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Theorem paddasslem14 33323
Description: Lemma for paddass 33328. Remove  p  =/=  z,  x  =/=  y, and  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) from antecedent of paddasslem10 33319, using paddasslem11 33320, paddasslem12 33321, and paddasslem13 33322. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +P `  K
)
51, 2, 3, 4paddasslem11 33320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) )
653ad2antr3 1173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
76ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
87adantrd 470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
98a1d 27 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
109exp31 608 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
11 3simpb 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( K  e.  HL  /\  x  =  y ) )
12113anim1i 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A ) ) )
13 3simpc 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )
1413anim1i 571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )
151, 2, 3, 4paddasslem12 33321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
1612, 14, 15syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
17163exp1 1222 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
18173expia 1208 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =  y  ->  ( ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  (
( p  e.  A  /\  r  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) ) )
19 3simpa 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z ) )
20193anim1i 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
) )
21 3simpa 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )
22 3simpa 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) )
2321, 22anim12i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )
241, 2, 3, 4paddasslem13 33322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2520, 23, 24syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
2625expr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
27263expd 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
281, 2, 3, 4paddasslem10 33319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2928expr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
30293expd 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  ->  ( p  .<_  ( x  .\/  r )  ->  ( r  .<_  ( y  .\/  z
)  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) )
3127, 30pm2.61d 162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
3231impd 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
3332expimpd 607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
34333exp 1205 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
35343expia 1208 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =/=  y  ->  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3618, 35pm2.61dne 2742 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
3736ex 436 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =/=  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3810, 37pm2.61dne 2742 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
39383imp1 1219 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    C_ wss 3437   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   lecple 15190   joincjn 16182   Atomscatm 32754   HLchlt 32841   +Pcpadd 33285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-lat 16285  df-clat 16347  df-oposet 32667  df-ol 32669  df-oml 32670  df-covers 32757  df-ats 32758  df-atl 32789  df-cvlat 32813  df-hlat 32842  df-padd 33286
This theorem is referenced by:  paddasslem15  33324
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