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Theorem ovolunlem1 19346
Description: Lemma for ovolun 19348. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolun.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ovolun.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovolun.f1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovolun.f2  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolun.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
ovolun.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovolun.g2  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
ovolun.g3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
ovolun.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Distinct variable groups:    C, n    n, F    A, n    B, n   
n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    U( n)    H( n)

Proof of Theorem ovolunlem1
Dummy variables  k 
z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
21simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 ovolun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
43simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
52, 4unssd 3483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  RR )
6 ovolun.g1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
7 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
87, 7xpex 4949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
98inex2 4305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
10 nnex 9962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
119, 10elmap 7001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
126, 11sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1312adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1413ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
n  /  2 )  e.  NN )  -> 
( G `  (
n  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 nneo 10309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1615adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1716con2bid 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
n  /  2 )  e.  NN ) )
1817biimpar 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
19 ovolun.f1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
209, 10elmap 7001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2119, 20sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2322ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( F `  (
( n  +  1 )  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2418, 23syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  /  2
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2514, 24ifclda 3726 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
n  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
26 ovolun.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) )
2725, 26fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
29 ovolun.u . . . . . . . 8  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
3028, 29ovolsf 19322 . . . . . . 7  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3127, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
32 0re 9047 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
33 pnfxr 10669 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
34 icossre 10947 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
3532, 33, 34mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
36 fss 5558 . . . . . 6  |-  ( ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  U : NN
--> RR )
3731, 35, 36sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> RR )
38 frn 5556 . . . . 5  |-  ( U : NN --> RR  ->  ran 
U  C_  RR )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR )
40 1nn 9967 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
41 1z 10267 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
42 seqfn 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4341, 42mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
4429fneq1i 5498 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  Fn  NN  <->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
)  Fn  NN )
45 nnuz 10477 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4645fneq2i 5499 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4744, 46bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( U  Fn  NN  <->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
)  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4843, 47sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  Fn  NN )
49 fndm 5503 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  dom  U  =  NN )
5048, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  U  =  NN )
5140, 50syl5eleqr 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  U
)
52 ne0i 3594 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  U  ->  dom  U  =/=  (/) )
5351, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  U  =/=  (/) )
54 dm0rn0 5045 . . . . . 6  |-  ( dom 
U  =  (/)  <->  ran  U  =  (/) )
5554necon3bii 2599 . . . . 5  |-  ( dom 
U  =/=  (/)  <->  ran  U  =/=  (/) )
5653, 55sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  =/=  (/) )
571simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
583simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR )
5957, 58readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  e.  RR )
60 ovolun.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
6160rpred 10604 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6259, 61readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C )  e.  RR )
63 ovolun.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
64 ovolun.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
65 ovolun.f2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
66 ovolun.f3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
67 ovolun.g2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
68 ovolun.g3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
691, 3, 60, 63, 64, 29, 19, 65, 66, 6, 67, 68, 26ovolunlem1a 19345 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U `
 k )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) )
7069ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C ) )
71 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( U `  k )  ->  (
z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  <->  ( U `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
7271ralrn 5832 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  <->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C ) ) )
7348, 72syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( ( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  <->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C ) ) )
7470, 73mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
75 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  ->  ( z  <_ 
k  <->  z  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
7675ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_ 
k  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
7776rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )  ->  E. k  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  k )
7862, 74, 77syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  k )
79 ressxr 9085 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
8039, 79syl6ss 3320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
81 supxrbnd2 10857 . . . . . 6  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  ( E. k  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  k  <->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
8280, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  k  <->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
8378, 82mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo )
84 supxrbnd 10863 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo )  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
8539, 56, 83, 84syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
86 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
88872timesd 10166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  =  ( m  +  m
) )
8988oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  =  ( ( m  +  m )  -  1 ) )
90 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
9287, 87, 91addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  m )  -  1 )  =  ( m  +  ( m  -  1 ) ) )
9389, 92eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  =  ( m  +  ( m  -  1 ) ) )
94 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
95 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
9695adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  -  1 )  e. 
