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Theorem ovolunlem1 22436
Description: Lemma for ovolun 22438. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolun.s  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolun.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ovolun.u  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovolun.f1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovolun.f2  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolun.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
ovolun.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovolun.g2  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
ovolun.g3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
ovolun.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
Distinct variable groups:    C, n    n, F    A, n    B, n   
n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    U( n)    H( n)

Proof of Theorem ovolunlem1
Dummy variables  k 
z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
21simpld 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 ovolun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
43simpld 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
52, 4unssd 3642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  RR )
6 ovolun.g1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
7 reex 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
87, 7xpex 6605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
98inex2 4562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
10 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
119, 10elmap 7504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
126, 11sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1312adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1413ffvelrnda 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
n  /  2 )  e.  NN )  -> 
( G `  (
n  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 nneo 11019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1615adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1716con2bid 330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
n  /  2 )  e.  NN ) )
1817biimpar 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
19 ovolun.f1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
209, 10elmap 7504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2119, 20sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2221adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2322ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( F `  (
( n  +  1 )  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2418, 23syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  /  2
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2514, 24ifclda 3941 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
n  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
26 ovolun.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) )
2725, 26fmptd 6057 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
29 ovolun.u . . . . . . . 8  |-  U  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
3028, 29ovolsf 22411 . . . . . . 7  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3127, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32 rge0ssre 11740 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
33 fss 5750 . . . . . 6  |-  ( ( U : NN --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  U : NN --> RR )
3431, 32, 33sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> RR )
35 frn 5748 . . . . 5  |-  ( U : NN --> RR  ->  ran 
U  C_  RR )
3634, 35syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR )
37 1nn 10620 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
38 1z 10967 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
39 seqfn 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
4129fneq1i 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
)  Fn  NN )
42 nnuz 11194 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4342fneq2i 5685 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4441, 43bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( U  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
)  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4540, 44sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  Fn  NN )
46 fndm 5689 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  dom  U  =  NN )
4745, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  U  =  NN )
4837, 47syl5eleqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  U
)
49 ne0i 3767 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  U  ->  dom  U  =/=  (/) )
5048, 49syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  U  =/=  (/) )
51 dm0rn0 5066 . . . . . 6  |-  ( dom 
U  =  (/)  <->  ran  U  =  (/) )
5251necon3bii 2692 . . . . 5  |-  ( dom 
U  =/=  (/)  <->  ran  U  =/=  (/) )
5350, 52sylib 199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  =/=  (/) )
541simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
553simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
5654, 55readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR )
57 ovolun.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
5857rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5956, 58readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C )  e.  RR )
60 ovolun.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
61 ovolun.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
62 ovolun.f2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
63 ovolun.f3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
64 ovolun.g2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
65 ovolun.g3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
661, 3, 57, 60, 61, 29, 19, 62, 63, 6, 64, 65, 26ovolunlem1a 22435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U `
 k )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C ) )
6766ralrimiva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C ) )
68 breq1 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( U `  k )  ->  (
z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
)  <->  ( U `  k )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
6968ralrn 6036 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
)  <->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C ) ) )
7045, 69syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
)  <->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C ) ) )
7167, 70mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
72 breq2 4424 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C )  ->  ( z  <_ 
k  <->  z  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
7372ralbidv 2864 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C )  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_ 
k  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
7473rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )  ->  E. k  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  k )
7559, 71, 74syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  k )
76 ressxr 9684 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
7736, 76syl6ss 3476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
78 supxrbnd2 11608 . . . . . 6  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  ( E. k  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  k  <->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
7977, 78syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  k  <->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
8075, 79mpbid 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  < +oo )
81 supxrbnd 11614 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  < +oo )  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
8236, 53, 80, 81syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
83 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8483adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
85842timesd 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  =  ( m  +  m
) )
8685oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  =  ( ( m  +  m )  -  1 ) )
87 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
8884, 84, 87addsubassd 10006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  m )  -  1 )  =  ( m  +  ( m  -  1 ) ) )
8986, 88eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  =  ( m  +  ( m  -  1 ) ) )
90 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
91 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
9291adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  -  1 )  e. 
