Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem paddasslem4 33433
Description: Lemma for paddass 33448. Combine paddasslem1 33430, paddasslem2 33431, and paddasslem3 33432. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
paddasslem4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( s  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  s  .<_  ( p  .\/  z ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    .\/ , s    K, s    .<_ , s    s, p    s, r    x, s   
y, s    z, s
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, r, p)    .\/ ( x, y, z, r, p)    K( x, y, z, r, p)    .<_ ( x, y, z, r, p)

Proof of Theorem paddasslem4
StepHypRef Expression
1 simpl11 1089 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl21 1092 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  x  e.  A )
3 simpl13 1091 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  r  e.  A )
4 simpl22 1093 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  y  e.  A )
52, 3, 43jca 1194 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
x  e.  A  /\  r  e.  A  /\  y  e.  A )
)
6 simpl12 1090 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  A )
7 simpl23 1094 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  z  e.  A )
86, 7jca 539 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
p  e.  A  /\  z  e.  A )
)
91, 5, 83jca 1194 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  (
x  e.  A  /\  r  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( p  e.  A  /\  z  e.  A
) ) )
10 simpl32 1096 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  x  =/=  y )
11 simpl33 1097 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) )
12 paddasslem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 paddasslem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 paddasslem.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1512, 13, 14paddasslem1 33430 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( x  e.  A  /\  r  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  x  =/=  y )  /\  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  -.  x  .<_  ( r 
.\/  y ) )
161, 5, 10, 11, 15syl31anc 1279 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  -.  x  .<_  ( r  .\/  y ) )
17 simpl31 1095 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  =/=  z )
18 simprl 769 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( x  .\/  r
) )
19 simpl2 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)
20 simprr 771 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  r  .<_  ( y  .\/  z
) )
2112, 13, 14paddasslem2 33431 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  z  .<_  ( r 
.\/  y ) )
221, 3, 19, 11, 20, 21syl212anc 1286 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  z  .<_  ( r  .\/  y
) )
2318, 22jca 539 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  z  .<_  ( r  .\/  y
) ) )
2416, 17, 23jca31 541 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
( -.  x  .<_  ( r  .\/  y )  /\  p  =/=  z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  z  .<_  ( r  .\/  y ) ) ) )
2512, 13, 14paddasslem3 33432 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( x  e.  A  /\  r  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( p  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( -.  x  .<_  ( r  .\/  y )  /\  p  =/=  z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  z  .<_  ( r  .\/  y
) ) )  ->  E. s  e.  A  ( s  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z ) ) ) )
269, 24, 25sylc 62 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( s  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  s  .<_  ( p  .\/  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   E.wrex 2750   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   lecple 15246   joincjn 16238   Atomscatm 32874   HLchlt 32961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962
This theorem is referenced by:  paddasslem10  33439
  Copyright terms: Public domain W3C validator