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Theorem paddunN 33537
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5892.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddun.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
paddun.o  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddunN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  =  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )

Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1014 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  HL )
2 paddun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 paddun.p . . . 4  |-  .+  =  ( +P `  K
)
42, 3paddssat 33424 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  A )
52, 3paddunssN 33418 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  ( S  .+  T
) )
6 paddun.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
72, 6polcon3N 33527 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A  /\  ( S  u.  T )  C_  ( S  .+  T
) )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
9 hlclat 32969 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1093ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  CLat )
11 unss 3620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  A  /\  T  C_  A )  <->  ( S  u.  T )  C_  A
)
1211biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  A  /\  T  C_  A )  -> 
( S  u.  T
)  C_  A )
13123adant1 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  A )
14 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1514, 2atssbase 32901 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( Base `  K )
1613, 15syl6ss 3456 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  ( Base `  K
) )
17 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
1814, 17clatlubcl 16407 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  u.  T )  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
1910, 16, 18syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
20 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
2114, 20pmapssbaN 33370 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )
221, 19, 21syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )
232, 6polssatN 33518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  C_  A )
24233adant3 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  A )
252, 6polssatN 33518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  S )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A
)
261, 24, 25syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A
)
272, 6polssatN 33518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  T )  C_  A )
28273adant2 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  T )  C_  A )
292, 6polssatN 33518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  T )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  C_  A
)
301, 28, 29syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  C_  A
)
311, 26, 303jca 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) 
C_  A ) )
322, 62polssN 33525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
33323adant3 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
342, 62polssN 33525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
35343adant2 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
3633, 35jca 539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) ) ) )
372, 3paddss12 33429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) 
C_  A )  -> 
( ( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  ->  ( S  .+  T )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  .+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) ) )
3831, 36, 37sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) 
.+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) )
3917, 2, 20, 62polvalN 33524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
40393adant3 1034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
4117, 2, 20, 62polvalN 33524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) )
42413adant2 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) )
4340, 42oveq12d 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  .+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  =  ( ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
4438, 43sseqtrd 3480 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
45 hllat 32974 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
46453ad2ant1 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  Lat )
47 simp2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  A )
4847, 15syl6ss 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
4914, 17clatlubcl 16407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5010, 48, 49syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
51 simp3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  A )
5251, 15syl6ss 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  ( Base `  K
) )
5314, 17clatlubcl 16407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  T )  e.  ( Base `  K
) )
5410, 52, 53syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  T )  e.  ( Base `  K
) )
55 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5614, 55, 20, 3pmapjoin 33462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  T )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) )  C_  (
( pmap `  K ) `  ( ( ( lub `  K ) `  S
) ( join `  K
) ( ( lub `  K ) `  T
) ) ) )
5746, 50, 54, 56syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) )  .+  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
5844, 57sstrd 3454 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
5914, 55, 17lubun 16418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  T  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T )
)  =  ( ( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) )
6010, 48, 52, 59syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( ( lub `  K ) `  S
) ( join `  K
) ( ( lub `  K ) `  T
) ) )
6160fveq2d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
6258, 61sseqtr4d 3481 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
63 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6414, 63, 17lubss 16416 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
)  /\  ( S  .+  T )  C_  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K ) `
 ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )
6510, 22, 62, 64syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )
664, 15syl6ss 3456 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( Base `  K )
)
6714, 17clatlubcl 16407 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  .+  T )  C_  ( Base `  K )
)  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K ) )
6810, 66, 67syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
6914, 17clatlubcl 16407 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
7010, 22, 69syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
7114, 63, 20pmaple 33371 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  <->  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) ) )
721, 68, 70, 71syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  <->  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) ) )
7365, 72mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) )
7417, 2, 20, 62polvalN 33524 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) ) ) )
751, 4, 74syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) )
7617, 2, 20, 62polvalN 33524 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  u.  T
)  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
771, 13, 76syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
7817, 2, 202pmaplubN 33536 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  u.  T
)  C_  A )  ->  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )
791, 13, 78syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
8077, 79eqtr4d 2499 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) ) ) )
8173, 75, 803sstr4d 3487 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) ) )
822, 62polcon4bN 33528 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A  /\  ( S  u.  T )  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  <->  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) ) )
831, 4, 13, 82syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  <->  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) ) )
8481, 83mpbid 215 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )
858, 84eqssd 3461 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  =  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    u. cun 3414    C_ wss 3416   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   lubclub 16236   joincjn 16238   Latclat 16340   CLatccla 16402   Atomscatm 32874   HLchlt 32961   pmapcpmap 33107   +Pcpadd 33405   _|_PcpolN 33512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-undef 7046  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-polarityN 33513
This theorem is referenced by:  poldmj1N  33538
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