Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem17 Structured version   Unicode version

Theorem paddasslem17 35703
Description: Lemma for paddass 35705. The case when at least one sum argument is empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddass.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem17
StepHypRef Expression
1 ianor 488 . . . 4  |-  ( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <->  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  \/  -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )
2 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( -.  X  =/=  (/)  \/  -.  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) ) )
3 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =/=  (/)  <->  X  =  (/) )
4 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  .+  Z
)  =/=  (/)  <->  ( Y  .+  Z )  =  (/) )
53, 4orbi12i 521 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  =/=  (/)  \/  -.  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( X  =  (/)  \/  ( Y 
.+  Z )  =  (/) ) )
62, 5bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) ) )
7 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) )  <->  ( -.  Y  =/=  (/)  \/  -.  Z  =/=  (/) ) )
8 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  =/=  (/)  <->  Y  =  (/) )
9 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  =/=  (/)  <->  Z  =  (/) )
108, 9orbi12i 521 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Y  =/=  (/)  \/  -.  Z  =/=  (/) )  <->  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )
117, 10bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) )  <->  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )
126, 11orbi12i 521 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  \/ 
-.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) ) )
131, 12bitri 249 . . 3  |-  ( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <->  ( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) ) )
14 paddass.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 paddass.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +P `  K
)
1614, 15paddssat 35681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( Y  .+  Z )  C_  A )
17163adant3r1 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  .+  Z
)  C_  A )
1814, 15padd02 35679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  Z ) 
C_  A )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  Z
) )
1917, 18syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  Z
) )
2014, 15padd02 35679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( (/)  .+  Y )  =  Y )
21203ad2antr2 1162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  Y )  =  Y )
2221oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) )
2319, 22eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )
)
24 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( (/)  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
25 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X 
.+  Y )  =  ( (/)  .+  Y ) )
2625oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )
)
2724, 26eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( (/)  .+  Y )  .+  Z
) ) )
2823, 27syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
29 eqimss 3551 . . . . . 6  |-  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
3028, 29syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
3114, 15padd01 35678 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
32313ad2antr1 1161 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
3314, 15sspadd1 35682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )
34333adant3r3 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Y ) )
35 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  K  e.  HL )
3614, 15paddssat 35681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
37363adant3r3 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
38 simpr3 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  Z  C_  A )
3914, 15sspadd1 35682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
4035, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
4134, 40sstrd 3509 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  X  C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
4232, 41eqsstrd 3533 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  (/) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
43 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  (/) ) )
4443sseq1d 3526 . . . . . 6  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  (/) )  C_  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
4542, 44syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
4630, 45jaod 380 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
4714, 15padd02 35679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  C_  A )  -> 
( (/)  .+  Z )  =  Z )
48473ad2antr3 1163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  Z )  =  Z )
4948oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( X  .+  Z
) )
5032oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  .+  (/) )  .+  Z )  =  ( X  .+  Z ) )
5149, 50eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) )
52 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
.+  Z )  =  ( (/)  .+  Z ) )
5352oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  ( (/)  .+  Z ) ) )
54 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( X 
.+  Y )  =  ( X  .+  (/) ) )
5554oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) )
5653, 55eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) ) )
5751, 56syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
5814, 15padd01 35678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  .+  (/) )  =  Y )
59583ad2antr2 1162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  .+  (/) )  =  Y )
6059oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( X  .+  Y
) )
6114, 15padd01 35678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (/) )  =  ( X  .+  Y
) )
6237, 61syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (/) )  =  ( X  .+  Y
) )
6360, 62eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (/) ) )
64 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( Y 
.+  Z )  =  ( Y  .+  (/) ) )
6564oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  (/) ) ) )
66 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (/) ) )
6765, 66eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  (/) ) ) )
6863, 67syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Z  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
6957, 68jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
7069, 29syl6 33 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
7146, 70jaod 380 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
7213, 71syl5bi 217 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
73723impia 1193 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Atomscatm 35131   HLchlt 35218   +Pcpadd 35662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-padd 35663
This theorem is referenced by:  paddasslem18  35704
  Copyright terms: Public domain W3C validator