Theorem padd12 17300

Description: Commutative/associative law for projective subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
paddass.a	|- A = (AtomsNEW` K)
paddass.p	|- P = (+P` K)

Assertion

Ref	Expression
padd12	|- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> (XP(YPZ)) = (YP(XPZ)))

Proof of Theorem padd12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 17026	. . . . 5 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
2	1	adantr 425	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> K e. LatNEW)
3		simpr1 882	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> X C_ A)
4		simpr2 883	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> Y C_ A)
5		paddass.a	. . . . 5 |- A = (AtomsNEW` K)
6		paddass.p	. . . . 5 |- P = (+P` K)
7	5, 6	paddcom 17274	. . . 4 |- ((K e. LatNEW /\ X C_ A /\ Y C_ A) -> (XPY) = (YPX))
8	2, 3, 4, 7	syl111anc 1100	. . 3 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> (XPY) = (YPX))
9	8	opreq1d 4897	. 2 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> ((XPY)PZ) = ((YPX)PZ))
10	5, 6	paddass 17299	. 2 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> ((XPY)PZ) = (XP(YPZ)))
11		simpl 346	. . 3 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> K e. HL)
12		simpr3 884	. . 3 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> Z C_ A)
13	5, 6	paddass 17299	. . 3 |- ((K e. HL /\ (Y C_ A /\ X C_ A /\ Z C_ A)) -> ((YPX)PZ) = (YP(XPZ)))
14	11, 4, 3, 12, 13	syl13anc 1102	. 2 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> ((YPX)PZ) = (YP(XPZ)))
15	9, 10, 14	3eqtr3d 1934	1 |- ((K e. HL /\ (X C_ A /\ Y C_ A /\ Z C_ A)) -> (XP(YPZ)) = (YP(XPZ)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  LatNEWclat 16834  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983  +Pcpadd 17256

This theorem is referenced by:  padd4 17301  pmodl42 17312

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017  df-padd 17257

Copyright terms: Public domain