MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyon1cl Structured version   Unicode version

Theorem oyon1cl 15742
Description: The opposite Yoneda embedding at an object of  C is a functor from  C to Set, also known as the covariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oyoncl.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oyoncl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oyoncl.s  |-  S  =  ( SetCat `  U )
oyoncl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
oyoncl.h  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
oyon1cl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oyon1cl.p  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
oyon1cl  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( C  Func  S
) )

Proof of Theorem oyon1cl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 oyon1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 15209 . . 3  |-  B  =  ( Base `  O
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( C FuncCat  S )  =  ( C FuncCat  S )
54fucbas 15451 . . 3  |-  ( C 
Func  S )  =  (
Base `  ( C FuncCat  S ) )
6 relfunc 15353 . . . 4  |-  Rel  ( O  Func  ( C FuncCat  S
) )
7 oyoncl.y . . . . 5  |-  Y  =  (Yon `  O )
8 oyoncl.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 oyoncl.s . . . . 5  |-  S  =  ( SetCat `  U )
10 oyoncl.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 oyoncl.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
121, 7, 8, 9, 10, 11, 4oyoncl 15741 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( O 
Func  ( C FuncCat  S
) ) )
13 1st2ndbr 6822 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( O  Func  ( C FuncCat  S ) )  /\  Y  e.  ( O  Func  ( C FuncCat  S )
) )  ->  ( 1st `  Y ) ( O  Func  ( C FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
146, 12, 13sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) ( O  Func  ( C FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
153, 5, 14funcf1 15357 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) : B --> ( C 
Func  S ) )
16 oyon1cl.p . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1715, 16ffvelrnd 6008 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( C  Func  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ran crn 4989   Rel wrel 4993   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   Basecbs 14719   Catccat 15156   Hom f chomf 15158  oppCatcoppc 15202    Func cfunc 15345   FuncCat cfuc 15433   SetCatcsetc 15556  Yoncyon 15720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-hom 14811  df-cco 14812  df-cat 15160  df-cid 15161  df-homf 15162  df-comf 15163  df-oppc 15203  df-func 15349  df-nat 15434  df-fuc 15435  df-setc 15557  df-xpc 15643  df-curf 15685  df-hof 15721  df-yon 15722
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator