MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsf Structured version   Unicode version

Theorem ovolsf 22176
Description: Closure for the partial sums of the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolfs.1  |-  G  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
)
ovolfs.2  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
Assertion
Ref Expression
ovolsf  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )

Proof of Theorem ovolsf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11162 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10936 . . 3  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  1  e.  ZZ )
3 ovolfs.1 . . . . 5  |-  G  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
)
43ovolfsf 22175 . . . 4  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  G : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
54ffvelrnda 6009 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6 ge0addcl 11686 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  +  y )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( x  +  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
81, 2, 5, 7seqf 12172 . 2  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
9 ovolfs.2 . . 3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
109feq1i 5706 . 2  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
118, 10sylibr 212 1  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3413    X. cxp 4821    o. ccom 4827   -->wf 5565  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525   +oocpnf 9655    <_ cle 9659    - cmin 9841   NNcn 10576   [,)cico 11584    seqcseq 12151   abscabs 13216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218
This theorem is referenced by:  elovolm  22178  ovolmge0  22180  ovolgelb  22183  ovollb2lem  22191  ovollb2  22192  ovolunlem1a  22199  ovolunlem1  22200  ovoliunlem1  22205  ovoliunlem2  22206  ovolscalem1  22216  ovolicc1  22219  ovolicc2lem4  22223  ioombl1lem2  22261  ioombl1lem4  22263  uniioovol  22280  uniiccvol  22281  uniioombllem1  22282  uniioombllem2  22284  uniioombllem3  22286  uniioombllem6  22289  mblfinlem3  31425  mblfinlem4  31426  ismblfin  31427
  Copyright terms: Public domain W3C validator