Theorem paddssat 34487

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddssat	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2462	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
2		eqid 2462	. . 3 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
3		padd0.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
4		padd0.p	. . 3 |- .+ = ( +P ` K )
5	1, 2, 3, 4	paddval 34471	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) )
6		unss 3673	. . . . . 6 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) <-> ( X u. Y ) C_ A )
7	6	biimpi 194	. . . . 5 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
8		ssrab2 3580	. . . . 5 |- { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A
9	7, 8	jctir 538	. . . 4 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) )
10		unss 3673	. . . 4 |- ( ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) <-> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
11	9, 10	sylib 196	. . 3 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
12	11	3adant1 1009	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
13	5, 12	eqsstrd 3533	1 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   E.wrex 2810   {crab 2813   u. cun 3469   C_ wss 3471   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   lecple 14553   joincjn 15422   Atomscatm 33937   +Pcpadd 34468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-padd 34469

This theorem is referenced by:  paddasslem8  34500  paddasslem11  34503  paddasslem12  34504  paddasslem13  34505  paddasslem16  34508  paddasslem17  34509  paddass  34511  padd4N  34513  paddclN  34515  pmodl42N  34524  pclunN  34571  paddunN  34600  pmapocjN  34603  pclfinclN  34623  osumcllem1N  34629  osumcllem2N  34630  osumcllem9N  34637  osumcllem11N  34639  osumclN  34640  pexmidlem6N  34648  pexmidlem8N  34650  pl42lem3N  34654