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Theorem ovolval4lem2 38590
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals. Similar to ovolval3 38587, but here  f is may represent unordered interval bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval4lem2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolval4lem2.m  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) ) }
ovolval4lem2.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >. )
Assertion
Ref Expression
ovolval4lem2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  = inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    A, f,
y    n, G    f, n    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    A( n)    G( y, f)    M( y, f, n)

Proof of Theorem ovolval4lem2
Dummy variables  g 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolval4lem2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 ovolval4lem2.m . . 3  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) ) }
3 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( f `
 n ) )  <_  ( 2nd `  (
f `  n )
)  ->  if (
( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) )  =  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) )
43opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( f `
 n ) )  <_  ( 2nd `  (
f `  n )
)  ->  <. ( 1st `  ( f `  n
) ) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  =  <. ( 1st `  ( f `
 n ) ) ,  ( 2nd `  (
f `  n )
) >. )
54adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  =  <. ( 1st `  ( f `
 n ) ) ,  ( 2nd `  (
f `  n )
) >. )
6 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( f `
 n ) )  <_  ( 2nd `  (
f `  n )
)  <->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  ( 2nd `  ( f `  n
) ) >.  e.  <_  )
76biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( f `
 n ) )  <_  ( 2nd `  (
f `  n )
)  ->  <. ( 1st `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) )
>.  e.  <_  )
87adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  ( 2nd `  ( f `  n
) ) >.  e.  <_  )
95, 8eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  e.  <_  )
10 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) )  ->  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) )  =  ( 1st `  ( f `
 n ) ) )
1110opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) )  ->  <. ( 1st `  ( f `  n ) ) ,  if ( ( 1st `  ( f `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( f `  n ) ) ,  ( 2nd `  (
f `  n )
) ,  ( 1st `  ( f `  n
) ) ) >.  =  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  ( 1st `  ( f `  n
) ) >. )
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  =  <. ( 1st `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) >. )
13 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  f : NN --> ( RR  X.  RR ) )
1413ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n
)  e.  ( RR 
X.  RR ) )
15 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  n )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  ( f `  n
) )  e.  RR )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  (
f `  n )
)  e.  RR )
1716leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 1st `  ( f `  n
) ) )
18 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( f `
 n ) )  <_  ( 1st `  (
f `  n )
)  <->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  ( 1st `  ( f `  n
) ) >.  e.  <_  )
1917, 18sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  -> 
<. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  ( 1st `  ( f `  n
) ) >.  e.  <_  )
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  ( 1st `  ( f `  n
) ) >.  e.  <_  )
2112, 20eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  e.  <_  )
229, 21pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  -> 
<. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  e.  <_  )
23 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  n )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  ( f `  n
) )  e.  RR )
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  (
f `  n )
)  e.  RR )
2524, 16ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( 1st `  ( f `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( f `  n ) ) ,  ( 2nd `  (
f `  n )
) ,  ( 1st `  ( f `  n
) ) )  e.  RR )
26 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1st `  (
f `  n )
)  e.  RR  /\  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) )  e.  RR )  ->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2716, 25, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  -> 
<. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2822, 27elind 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  -> 
<. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 ovolval4lem2.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( 1st `  (
f `  n )
) ,  if ( ( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) ,  ( 2nd `  ( f `
 n ) ) ,  ( 1st `  (
f `  n )
) ) >. )
3028, 29fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
31 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
3231, 31xpex 6614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3332inex2 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V )
35 nnex 10637 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  NN  e.  _V )
3734, 36elmapd 7504 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
3830, 37mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
3938adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
) ) )  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
40 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) )
41 rexpssxrxp 9703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
4313, 42fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  f : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )
44 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
f `  k )  =  ( f `  n ) )
4544fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( 1st `  ( f `  k ) )  =  ( 1st `  (
f `  n )
) )
4644fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( 2nd `  ( f `  k ) )  =  ( 2nd `  (
f `  n )
) )
4745, 46breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1st `  (
f `  k )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  k
) )  <->  ( 1st `  ( f `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( f `  n ) ) ) )
4847cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { k  e.  NN  |  ( 1st `  ( f `
 k ) )  <_  ( 2nd `  (
f `  k )
) }  =  {
n  e.  NN  | 
( 1st `  (
f `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( f `  n
) ) }
4943, 29, 48ovolval4lem1 38589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  f
)  =  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  ( vol  o.  ( (,)  o.  f ) )  =  ( vol 
o.  ( (,)  o.  G ) ) ) )
5049simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  f )  =  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) )  ->  U. ran  ( (,) 
o.  f )  = 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )
5240, 51sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
5352adantrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
) ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
54 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )  -> 
y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )
5549simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( vol 
o.  ( (,)  o.  f ) )  =  ( vol  o.  ( (,)  o.  G ) ) )
56 coass 5361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f )  =  ( vol  o.  ( (,) 
o.  f ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f )  =  ( vol  o.  ( (,) 
o.  f ) ) )
58 coass 5361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G )  =  ( vol  o.  ( (,) 
o.  G ) )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G )  =  ( vol  o.  ( (,) 
o.  G ) ) )
6055, 57, 593eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f )  =  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G )
)
6160fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN )  ->  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) )  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  G )
) )
6261adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) )  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  G )
) )
6354, 62eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )  -> 
y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G
) ) )
6463adantrl 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
) ) )  -> 
y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G
) ) )
6553, 64jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  G )
) ) )
66 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  G  ->  ( (,)  o.  g )  =  ( (,)  o.  G
) )
6766rneqd 5068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  G  ->  ran  ( (,)  o.  g )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
6867unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  U. ran  ( (,)  o.  g )  =  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
6968sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  <->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )
70 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  G  ->  (
( vol  o.  (,) )  o.  g )  =  ( ( vol 
o.  (,) )  o.  G
) )
7170fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  g )
)  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G
) ) )
7271eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) )  <->  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G
) ) ) )
7369, 72anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  g )
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G
) ) ) ) )
7473rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  G
) ) ) )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )
7539, 65, 74syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
) ) )  ->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )
7675rexlimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )  ->  E. g  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )
77 inss2 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
78 mapss 7532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR ) )  ->  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  C_  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  NN ) )
7932, 77, 78mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  C_  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )
8079sseli 3414 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  g  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) )
8180adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )  ->  g  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) )
82 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )  ->  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )
83 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( (,)  o.  f )  =  ( (,)  o.  g
) )
8483rneqd 5068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  ran  ( (,)  o.  f )  =  ran  ( (,) 
o.  g ) )
8584unieqd 4200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  U. ran  ( (,)  o.  f )  =  U. ran  ( (,)  o.  g ) )
8685sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  <->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g ) ) )
87 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )  =  ( ( vol 
o.  (,) )  o.  g
) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
)  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) )
8988eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) )  <->  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )
9086, 89anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  f )
) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) ) )
9190rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  (
( vol  o.  (,) )  o.  g )
) ) )  ->  E. f  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) ) )
9281, 82, 91syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) ) )
9392rexlimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) )  ->  E. f  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) ) )
9476, 93impbii 192 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )  <->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) )
9594a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) )  <->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) ) )
9695rabbiia 3019 . . 3  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  f
) ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) }
972, 96eqtri 2493 . 2  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  y  =  (Σ^ `  ( ( vol  o.  (,) )  o.  g
) ) ) }
981, 97ovolval3 38587 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  = inf ( M ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   <.cop 3965   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   ran crn 4840    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490  infcinf 7973   RRcr 9556   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   (,)cioo 11660   vol*covol 22491   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319
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