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Theorem ovolunlem2 19347
Description: Lemma for ovolun 19348. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )

Proof of Theorem ovolunlem2
Dummy variables  g  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
21simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
31simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
4 ovolun.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
54rphalfcld 10616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
6 eqid 2404 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)
76ovolgelb 19329 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
9 ovolun.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
109simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
119simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR )
12 eqid 2404 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)
1312ovolgelb 19329 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
1410, 11, 5, 13syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
15 reeanv 2835 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )
1613ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
1793ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
1843ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
19 eqid 2404 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2 ) ) ,  ( g `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2
) ) ,  ( g `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
20 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
21 simp3ll 1028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g ) )
22 simp3lr 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
23 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
24 simp3rl 1030 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h ) )
25 simp3rr 1031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  h
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
26 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
2716, 17, 18, 6, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26ovolunlem1 19346 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
28273exp 1152 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) ) )
2928rexlimdvv 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )  ->  ( vol * `
 ( A  u.  B ) )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) ) )
3015, 29syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
318, 14, 30mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   E.wrex 2667    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   supcsup 7403   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872    seq cseq 11278   abscabs 11994   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  ovolun  19348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314
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