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Theorem ovolscalem1 22544
Description: Lemma for ovolsca 22546. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
ovolsca.5  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolsca.6  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
ovolsca.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolsca.8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolsca.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ovolsca.10  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolscalem1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n    n, F, x    n, G    x, R    C, n, x    ph, n    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( n)    S( n)    G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
2 ssrab2 3500 . . . 4  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
31, 2syl6eqss 3468 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 ovolcl 22509 . . 3  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( vol* `  B )  e.  RR* )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR* )
6 ovolsca.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 ovolfcl 22497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
86, 7sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
98simp3d 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
108simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
118simp2d 1043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
12 ovolsca.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1312rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1413adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
15 lediv1 10492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <_  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
1610, 11, 14, 15syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n )
)  <->  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n ) )  /  C ) ) )
179, 16mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
18 df-br 4396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.  e.  <_  )
1917, 18sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  )
2012adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  RR+ )
2110, 20rerpdivcld 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
2211, 20rerpdivcld 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
23 opelxpi 4871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2421, 22, 23syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2519, 24elind 3609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
26 ovolsca.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
2725, 26fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
29 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)
3028, 29ovolsf 22503 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3127, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32 frn 5747 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  C_  ( 0 [,) +oo ) )
3331, 32syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  ( 0 [,) +oo ) )
34 icossxr 11744 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
3533, 34syl6ss 3430 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* )
36 supxrcl 11625 . . 3  |-  ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3735, 36syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
38 ovolsca.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
3938, 12rerpdivcld 11392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR )
40 ovolsca.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4140rpred 11364 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
4239, 41readdcld 9688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR )
4342rexrd 9708 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR* )
441eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } ) )
45 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( C  x.  x )  =  ( C  x.  y ) )
4645eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  x.  x
)  e.  A  <->  ( C  x.  y )  e.  A
) )
4746elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )
4844, 47syl6bb 269 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) ) )
49 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( C  x.  y
)  e.  A )
50 ovolsca.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
51 ovolsca.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
52 ovolfioo 22498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5351, 6, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5450, 53mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
56 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
57 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
5856, 57anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  < 
( C  x.  y
)  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) ) )
5958rexbidv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6059rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  x.  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6149, 55, 60sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
62 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V
6326fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
6462, 63mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)
6564fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
66 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
67 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
6866, 67op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )
6965, 68syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7069adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7170breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <  y
) )
7210adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  e.  RR )
73 simplrl 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
7414adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
75 ltdivmul 10502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7771, 76bitr2d 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  <->  ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y
) )
7811adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR )
79 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8073, 78, 74, 79syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8164fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
8266, 67op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )
8381, 82syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8483adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8584breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8680, 85bitr4d 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) )
8777, 86anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  n ) )  < 
y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) ) )
8887rexbidva 2889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
8961, 88mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
9089ex 441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9148, 90sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9291ralrimiv 2808 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
93 ovolfioo 22498 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
943, 27, 93syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9592, 94mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9629ovollb 22510 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  B  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol* `  B )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9727, 95, 96syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
98 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
9912rpcnd 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
10099adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
101 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
102 elfznn 11854 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
10311, 10resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  e.  RR )
104101, 102, 103syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
105104recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  CC )
10612rpne0d 11369 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
107106adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
10898, 100, 105, 107fsumdivc 13924 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
10983, 69oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
110109adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
11128ovolfsval 22501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
11227, 111sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
11311recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11410recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11512rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
116115adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
117 divsubdir 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  e.  CC  /\  ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
118113, 114, 116, 117syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
119110, 112, 1183eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C ) )
120101, 102, 119syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
121 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
122 nnuz 11218 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
123121, 122syl6eleq 2559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
124103, 20rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  RR )
125124recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
126101, 102, 125syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
127120, 123, 126fsumser 13873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
128108, 127eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
129 ovolsca.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
130 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
131 ovolsca.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
132130, 131ovolsf 22503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1336, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
134 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
136135, 34syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
13712, 40rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR+ )
138137rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR )
13938, 138readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR )
140139rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )
141 supxrleub 11637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  (
( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
142136, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
143129, 142mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
144 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
145133, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S `  k )  ->  (
x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  ( S `  k )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
147146ralrn 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
148145, 147syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  S  x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
149143, 148mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
150149r19.21bi 2776 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
1516adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
152130ovolfsval 22501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
153151, 102, 152syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
154153, 123, 105fsumser 13873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
) `  k )
)
155131fveq1i 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
156154, 155syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  ( S `  k ) )
15739recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  CC )
15840rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
15999, 157, 158adddid 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( C  x.  ( ( vol* `  A
)  /  C ) )  +  ( C  x.  R ) ) )
16038recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  CC )
161160, 99, 106divcan2d 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( vol* `  A )  /  C
) )  =  ( vol* `  A
) )
162161oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( ( vol* `  A )  /  C
) )  +  ( C  x.  R ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
163159, 162eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
164163adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
165150, 156, 1643brtr4d 4426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  <_  ( C  x.  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
16698, 104fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
16742adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR )
16813adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
169 ledivmul 10503 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
170166, 167, 168, 169syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
171165, 170mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  <_  ( (
( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
172128, 171eqbrtrrd 4418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  <_  ( (
( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
173172ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
174 ffn 5739 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
17531, 174syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
176 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  ->  ( y  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  <-> 
(  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) ) )
177176ralrn 6040 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) )  Fn  NN  ->  ( A. y  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
178175, 177syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
179173, 178mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) )
180 supxrleub 11637 . . . 4  |-  ( ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
/\  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R ) ) )
18135, 43, 180syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  A. y  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
182179, 181mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
1835, 37, 43, 97, 182xrletrd 11482 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   <.cop 3965   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   ran crn 4840    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ...cfz 11810    seqcseq 12251   abscabs 13374   sum_csu 13829   vol*covol 22491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-ovol 22494
This theorem is referenced by:  ovolscalem2  22545
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