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Theorem padct 27992
Description: Index a countable set with integers and pad with  Z. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
padct  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A )  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, V    f, Z

Proof of Theorem padct
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 7583 . 2  |-  ( A  ~<_  om  <->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
2 isfinite2 7812 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
3 isfinite4 12480 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( 1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
)
42, 3sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~<  om  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
)
54adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  ->  (
1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
)
6 bren 7563 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  ~~  A 
<->  E. g  g : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )
75, 6sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  ->  E. g 
g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
873adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A )  ->  E. g 
g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
9 nfv 1728 . . . . . . 7  |-  F/ g ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)
10 nfv 1728 . . . . . . 7  |-  F/ g E. f ( f : NN --> ( A  u.  { Z }
)  /\  A  C_  ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A )
)
11 f1of 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1211adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
13 fconstmpt 4867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  X. 
{ Z } )  =  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )
1413eqcomi 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z )  =  ( ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  X.  { Z } )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  Z  e.  V )
16 fconst2g 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  V  ->  (
( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) : ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) --> { Z }  <->  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  =  ( ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  X. 
{ Z } ) ) )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  (
( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) : ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) --> { Z }  <->  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  =  ( ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  X. 
{ Z } ) ) )
1814, 17mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) : ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) --> { Z } )
19 disjdif 3844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  i^i  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) ) )  =  (/)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  (
( 1 ... ( # `
 A ) )  i^i  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  =  (/) )
21 fun 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A  /\  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) : ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) --> { Z } )  /\  ( ( 1 ... ( # `  A
) )  i^i  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  =  (/) )  ->  (
g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) ) : ( ( 1 ... ( # `  A
) )  u.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) ) --> ( A  u.  { Z } ) )
2212, 18, 20, 21syl21anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) ) : ( ( 1 ... ( # `  A
) )  u.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) ) --> ( A  u.  { Z } ) )
23 fz1ssnn 11770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  NN
24 undif 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  C_  NN 
<->  ( ( 1 ... ( # `  A
) )  u.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  =  NN )
2523, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  u.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) ) )  =  NN
2625feq2i 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) ) : ( ( 1 ... ( # `  A
) )  u.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) ) --> ( A  u.  { Z } )  <->  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) : NN --> ( A  u.  { Z } ) )
2722, 26sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) ) : NN --> ( A  u.  { Z }
) )
28273adantl3 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) : NN --> ( A  u.  { Z } ) )
29 ssid 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  A
30 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
31 f1ofo 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  g :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A )
32 forn 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -onto-> A  ->  ran  g  =  A
)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  ran  g  =  A )
3429, 33syl5sseqr 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
ran  g )
3534orcd 390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( A  C_  ran  g  \/  A  C_  ran  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) ) )
36 ssun 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  ran  g  \/  A  C_  ran  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) )  ->  A  C_  ( ran  g  u.  ran  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  ( ran  g  u. 
ran  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) )
38 rnun 5232 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) )  =  ( ran  g  u.  ran  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )
3937, 38syl6sseqr 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  /\  g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_ 
ran  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) )
40393adantl3 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  ran  ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) )
41 dff1o3 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  <->  ( g : ( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A  /\  Fun  `' g ) )
4241simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  Fun  `' g )
4342adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  Fun  `' g )
44 cnvun 5229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) )  =  ( `' g  u.  `' ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) )
4544reseq1i 5090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A )  =  ( ( `' g  u.  `' ( x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A )
46 resundir 5108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' g  u.  `' ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A )  =  ( ( `' g  |`  A )  u.  ( `' ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z )  |`  A ) )
4745, 46eqtri 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A )  =  ( ( `' g  |`  A )  u.  ( `' ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z )  |`  A ) )
48 dff1o4 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  <->  ( g  Fn  ( 1 ... ( # `
 A ) )  /\  `' g  Fn  A ) )
4948simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  `' g  Fn  A )
50 fnresdm 5671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' g  Fn  A  -> 
( `' g  |`  A )  =  `' g )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( `' g  |`  A )  =  `' g )
5251adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' g  |`  A )  =  `' g )
53 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  -.  Z  e.  A )
5414cnveqi 4998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' ( x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  =  `' ( ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  X. 
{ Z } )
55 cnvxp 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' ( ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  X. 
{ Z } )  =  ( { Z }  X.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )
5654, 55eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  `' ( x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  =  ( { Z }  X.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
5756reseq1i 5090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  |`  A )  =  ( ( { Z }  X.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )  |`  A )
58 incom 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  { Z }
)  =  ( { Z }  i^i  A
)
59 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  i^i  { Z } )  =  (/)  <->  -.  Z  e.  A )
6059biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  Z  e.  A  -> 
( A  i^i  { Z } )  =  (/) )
6158, 60syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  Z  e.  A  -> 
( { Z }  i^i  A )  =  (/) )
62 xpdisjres 27891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { Z }  i^i  A )  =  (/)  ->  (
( { Z }  X.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) ) )  |`  A )  =  (/) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  Z  e.  A  -> 
( ( { Z }  X.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  |`  A )  =  (/) )
6457, 63syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  Z  e.  A  -> 
( `' ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z )  |`  A )  =  (/) )
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  |`  A )  =  (/) )
6652, 65uneq12d 3598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( ( `' g  |`  A )  u.  ( `' ( x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  |`  A )
)  =  ( `' g  u.  (/) ) )
67 un0 3764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' g  u.  (/) )  =  `' g
6866, 67syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( ( `' g  |`  A )  u.  ( `' ( x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z )  |`  A )
)  =  `' g )
6947, 68syl5eq 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A )  =  `' g )
7069funeqd 5590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( Fun  ( `' ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A )  <->  Fun  `' g ) )
7143, 70mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  Fun  ( `' ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A ) )
72 vex 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
73 nnex 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
74 difexg 4542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  e. 
