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Theorem ovolunlem2 20986
Description: Lemma for ovolun 20987. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )

Proof of Theorem ovolunlem2
Dummy variables  g  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
21simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
31simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
4 ovolun.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
54rphalfcld 11044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)
76ovolgelb 20968 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
9 ovolun.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
109simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
119simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)
1312ovolgelb 20968 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
1410, 11, 5, 13syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
15 reeanv 2893 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )
1613ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
1793ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
1843ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
19 eqid 2443 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2 ) ) ,  ( g `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2
) ) ,  ( g `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
20 simp2l 1014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
21 simp3ll 1059 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g ) )
22 simp3lr 1060 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
23 simp2r 1015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
24 simp3rl 1061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h ) )
25 simp3rr 1062 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  h
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
26 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
2716, 17, 18, 6, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26ovolunlem1 20985 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
28273exp 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) ) )
2928rexlimdvv 2852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C ) ) )
3015, 29syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
318, 14, 30mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   E.wrex 2721    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ifcif 3796   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   ran crn 4846    o. ccom 4849   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   supcsup 7695   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   RR+crp 10996   (,)cioo 11305    seqcseq 11811   abscabs 12728   vol*covol 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-ovol 20953
This theorem is referenced by:  ovolun  20987
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