Theorem paddssat 33450

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddssat	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
2		eqid 2471	. . 3 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
3		padd0.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
4		padd0.p	. . 3 |- .+ = ( +P ` K )
5	1, 2, 3, 4	paddval 33434	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) )
6		unss 3599	. . . . . 6 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) <-> ( X u. Y ) C_ A )
7	6	biimpi 199	. . . . 5 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
8		ssrab2 3500	. . . . 5 |- { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A
9	7, 8	jctir 547	. . . 4 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) )
10		unss 3599	. . . 4 |- ( ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) <-> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
11	9, 10	sylib 201	. . 3 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
12	11	3adant1 1048	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
13	5, 12	eqsstrd 3452	1 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760   u. cun 3388   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   lecple 15275   joincjn 16267   Atomscatm 32900   +Pcpadd 33431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-padd 33432

This theorem is referenced by:  paddasslem8  33463  paddasslem11  33466  paddasslem12  33467  paddasslem13  33468  paddasslem16  33471  paddasslem17  33472  paddass  33474  padd4N  33476  paddclN  33478  pmodl42N  33487  pclunN  33534  paddunN  33563  pmapocjN  33566  pclfinclN  33586  osumcllem1N  33592  osumcllem2N  33593  osumcllem9N  33600  osumcllem11N  33602  osumclN  33603  pexmidlem6N  33611  pexmidlem8N  33613  pl42lem3N  33617