Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval4lem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ovolval4lem2 38590
 Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals. Similar to ovolval3 38587, but here is may represent unordered interval bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval4lem2.a
ovolval4lem2.m Σ^
ovolval4lem2.g
Assertion
Ref Expression
ovolval4lem2 inf
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,,)

Proof of Theorem ovolval4lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolval4lem2.a . 2
2 ovolval4lem2.m . . 3 Σ^
3 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15
54adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
6 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15
87adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
95, 8eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13
10 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
13 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1413ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1917, 18sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
2112, 20eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13
229, 21pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . 12
23 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
2524, 16ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . 13
26 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . 13
2716, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
2822, 27elind 3609 . . . . . . . . . . 11
29 ovolval4lem2.g . . . . . . . . . . 11
3028, 29fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
31 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . 14
3231, 31xpex 6614 . . . . . . . . . . . . 13
3332inex2 4538 . . . . . . . . . . . 12
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11
35 nnex 10637 . . . . . . . . . . . 12
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3734, 36elmapd 7504 . . . . . . . . . 10
3830, 37mpbird 240 . . . . . . . . 9
3938adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^
40 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
41 rexpssxrxp 9703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
4313, 42fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . 14
44 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4644fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 46breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . 14
4943, 29, 48ovolval4lem1 38589 . . . . . . . . . . . . 13
5049simpld 466 . . . . . . . . . . . 12
5150adantr 472 . . . . . . . . . . 11
5240, 51sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10
5352adantrr 731 . . . . . . . . 9 Σ^
54 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
5549simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14
56 coass 5361 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
58 coass 5361 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
6055, 57, 593eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13
6160fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12 Σ^ Σ^
6261adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^ Σ^
6354, 62eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
6463adantrl 730 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
6553, 64jca 541 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
66 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . 13
6766rneqd 5068 . . . . . . . . . . . 12
6867unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11
6968sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10
70 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . 12
7170fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
7271eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
7369, 72anbi12d 725 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
7473rspcev 3136 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
7539, 65, 74syl2anc 673 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
7675rexlimiva 2868 . . . . . 6 Σ^ Σ^
77 inss2 3644 . . . . . . . . . . 11
78 mapss 7532 . . . . . . . . . . 11
7932, 77, 78mp2an 686 . . . . . . . . . 10
8079sseli 3414 . . . . . . . . 9
8180adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^
82 simpr 468 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
83 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . 13
8483rneqd 5068 . . . . . . . . . . . 12
8584unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11
8685sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10
87 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . 12
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
8988eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
9086, 89anbi12d 725 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
9190rspcev 3136 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
9281, 82, 91syl2anc 673 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
9392rexlimiva 2868 . . . . . 6 Σ^ Σ^
9476, 93impbii 192 . . . . 5 Σ^ Σ^
9594a1i 11 . . . 4 Σ^ Σ^
9695rabbiia 3019 . . 3 Σ^ Σ^
972, 96eqtri 2493 . 2 Σ^
981, 97ovolval3 38587 1 inf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cif 3872  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  c2nd 6811   cmap 7490  infcinf 7973  cr 9556  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cioo 11660  covol 22491  cvol 22493  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  ovolval4  38591
 Copyright terms: Public domain W3C validator