Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddclN Structured version   Unicode version

 Description: The projective sum of two subspaces is a subspace. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem paddclN
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3
2 eqid 2429 . . . . 5
3 paddidm.s . . . . 5
42, 3psubssat 33028 . . . 4
543adant3 1025 . . 3
62, 3psubssat 33028 . . . 4
763adant2 1024 . . 3
8 paddidm.p . . . 4
92, 8paddssat 33088 . . 3
101, 5, 7, 9syl3anc 1264 . 2
11 olc 385 . . . . 5
12 eqid 2429 . . . . . . . 8
13 eqid 2429 . . . . . . . 8
1412, 13, 2, 8elpadd 33073 . . . . . . 7
151, 10, 10, 14syl3anc 1264 . . . . . 6
162, 8padd4N 33114 . . . . . . . . 9
171, 5, 7, 5, 7, 16syl122anc 1273 . . . . . . . 8
183, 8paddidm 33115 . . . . . . . . . 10
19183adant3 1025 . . . . . . . . 9
203, 8paddidm 33115 . . . . . . . . . 10
21203adant2 1024 . . . . . . . . 9
2219, 21oveq12d 6323 . . . . . . . 8
2317, 22eqtrd 2470 . . . . . . 7
2423eleq2d 2499 . . . . . 6
2515, 24bitr3d 258 . . . . 5
2611, 25syl5ib 222 . . . 4
2726expd 437 . . 3
2827ralrimiv 2844 . 2
2912, 13, 2, 3ispsubsp2 33020 . . 3
30293ad2ant1 1026 . 2
3110, 28, 30mpbir2and 930 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783   wss 3442   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cple 15159  cjn 16140  catm 32538  chlt 32625  cpsubsp 32770  cpadd 33069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-psubsp 32777  df-padd 33070 This theorem is referenced by:  pmodl42N  33125  pclun2N  33173
 Copyright terms: Public domain W3C validator