MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsf Structured version   Unicode version

Theorem ovolsf 21081
Description: Closure for the partial sums of the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolfs.1  |-  G  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
)
ovolfs.2  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
Assertion
Ref Expression
ovolsf  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )

Proof of Theorem ovolsf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11000 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10781 . . 3  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  1  e.  ZZ )
3 ovolfs.1 . . . . 5  |-  G  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F
)
43ovolfsf 21080 . . . 4  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  G : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
54ffvelrnda 5945 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6 ge0addcl 11507 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  +  y )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( x  +  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
81, 2, 5, 7seqf 11937 . 2  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
9 ovolfs.2 . . 3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
109feq1i 5652 . 2  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
118, 10sylibr 212 1  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3428    X. cxp 4939    o. ccom 4945   -->wf 5515  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389   +oocpnf 9519    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   [,)cico 11406    seqcseq 11916   abscabs 12834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-ico 11410  df-fz 11548  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836
This theorem is referenced by:  elovolm  21083  ovolmge0  21085  ovolgelb  21088  ovollb2lem  21096  ovollb2  21097  ovolunlem1a  21104  ovolunlem1  21105  ovoliunlem1  21110  ovoliunlem2  21111  ovolscalem1  21121  ovolicc1  21124  ovolicc2lem4  21128  ioombl1lem2  21166  ioombl1lem4  21168  uniioovol  21185  uniiccvol  21186  uniioombllem1  21187  uniioombllem2  21189  uniioombllem3  21191  uniioombllem6  21194  mblfinlem3  28571  mblfinlem4  28572  ismblfin  28573
  Copyright terms: Public domain W3C validator