NN0 )
93 nnnn0addcl 10900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( m  +  ( m  -  1 ) )  e.  NN )
9490, 92, 93syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  ( m  - 
1 ) )  e.  NN )
9589, 94eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  e.  NN )
96 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
n  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) )
9796eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
9896fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
) ) )
99 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 ) )
10099oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
101100fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( F `  ( (
n  +  1 )  /  2 ) )  =  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) )
10297, 98, 101ifbieq12d 3936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
103 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
104 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
105103, 104ifex 3977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  _V
106102, 26, 105fvmpt 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( H `  ( (
2  x.  m )  -  1 ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) ) )
10795, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
108 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
109 nnmulcl 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m
)  e.  NN )
110108, 90, 109sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  e.  NN )
111110nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  e.  CC )
112 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
113 npcan 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  m ) )
114111, 112, 113sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  m
) )
115114oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  m )  /  2
) )
116 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
117 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
118 divcan3 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  m
)  /  2 )  =  m )
119116, 117, 118mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  CC  ->  (
( 2  x.  m
)  /  2 )  =  m )
12084, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  /  2 )  =  m )
121115, 120eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  =  m )
122121, 90eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN )
123 nneo 11019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
12495, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
125124con2bid 330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
126122, 125mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  -.  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
127126iffalsed 3920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) )
128121fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( F `  m
) )
129107, 127, 1283eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) )  =  ( F `  m
) )
130 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) )
131130eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 m )  <->  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =  ( F `  m ) ) )
132131rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  e.  NN  /\  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =  ( F `  m ) )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m ) )
13395, 129, 132syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m ) )
134 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( 1st `  ( H `  k ) )  =  ( 1st `  ( F `  m )
) )
135134breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z
) )
136 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( 2nd `  ( H `  k ) )  =  ( 2nd `  ( F `  m )
) )
137136breq2d 4432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( F `
 m ) ) ) )
138135, 137anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  m ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `
 m ) ) ) ) )
139138biimprcd 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 m )  -> 
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
140139reximdv 2899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  ( E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
141133, 140syl5com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
142141rexlimdva 2917 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
143142ralimdv 2835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
144 ovolfioo 22406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
1452, 21, 144syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
146 ovolfioo 22406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
1472, 27, 146syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
148143, 145, 1473imtr4d 271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) ) )
14962, 148mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
150 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
n  /  2 )  =  ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )
151150eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ) )
152150fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) )
153 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )
154153oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) )
155154fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  ( F `  ( (
n  +  1 )  /  2 ) )  =  ( F `  ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2
) ) )
156151, 152, 155ifbieq12d 3936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
157 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )  e. 
_V
158 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
159157, 158ifex 3977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  _V
160156, 26, 159fvmpt 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  m )  e.  NN  ->  ( H `  ( 2  x.  m ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
161110, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( 2  x.  m ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
162120, 90eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN )
163162iftrued 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) )
164120fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )  =  ( G `  m
) )
165161, 163, 1643eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( 2  x.  m ) )  =  ( G `  m
) )
166 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2  x.  m )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( 2  x.  m
) ) )
167166eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( H `  k
)  =  ( G `
 m )  <->  ( H `  ( 2  x.  m
) )  =  ( G `  m ) ) )
168167rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  e.  NN  /\  ( H `  ( 2  x.  m ) )  =  ( G `  m ) )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m ) )
169110, 165, 168syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m ) )
170 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  ( 1st `  ( H `  k ) )  =  ( 1st `  ( G `  m )
) )
171170breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z
) )
172 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  ( 2nd `  ( H `  k ) )  =  ( 2nd `  ( G `  m )
) )
173172breq2d 4432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( G `
 m ) ) ) )
174171, 173anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `
 m ) ) ) ) )
175174biimprcd 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( G `
 m )  -> 
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
176175reximdv 2899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  ( E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
177169, 176syl5com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
178177rexlimdva 2917 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
179178ralimdv 2835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) )  ->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
180 ovolfioo 22406 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
1814, 12, 180syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
182 ovolfioo 22406 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
1834, 27, 182syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
184179, 181, 1833imtr4d 271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) ) )
18564, 184mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
186149, 185unssd 3642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
18729ovollb 22418 . . . 4  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( A  u.  B )  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
18827, 186, 187syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
189 ovollecl 22422 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
1905, 82, 188, 189syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
19159rexrd 9690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C )  e.  RR* )
192 supxrleub 11612 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
)  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
19377, 191, 192syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
)  +  C )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) ) )
19471, 193mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  +  C ) )
195190, 82, 59, 188, 194letrd 9792 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3909   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   dom cdm 4849   ran crn 4850    o. ccom 4853    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1stc1st 6801   2ndc2nd 6802    ^m cmap 7476   supcsup 7956   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637    seqcseq 12212   abscabs 13285   vol*covol 22399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-ovol 22402
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  22437
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