NN0 )
97 nnnn0addcl 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( m  +  ( m  -  1 ) )  e.  NN )
9894, 96, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  ( m  - 
1 ) )  e.  NN )
9993, 98eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  e.  NN )
100 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
n  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) )
101100eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
102100fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
) ) )
103 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 ) )
104103oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
105104fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( F `  ( (
n  +  1 )  /  2 ) )  =  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) )
106101, 102, 105ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
107 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
108 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
109107, 108ifex 3757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  _V
110106, 26, 109fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( H `  ( (
2  x.  m )  -  1 ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) ) )
11199, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
112 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
113 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m
)  e.  NN )
114112, 94, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  e.  NN )
115114nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  e.  CC )
116 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  m ) )
117115, 90, 116sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  m
) )
118117oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  m )  /  2
) )
119 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
120 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
121 divcan3 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  m
)  /  2 )  =  m )
122119, 120, 121mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  CC  ->  (
( 2  x.  m
)  /  2 )  =  m )
12387, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  /  2 )  =  m )
124118, 123eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  =  m )
125124, 94eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN )
126 nneo 10309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
12799, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
128127con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
129125, 128mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  -.  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
130 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  if ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 ) ) )  =  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) )
132124fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( F `  m
) )
133111, 131, 1323eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) )  =  ( F `  m
) )
134 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) )
135134eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 m )  <->  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =  ( F `  m ) ) )
136135rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  e.  NN  /\  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =  ( F `  m ) )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m ) )
13799, 133, 136syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m ) )
138 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( 1st `  ( H `  k ) )  =  ( 1st `  ( F `  m )
) )
139138breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z
) )
140 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( 2nd `  ( H `  k ) )  =  ( 2nd `  ( F `  m )
) )
141140breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( F `
 m ) ) ) )
142139, 141anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  m ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `
 m ) ) ) ) )
143142biimprcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 m )  -> 
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
144143reximdv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  ( E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
145137, 144syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
146145rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
147146ralimdv 2745 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
148 ovolfioo 19317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
1492, 21, 148syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
150 ovolfioo 19317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
1512, 27, 150syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
152147, 149, 1513imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) ) )
15365, 152mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
154 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
n  /  2 )  =  ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )
155154eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ) )
156154fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) )
157 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )
158157oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) )
159158fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  ( F `  ( (
n  +  1 )  /  2 ) )  =  ( F `  ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2
) ) )
160155, 156, 159ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
161 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )  e. 
_V
162 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
163161, 162ifex 3757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  _V
164160, 26, 163fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  m )  e.  NN  ->  ( H `  ( 2  x.  m ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
165114, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( 2  x.  m ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
166123, 94eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN )
167 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  /  2 )  e.  NN  ->  if ( ( ( 2  x.  m )  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( ( 2  x.  m
)  +  1 )  /  2 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) )
169123fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )  =  ( G `  m
) )
170165, 168, 1693eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( 2  x.  m ) )  =  ( G `  m
) )
171 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2  x.  m )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( 2  x.  m
) ) )
172171eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( H `  k
)  =  ( G `
 m )  <->  ( H `  ( 2  x.  m
) )  =  ( G `  m ) ) )
173172rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  e.  NN  /\  ( H `  ( 2  x.  m ) )  =  ( G `  m ) )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m ) )
174114, 170, 173syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m ) )
175 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  ( 1st `  ( H `  k ) )  =  ( 1st `  ( G `  m )
) )
176175breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z
) )
177 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  ( 2nd `  ( H `  k ) )  =  ( 2nd `  ( G `  m )
) )
178177breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( G `
 m ) ) ) )
179176, 178anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `
 m ) ) ) ) )
180179biimprcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( G `
 m )  -> 
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
181180reximdv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  ( E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
182174, 181syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
183182rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
184183ralimdv 2745 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) )  ->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
185 ovolfioo 19317 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
1864, 12, 185syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
187 ovolfioo 19317 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
1884, 27, 187syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
189184, 186, 1883imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) ) )
19067, 189mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
191153, 190unssd 3483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
19229ovollb 19328 . . . 4  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( A  u.  B )  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
19327, 191, 192syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
194 ovollecl 19332 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
1955, 85, 193, 194syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
19662rexrd 9090 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C )  e.  RR* )
197 supxrleub 10861 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
19880, 196, 197syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
19974, 198mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) )
200195, 85, 62, 193, 199letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307    ^m cmap 6977   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874    seq cseq 11278   abscabs 11994   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  19347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314
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