MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovresd Unicode version

Theorem ovresd 6173
Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovresd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
ovresd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovresd  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd
StepHypRef Expression
1 ovresd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 ovresd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3 ovres 6172 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    X. cxp 4835    |` cres 4839  (class class class)co 6040
This theorem is referenced by:  sscres  13978  fullsubc  14002  fullresc  14003  funcres2c  14053  psmetres2  18298  xmetres2  18344  prdsdsf  18350  xpsdsval  18364  xmssym  18448  xmstri2  18449  mstri2  18450  xmstri  18451  mstri  18452  xmstri3  18453  mstri3  18454  msrtri  18455  tmsxpsval  18521  ngptgp  18630  nlmvscn  18676  nrginvrcn  18680  nghmcn  18732  cnmpt1ds  18826  cnmpt2ds  18827  ipcn  19153  caussi  19203  causs  19204  minveclem2  19280  minveclem3b  19282  minveclem3  19283  minveclem4  19286  minveclem6  19288  ftc1lem6  19878  ulmdvlem1  20269  abelth  20310  cxpcn3  20585  rlimcnp  20757  hhssnv  22717  qqhcn  24328  qqhucn  24329  ftc1cnnc  26178  ismtyres  26407  isdrngo2  26464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-res 4849  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043
  Copyright terms: Public domain W3C validator