Theorem paddssat 35935

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddssat	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
2		eqid 2454	. . 3 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
3		padd0.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
4		padd0.p	. . 3 |- .+ = ( +P ` K )
5	1, 2, 3, 4	paddval 35919	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) )
6		unss 3664	. . . . . 6 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) <-> ( X u. Y ) C_ A )
7	6	biimpi 194	. . . . 5 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
8		ssrab2 3571	. . . . 5 |- { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A
9	7, 8	jctir 536	. . . 4 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) )
10		unss 3664	. . . 4 |- ( ( ( X u. Y ) C_ A /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } C_ A ) <-> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
11	9, 10	sylib 196	. . 3 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
12	11	3adant1 1012	. 2 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) C_ A )
13	5, 12	eqsstrd 3523	1 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808   u. cun 3459   C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   lecple 14791   joincjn 15772   Atomscatm 35385   +Pcpadd 35916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-padd 35917

This theorem is referenced by:  paddasslem8  35948  paddasslem11  35951  paddasslem12  35952  paddasslem13  35953  paddasslem16  35956  paddasslem17  35957  paddass  35959  padd4N  35961  paddclN  35963  pmodl42N  35972  pclunN  36019  paddunN  36048  pmapocjN  36051  pclfinclN  36071  osumcllem1N  36077  osumcllem2N  36078  osumcllem9N  36085  osumcllem11N  36087  osumclN  36088  pexmidlem6N  36096  pexmidlem8N  36098  pl42lem3N  36102