 33107   +Pcpadd 33405   _|_PcpolN 33512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-riotaBAD 32570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-undef 7046  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-polarityN 33513

This theorem is referenced by:  poldmj1N  33538