MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolss Structured version   Unicode version

Theorem ovolss 22186
Description: The volume of a set is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolss  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  -> 
( vol* `  A )  <_  ( vol* `  B ) )

Proof of Theorem ovolss
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
2 eqid 2402 . 2  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }  =  { y  e. 
RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) }
31, 2ovolsslem 22185 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  -> 
( vol* `  A )  <_  ( vol* `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wrex 2754   {crab 2757    i^i cin 3412    C_ wss 3413   U.cuni 4190   class class class wbr 4394    X. cxp 4820   ran crn 4823    o. ccom 4826   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   supcsup 7933   RRcr 9520   1c1 9522    + caddc 9524   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   (,)cioo 11581    seqcseq 12149   abscabs 13214   vol*covol 22164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-ovol 22166
This theorem is referenced by:  ovolsscl  22187  ovolssnul  22188  ovolunnul  22201  ovolicopnf  22225  ovolre  22226  volss  22234  nulmbl  22236  nulmbl2  22237  voliunlem1  22250  volsup  22256  ioorcl2  22271  uniioovol  22278  uniiccvol  22279  uniioombllem3  22284  uniioombllem5  22286  dyadss  22293  volcn  22305  vitalilem4  22310  vitalilem5  22311  itg1climres  22411  itg2gt0  22457  ftc1a  22728  mblfinlem3  31405  mblfinlem4  31406  ismblfin  31407
  Copyright terms: Public domain W3C validator