MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovresd Structured version   Unicode version

Theorem ovresd 6246
Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovresd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
ovresd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovresd  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd
StepHypRef Expression
1 ovresd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 ovresd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3 ovres 6245 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    X. cxp 4853    |` cres 4857  (class class class)co 6106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pr 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-xp 4861  df-res 4867  df-iota 5396  df-fv 5441  df-ov 6109
This theorem is referenced by:  sscres  14751  fullsubc  14775  fullresc  14776  funcres2c  14826  psmetres2  19905  xmetres2  19951  prdsdsf  19957  xpsdsval  19971  xmssym  20055  xmstri2  20056  mstri2  20057  xmstri  20058  mstri  20059  xmstri3  20060  mstri3  20061  msrtri  20062  tmsxpsval  20128  ngptgp  20237  nlmvscn  20283  nrginvrcn  20287  nghmcn  20339  cnmpt1ds  20434  cnmpt2ds  20435  ipcn  20773  caussi  20823  causs  20824  minveclem2  20928  minveclem3b  20930  minveclem3  20931  minveclem4  20934  minveclem6  20936  ftc1lem6  21528  ulmdvlem1  21880  abelth  21921  cxpcn3  22201  rlimcnp  22374  hhssnv  24680  qqhcn  26435  qqhucn  26436  ftc1cnnc  28485  ismtyres  28726  isdrngo2  28783
  Copyright terms: Public domain W3C validator