Theorem paddssat 33379

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddssat	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
2		eqid 2451	. . 3 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
3		padd0.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
4		padd0.p	. . 3 |- .+ = ( +P ` K )
5	1, 2, 3, 4	paddval 33363	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) )
6		unss 3608	. . . . . 6 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) <-> ( X u. Y ) C_ A )
7	6	biimpi 198	. . . . 5 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
8		ssrab2 3514	. . . . 5 |- { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A
9	7, 8	jctir 541	. . . 4 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) )
10		unss 3608	. . . 4 |- ( ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) <-> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
11	9, 10	sylib 200	. . 3 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
12	11	3adant1 1026	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
13	5, 12	eqsstrd 3466	1 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741   u. cun 3402   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   lecple 15197   joincjn 16189   Atomscatm 32829   +Pcpadd 33360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-padd 33361

This theorem is referenced by:  paddasslem8  33392  paddasslem11  33395  paddasslem12  33396  paddasslem13  33397  paddasslem16  33400  paddasslem17  33401  paddass  33403  padd4N  33405  paddclN  33407  pmodl42N  33416  pclunN  33463  paddunN  33492  pmapocjN  33495  pclfinclN  33515  osumcllem1N  33521  osumcllem2N  33522  osumcllem9N  33529  osumcllem11N  33531  osumclN  33532  pexmidlem6N  33540  pexmidlem8N  33542  pl42lem3N  33546