Theorem paddasslem8 17288

Description: Lemma for paddass 17299.

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	|- L = (le` K)
paddasslem.j	|- J = (join` K)
paddasslem.a	|- A = (AtomsNEW` K)
paddasslem.p	|- P = (+P` K)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem8	|- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> p e. ((XPY)PZ))

Proof of Theorem paddasslem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 879	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> K e. HL)
2		hllat 17026	. . 3 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> K e. LatNEW)
4		simpl21 954	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> X C_ A)
5		simpl22 955	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> Y C_ A)
6		paddasslem.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
7		paddasslem.p	. . . 4 |- P = (+P` K)
8	6, 7	paddssat 17275	. . 3 |- ((K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A) -> (XPY) C_ A)
9	1, 4, 5, 8	syl111anc 1100	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> (XPY) C_ A)
10		simpl23 956	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> Z C_ A)
11		simpr11 960	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> x e. X)
12		simpr12 961	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> y e. Y)
13		simpl3r 932	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> s e. A)
14		simpr2 883	. . 3 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> sL(xJy))
15		paddasslem.l	. . . 4 |- L = (le` K)
16		paddasslem.j	. . . 4 |- J = (join` K)
17	15, 16, 6, 7	elpaddri 17263	. . 3 |- (((K e. LatNEW /\ X C_ A /\ Y C_ A) /\ (x e. X /\ y e. Y) /\ (s e. A /\ sL(xJy))) -> s e. (XPY))
18	3, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 17	syl322anc 1125	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> s e. (XPY))
19		simpr13 962	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> z e. Z)
20		simpl3l 931	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> p e. A)
21		simpr3 884	. 2 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> pL(sJz))
22	15, 16, 6, 7	elpaddri 17263	. 2 |- (((K e. LatNEW /\ (XPY) C_ A /\ Z C_ A) /\ (s e. (XPY) /\ z e. Z) /\ (p e. A /\ pL(sJz))) -> p e. ((XPY)PZ))
23	3, 9, 10, 18, 19, 20, 21, 22	syl322anc 1125	1 |- (((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A) /\ (p e. A /\ s e. A)) /\ ((x e. X /\ y e. Y /\ z e. Z) /\ sL(xJy) /\ pL(sJz))) -> p e. ((XPY)PZ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  lecple 16759  joincjn 16766  LatNEWclat 16834  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983  +Pcpadd 17256

This theorem is referenced by:  paddasslem9 17289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-lub 16799  df-join 16801  df-lat 16847  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017  df-padd 17257

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