Theorem paddidm 17302

Description: Projective subspace sum is idempotent. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68.

Hypotheses

Ref	Expression
paddidm.s	|- S = (PSubSp` K)
paddidm.p	|- P = (+P` K)

Assertion

Ref	Expression
paddidm	|- ((K e. B /\ X e. S) -> (XPX) = X)

Proof of Theorem paddidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . . 5 |- ((K e. B /\ X e. S) -> K e. B)
2		eqid 1884	. . . . . 6 |- (AtomsNEW` K) = (AtomsNEW` K)
3		paddidm.s	. . . . . 6 |- S = (PSubSp` K)
4	2, 3	psubssat 17234	. . . . 5 |- ((K e. B /\ X e. S) -> X C_ (AtomsNEW` K))
5		eqid 1884	. . . . . 6 |- (le` K) = (le` K)
6		eqid 1884	. . . . . 6 |- (join` K) = (join` K)
7		paddidm.p	. . . . . 6 |- P = (+P` K)
8	5, 6, 2, 7	elpadd 17260	. . . . 5 |- ((K e. B /\ X C_ (AtomsNEW` K) /\ X C_ (AtomsNEW` K)) -> (p e. (XPX) <-> ((p e. X \/ p e. X) \/ (p e. (AtomsNEW` K) /\ E.q e. X E.r e. X p(le` K)(q(join` K)r)))))
9	1, 4, 4, 8	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. B /\ X e. S) -> (p e. (XPX) <-> ((p e. X \/ p e. X) \/ (p e. (AtomsNEW` K) /\ E.q e. X E.r e. X p(le` K)(q(join` K)r)))))
10		pm1.2 265	. . . . . 6 |- ((p e. X \/ p e. X) -> p e. X)
11	10	a1i 8	. . . . 5 |- ((K e. B /\ X e. S) -> ((p e. X \/ p e. X) -> p e. X))
12	5, 6, 2, 3	psubspi 17228	. . . . . . 7 |- (((K e. B /\ X e. S /\ p e. (AtomsNEW` K)) /\ E.q e. X E.r e. X p(le` K)(q(join` K)r)) -> p e. X)
13	12	3exp1 1084	. . . . . 6 |- (K e. B -> (X e. S -> (p e. (AtomsNEW` K) -> (E.q e. X E.r e. X p(le` K)(q(join` K)r) -> p e. X))))
14	13	imp4b 392	. . . . 5 |- ((K e. B /\ X e. S) -> ((p e. (AtomsNEW` K) /\ E.q e. X E.r e. X p(le` K)(q(join` K)r)) -> p e. X))
15	11, 14	jaod 469	. . . 4 |- ((K e. B /\ X e. S) -> (((p e. X \/ p e. X) \/ (p e. (AtomsNEW` K) /\ E.q e. X E.r e. X p(le` K)(q(join` K)r))) -> p e. X))
16	9, 15	sylbid 220	. . 3 |- ((K e. B /\ X e. S) -> (p e. (XPX) -> p e. X))
17	16	ssrdv 2622	. 2 |- ((K e. B /\ X e. S) -> (XPX) C_ X)
18	2, 7	sspadd1 17276	. . 3 |- ((K e. B /\ X C_ (AtomsNEW` K) /\ X C_ (AtomsNEW` K)) -> X C_ (XPX))
19	1, 4, 4, 18	syl111anc 1100	. 2 |- ((K e. B /\ X e. S) -> X C_ (XPX))
20	17, 19	eqssd 2633	1 |- ((K e. B /\ X e. S) -> (XPX) = X)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  lecple 16759  joincjn 16766  AtomsNEWcatm 16981  PSubSpcpsubsp 17213  +Pcpadd 17256

This theorem is referenced by:  paddcl 17303  paddss 17306  pmodi 17309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-psubsp 17217  df-padd 17257

Copyright terms: Public domain