Theorem paddunN 33410

Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5881.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddun.a	|- A = ( Atoms ` K )
paddun.p	|- .+ = ( +P ` K )
paddun.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddunN	|- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Proof of Theorem paddunN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1005	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. HL )
2		paddun.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		paddun.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4	2, 3	paddssat 33297	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ A )
5	2, 3	paddunssN 33291	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) )
6		paddun.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
7	2, 6	polcon3N 33400	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ ( S .+ T ) ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )
9		hlclat 32842	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
10	9	3ad2ant1 1026	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. CLat )
11		unss 3640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) <-> ( S u. T ) C_ A )
12	11	biimpi 197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
13	12	3adant1 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ A )
14		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
15	14, 2	atssbase 32774	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( Base ` K )
16	13, 15	syl6ss 3476	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) )
17		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
18	14, 17	clatlubcl 16345	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ ( S u. T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
19	10, 16, 18	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) )
20		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( pmap ` K ) = ( pmap ` K )
21	14, 20	pmapssbaN 33243	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
22	1, 19, 21	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) )
23	2, 6	polssatN 33391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
24	23	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` S ) C_ A )
25	2, 6	polssatN 33391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` S ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
26	1, 24, 25	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A )
27	2, 6	polssatN 33391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
28	27	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` T ) C_ A )
29	2, 6	polssatN 33391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
30	1, 28, 29	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A )
31	1, 26, 30	3jca 1185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) )
32	2, 6	2polssN 33398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
33	32	3adant3 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) )
34	2, 6	2polssN 33398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
35	34	3adant2 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) )
36	33, 35	jca 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
37	2, 3	paddss12 33302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ A /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ A ) -> ( ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) /\ T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) ) )
38	31, 36, 37	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) )
39	17, 2, 20, 6	2polvalN 33397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
40	39	3adant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) )
41	17, 2, 20, 6	2polvalN 33397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
42	41	3adant2 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
43	40, 42	oveq12d 6319	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) .+ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) = ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
44	38, 43	sseqtrd 3500	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
45		hllat 32847	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
46	45	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> K e. Lat )
47		simp2 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ A )
48	47, 15	syl6ss 3476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> S C_ ( Base ` K ) )
49	14, 17	clatlubcl 16345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) )
51		simp3 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ A )
52	51, 15	syl6ss 3476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> T C_ ( Base ` K ) )
53	14, 17	clatlubcl 16345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
54	10, 52, 53	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) )
55		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
56	14, 55, 20, 3	pmapjoin 33335	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( lub ` K ) ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` T ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
57	46, 50, 54, 56	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` S ) ) .+ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
58	44, 57	sstrd 3474	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
59	14, 55, 17	lubun 16356	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ T C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
60	10, 48, 52, 59	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) = ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) )
61	60	fveq2d 5881	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( lub ` K ) ` S ) ( join ` K ) ( ( lub ` K ) ` T ) ) ) )
62	58, 61	sseqtr4d 3501	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
63		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
64	14, 63, 17	lubss 16354	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) /\ ( S .+ T ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
65	10, 22, 62, 64	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) )
66	4, 15	syl6ss 3476	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) )
67	14, 17	clatlubcl 16345	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( S .+ T ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
68	10, 66, 67	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) )
69	14, 17	clatlubcl 16345	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
70	10, 22, 69	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) )
71	14, 63, 20	pmaple 33244	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
72	1, 68, 70, 71	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ( le ` K ) ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) ) )
73	65, 72	mpbid 213	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
74	17, 2, 20, 6	2polvalN 33397	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
75	1, 4, 74	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S .+ T ) ) ) )
76	17, 2, 20, 6	2polvalN 33397	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
77	1, 13, 76	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
78	17, 2, 20	2pmaplubN 33409	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
79	1, 13, 78	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) )
80	77, 79	eqtr4d 2466	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) = ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( ( pmap ` K ) ` ( ( lub ` K ) ` ( S u. T ) ) ) ) ) )
81	73, 75, 80	3sstr4d 3507	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) )
82	2, 6	2polcon4bN 33401	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( S .+ T ) C_ A /\ ( S u. T ) C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
83	1, 4, 13, 82	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( S u. T ) ) ) <-> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) ) )
84	81, 83	mpbid 213	. 2 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S u. T ) ) C_ ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) )
85	8, 84	eqssd 3481	1 |- ( ( K e. HL /\ S C_ A /\ T C_ A ) -> ( ._|_ ` ( S .+ T ) ) = ( ._|_ ` ( S u. T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   u. cun 3434   C_ wss 3436   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Basecbs 15108   lecple 15184   lubclub 16174   joincjn 16176   Latclat 16278   CLatccla 16340   Atomscatm 32747   HLchlt 32834   pmapcpmap 32980   +Pcpadd 33278   _|_PcpolN 33385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-riotaBAD 32443

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-undef 7024  df-preset 16160  df-poset 16178  df-plt 16191  df-lub 16207  df-glb 16208  df-join 16209  df-meet 16210  df-p0 16272  df-p1 16273  df-lat 16279  df-clat 16341  df-oposet 32660  df-ol 32662  df-oml 32663  df-covers 32750  df-ats 32751  df-atl 32782  df-cvlat 32806  df-hlat 32835  df-psubsp 32986  df-pmap 32987  df-padd 33279  df-polarityN 33386

This theorem is referenced by:  poldmj1N  33411