MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyon1cl Structured version   Unicode version

Theorem oyon1cl 15394
Description: The opposite Yoneda embedding at an object of  C is a functor from  C to Set, also known as the covariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oyoncl.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oyoncl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oyoncl.s  |-  S  =  ( SetCat `  U )
oyoncl.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
oyoncl.h  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
oyon1cl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oyon1cl.p  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
oyon1cl  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( C  Func  S
) )

Proof of Theorem oyon1cl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 oyon1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14970 . . 3  |-  B  =  ( Base `  O
)
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( C FuncCat  S )  =  ( C FuncCat  S )
54fucbas 15183 . . 3  |-  ( C 
Func  S )  =  (
Base `  ( C FuncCat  S ) )
6 relfunc 15085 . . . 4  |-  Rel  ( O  Func  ( C FuncCat  S
) )
7 oyoncl.y . . . . 5  |-  Y  =  (Yon `  O )
8 oyoncl.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 oyoncl.s . . . . 5  |-  S  =  ( SetCat `  U )
10 oyoncl.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 oyoncl.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  U )
121, 7, 8, 9, 10, 11, 4oyoncl 15393 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( O 
Func  ( C FuncCat  S
) ) )
13 1st2ndbr 6830 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( O  Func  ( C FuncCat  S ) )  /\  Y  e.  ( O  Func  ( C FuncCat  S )
) )  ->  ( 1st `  Y ) ( O  Func  ( C FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
146, 12, 13sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) ( O  Func  ( C FuncCat  S ) ) ( 2nd `  Y ) )
153, 5, 14funcf1 15089 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st `  Y
) : B --> ( C 
Func  S ) )
16 oyon1cl.p . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1715, 16ffvelrnd 6020 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  Y
) `  X )  e.  ( C  Func  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ran crn 5000   Rel wrel 5004   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Basecbs 14486   Catccat 14915   Hom f chomf 14917  oppCatcoppc 14963    Func cfunc 15077   FuncCat cfuc 15165   SetCatcsetc 15256  Yoncyon 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-hom 14575  df-cco 14576  df-cat 14919  df-cid 14920  df-homf 14921  df-comf 14922  df-oppc 14964  df-func 15081  df-nat 15166  df-fuc 15167  df-setc 15257  df-xpc 15295  df-curf 15337  df-hof 15373  df-yon 15374
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator