MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Unicode version

Theorem ovres 6172
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4869 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5704 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 6043 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 6043 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2461 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777    X. cxp 4835    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040
This theorem is referenced by:  ovresd  6173  oprssov  6174  ofmresval  6303  cantnfval2  7580  mulnzcnopr  9624  prdsdsval3  13662  frmdplusg  14754  frmdadd  14755  gaid  15031  gass  15033  gasubg  15034  mplsubrglem  16457  tsmsxplem1  18135  tsmsxplem2  18136  xmetres2  18344  ressprdsds  18354  blres  18414  xmetresbl  18420  mscl  18444  xmscl  18445  xmsge0  18446  xmseq0  18447  nmfval2  18591  nmval2  18592  isngp3  18598  ngpds  18603  xrsdsre  18794  divcn  18851  cncfmet  18891  cfilresi  19201  cfilres  19202  dvdsmulf1o  20932  subgoov  21846  issubgoi  21851  ablomul  21896  mulid  21897  ghgrplem2  21908  sspgval  22181  sspsval  22183  sspmlem  22184  hhssabloi  22715  hhssnv  22717  hhssmetdval  22731  raddcn  24268  xrge0pluscn  24279  cvmlift2lem9  24951  equivbnd2  26391  ismtyres  26407  iccbnd  26439  exidreslem  26442  divrngcl  26463  isdrngo2  26464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-res 4849  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043
  Copyright terms: Public domain W3C validator