Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem17 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem paddasslem17 33401
Description: Lemma for paddass 33403. The case when at least one sum argument is empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddass.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem17
StepHypRef Expression
1 ianor 491 . . . 4  |-  ( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <->  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  \/  -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )
2 ianor 491 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( -.  X  =/=  (/)  \/  -.  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) ) )
3 nne 2628 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =/=  (/)  <->  X  =  (/) )
4 nne 2628 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  .+  Z
)  =/=  (/)  <->  ( Y  .+  Z )  =  (/) )
53, 4orbi12i 524 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  =/=  (/)  \/  -.  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( X  =  (/)  \/  ( Y 
.+  Z )  =  (/) ) )
62, 5bitri 253 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) ) )
7 ianor 491 . . . . . 6  |-  ( -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) )  <->  ( -.  Y  =/=  (/)  \/  -.  Z  =/=  (/) ) )
8 nne 2628 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  =/=  (/)  <->  Y  =  (/) )
9 nne 2628 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  =/=  (/)  <->  Z  =  (/) )
108, 9orbi12i 524 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Y  =/=  (/)  \/  -.  Z  =/=  (/) )  <->  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )
117, 10bitri 253 . . . . 5  |-  ( -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) )  <->  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )
126, 11orbi12i 524 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  \/ 
-.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) ) )
131, 12bitri 253 . . 3  |-  ( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <->  ( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) ) )
14 paddass.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 paddass.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +P `  K
)
1614, 15paddssat 33379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( Y  .+  Z )  C_  A )
17163adant3r1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  .+  Z
)  C_  A )
1814, 15padd02 33377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  Z ) 
C_  A )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  Z
) )
1917, 18syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  Z
) )
2014, 15padd02 33377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( (/)  .+  Y )  =  Y )
21203ad2antr2 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  Y )  =  Y )
2221oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) )
2319, 22eqtr4d 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )
)
24 oveq1 6297 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( (/)  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
25 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X 
.+  Y )  =  ( (/)  .+  Y ) )
2625oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )
)
2724, 26eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( (/)  .+  Y )  .+  Z
) ) )
2823, 27syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
29 eqimss 3484 . . . . . 6  |-  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
3028, 29syl6 34 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
3114, 15padd01 33376 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
32313ad2antr1 1173 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
3314, 15sspadd1 33380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )
34333adant3r3 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Y ) )
35 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  K  e.  HL )
3614, 15paddssat 33379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
37363adant3r3 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
38 simpr3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  Z  C_  A )
3914, 15sspadd1 33380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
4035, 37, 38, 39syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
4134, 40sstrd 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  X  C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
4232, 41eqsstrd 3466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  (/) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
43 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  (/) ) )
4443sseq1d 3459 . . . . . 6  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  (/) )  C_  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
4542, 44syl5ibrcom 226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
4630, 45jaod 382 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
4714, 15padd02 33377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  C_  A )  -> 
( (/)  .+  Z )  =  Z )
48473ad2antr3 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  Z )  =  Z )
4948oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( X  .+  Z
) )
5032oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  .+  (/) )  .+  Z )  =  ( X  .+  Z ) )
5149, 50eqtr4d 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) )
52 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
.+  Z )  =  ( (/)  .+  Z ) )
5352oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  ( (/)  .+  Z ) ) )
54 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( X 
.+  Y )  =  ( X  .+  (/) ) )
5554oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) )
5653, 55eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) ) )
5751, 56syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
5814, 15padd01 33376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  .+  (/) )  =  Y )
59583ad2antr2 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  .+  (/) )  =  Y )
6059oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( X  .+  Y
) )
6114, 15padd01 33376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (/) )  =  ( X  .+  Y
) )
6237, 61syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (/) )  =  ( X  .+  Y
) )
6360, 62eqtr4d 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (/) ) )
64 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( Y 
.+  Z )  =  ( Y  .+  (/) ) )
6564oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  (/) ) ) )
66 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (/) ) )
6765, 66eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  (/) ) ) )
6863, 67syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Z  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
6957, 68jaod 382 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
7069, 29syl6 34 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
7146, 70jaod 382 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
7213, 71syl5bi 221 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
73723impia 1205 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Atomscatm 32829   HLchlt 32916   +Pcpadd 33360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-padd 33361
This theorem is referenced by:  paddasslem18  33402
  Copyright terms: Public domain W3C validator