Theorem p0le 16845

Description: Poset zero (if defined) is less than any element.

Hypotheses

Ref	Expression
p0le.b	|- B = (base` K)
p0le.l	|- L = (le` K)
p0le.z	|- Z = (0.` K)

Assertion

Ref	Expression
p0le	|- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> ZLX)

Proof of Theorem p0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0le.b	. . . 4 |- B = (base` K)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (glb` K) = (glb` K)
3		p0le.z	. . . 4 |- Z = (0.` K)
4	1, 2, 3	p0val 16843	. . 3 |- (K e. PosetNEW -> Z = ((glb` K)` B))
5	4	3ad2ant1 897	. 2 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> Z = ((glb` K)` B))
6		simp1 876	. . 3 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> K e. PosetNEW)
7		ssid 2634	. . . 4 |- B C_ B
8	7	a1i 8	. . 3 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> B C_ B)
9	4	adantr 425	. . . . 5 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B) -> Z = ((glb` K)` B))
10		simpr 350	. . . . 5 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B) -> Z e. B)
11	9, 10	eqeltrrd 1972	. . . 4 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B) -> ((glb` K)` B) e. B)
12	11	3adant3 896	. . 3 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> ((glb` K)` B) e. B)
13		simp3 878	. . 3 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> X e. B)
14		p0le.l	. . . 4 |- L = (le` K)
15	1, 14, 2	glble 16813	. . 3 |- (((K e. PosetNEW /\ B C_ B) /\ (((glb` K)` B) e. B /\ X e. B)) -> ((glb` K)` B)LX)
16	6, 8, 12, 13, 15	syl22anc 1101	. 2 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> ((glb` K)` B)LX)
17	5, 16	eqbrtrd 3357	1 |- ((K e. PosetNEW /\ Z e. B /\ X e. B) -> ZLX)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  glbcglb 16765  0.cp0 16832

This theorem is referenced by:  op0le 16916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-pge 16792  df-glb 16800  df-p0 16841

Copyright terms: Public domain