_V )
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  e. 
_V
7675mptex 6124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z )  e. 
_V
7772, 76unex 6580 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  e.  _V
78 feq1 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  (
f : NN --> ( A  u.  { Z }
)  <->  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) : NN --> ( A  u.  { Z } ) ) )
79 rneq 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  ran  f  =  ran  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) )
8079sseq2d 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  ( A  C_  ran  f  <->  A  C_  ran  ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) ) )
81 cnveq 4997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  `' f  =  `' (
g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) ) )
82 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  A  =  A )
8381, 82reseq12d 5095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  ( `' f  |`  A )  =  ( `' ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( # `
 A ) ) )  |->  Z ) )  |`  A ) )
8483funeqd 5590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  ( Fun  ( `' f  |`  A )  <->  Fun  ( `' ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A ) ) )
8578, 80, 843anbi123d 1301 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  ->  (
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) )  <->  ( ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  (
1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  /\  Fun  ( `' ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A ) ) ) )
8677, 85spcev 3151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  u.  (
x  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) ) : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  /\  Fun  ( `' ( g  u.  ( x  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  |->  Z ) )  |`  A ) )  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
8728, 40, 71, 86syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  /\  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
8887ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A )  ->  (
g : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) ) )
899, 10, 88exlimd 1942 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A )  ->  ( E. g  g :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  E. f ( f : NN --> ( A  u.  { Z }
)  /\  A  C_  ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A )
) ) )
908, 89mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A )  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
91903expia 1199 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  om  /\  Z  e.  V )  ->  ( -.  Z  e.  A  ->  E. f ( f : NN --> ( A  u.  { Z }
)  /\  A  C_  ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A )
) ) )
92 nnenom 12131 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
93 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  A  ~~  om )
9493ensymd 7604 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  om  ~~  A )
95 entr 7605 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  A )  ->  NN  ~~  A )
9692, 94, 95sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  NN  ~~  A )
97 bren 7563 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> A )
9896, 97sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  E. f  f : NN -1-1-onto-> A )
99 nfv 1728 . . . . . . 7  |-  F/ f ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )
100 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  f : NN
-1-1-onto-> A )
101 f1of 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN
--> A )
102 ssun1 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  ( A  u.  { Z } )
103 fss 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> A  /\  A  C_  ( A  u.  { Z } ) )  ->  f : NN --> ( A  u.  { Z } ) )
104102, 103mpan2 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN --> A  -> 
f : NN --> ( A  u.  { Z }
) )
105100, 101, 1043syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  f : NN
--> ( A  u.  { Z } ) )
106 f1ofo 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  f : NN -onto-> A )
107 forn 5781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
108100, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  ran  f  =  A )
10929, 108syl5sseqr 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  A  C_  ran  f )
110 f1ocnv 5811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> NN )
111 f1of1 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : A -1-1-onto-> NN  ->  `' f : A -1-1-> NN )
112100, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  `' f : A -1-1-> NN )
113 f1ores 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' f : A -1-1-> NN 
/\  A  C_  A
)  ->  ( `' f  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' f " A ) )
11429, 113mpan2 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f : A -1-1-> NN  ->  ( `' f  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' f " A
) )
115 f1ofun 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' f " A )  ->  Fun  ( `' f  |`  A ) )
116112, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  Fun  ( `' f  |`  A )
)
117105, 109, 1163jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  /\  f : NN -1-1-onto-> A
)  ->  ( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_  ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
118117ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  ( f : NN -1-1-onto-> A  ->  ( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) ) )
11999, 118eximd 1906 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  ( E. f  f : NN -1-1-onto-> A  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) ) )
12098, 119mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  E. f ( f : NN --> ( A  u.  { Z }
)  /\  A  C_  ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A )
) )
121120a1d 25 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  om  /\  Z  e.  V )  ->  ( -.  Z  e.  A  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) ) )
12291, 121jaoian 785 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om )  /\  Z  e.  V )  ->  ( -.  Z  e.  A  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) ) )
1231223impia 1194 . 2  |-  ( ( ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om )  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A
)  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
1241, 123syl3an1b 1266 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  Z  e.  V  /\  -.  Z  e.  A )  ->  E. f
( f : NN --> ( A  u.  { Z } )  /\  A  C_ 
ran  f  /\  Fun  ( `' f  |`  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   `'ccnv 4822   ran crn 4824    |` cres 4825   "cima 4826   Fun wfun 5563    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   omcom 6683    ~~ cen 7551    ~<_ cdom 7552    ~< csdm 7553   Fincfn 7554   1c1 9523   NNcn 10576   ...cfz 11726   #chash 12452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453
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