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Theorem ovolunlem2 21777
Description: Lemma for ovolun 21778. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )

Proof of Theorem ovolunlem2
Dummy variables  g  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
21simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
31simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
4 ovolun.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
54rphalfcld 11280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)
76ovolgelb 21759 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
9 ovolun.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
109simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
119simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)
1312ovolgelb 21759 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
1410, 11, 5, 13syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
15 reeanv 3034 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )
1613ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
1793ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
1843ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
19 eqid 2467 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2 ) ) ,  ( g `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2
) ) ,  ( g `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
20 simp2l 1022 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
21 simp3ll 1067 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g ) )
22 simp3lr 1068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
23 simp2r 1023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
24 simp3rl 1069 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h ) )
25 simp3rr 1070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  h
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
26 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
2716, 17, 18, 6, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26ovolunlem1 21776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
28273exp 1195 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) ) )
2928rexlimdvv 2965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C ) ) )
3015, 29syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
318, 14, 30mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   E.wrex 2818    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   ran crn 5006    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   supcsup 7912   RRcr 9503   1c1 9505    + caddc 9507   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   RR+crp 11232   (,)cioo 11541    seqcseq 12087   abscabs 13047   vol*covol 21742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-fz 11685  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-ovol 21744
This theorem is referenced by:  ovolun  21778
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