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Theorem ovolscalem1 21001
Description: Lemma for ovolsca 21003. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
ovolsca.5  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolsca.6  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
ovolsca.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolsca.8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolsca.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ovolsca.10  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolscalem1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n    n, F, x    n, G    x, R    C, n, x    ph, n    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( n)    S( n)    G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
2 ssrab2 3442 . . . 4  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
31, 2syl6eqss 3411 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 ovolcl 20966 . . 3  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( vol* `  B )  e.  RR* )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  e.  RR* )
6 ovolsca.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 ovolfcl 20955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
86, 7sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
98simp3d 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
108simp1d 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
118simp2d 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
12 ovolsca.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1312rpregt0d 11038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
15 lediv1 10199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <_  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
1610, 11, 14, 15syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n )
)  <->  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n ) )  /  C ) ) )
179, 16mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
18 df-br 4298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.  e.  <_  )
1917, 18sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  )
2012adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  RR+ )
2110, 20rerpdivcld 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
2211, 20rerpdivcld 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
23 opelxpi 4876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2519, 24elind 3545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
26 ovolsca.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
2725, 26fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
29 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  =  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)
3028, 29ovolsf 20961 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
3127, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32 frn 5570 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  C_  ( 0 [,) +oo ) )
3331, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  ( 0 [,) +oo ) )
34 icossxr 11385 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
3533, 34syl6ss 3373 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* )
36 supxrcl 11282 . . 3  |-  ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
38 ovolsca.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
3938, 12rerpdivcld 11059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  RR )
40 ovolsca.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4140rpred 11032 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
4239, 41readdcld 9418 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR )
4342rexrd 9438 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR* )
441eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } ) )
45 oveq2 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( C  x.  x )  =  ( C  x.  y ) )
4645eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  x.  x
)  e.  A  <->  ( C  x.  y )  e.  A
) )
4746elrab 3122 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )
4844, 47syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) ) )
49 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( C  x.  y
)  e.  A )
50 ovolsca.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
51 ovolsca.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
52 ovolfioo 20956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5351, 6, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5450, 53mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
56 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
57 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
5856, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  < 
( C  x.  y
)  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) ) )
5958rexbidv 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6059rspcv 3074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  x.  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6149, 55, 60sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
62 opex 4561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V
6326fvmpt2 5786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
6462, 63mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)
6564fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
66 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
67 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
6866, 67op1st 6590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )
6965, 68syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7170breq1d 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <  y
) )
7210adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  e.  RR )
73 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
7414adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
75 ltdivmul 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7771, 76bitr2d 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  <->  ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y
) )
7811adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR )
79 ltmuldiv2 10208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8073, 78, 74, 79syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8164fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
8266, 67op2nd 6591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )
8381, 82syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8584breq2d 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8680, 85bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) )
8777, 86anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  n ) )  < 
y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) ) )
8887rexbidva 2737 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
8961, 88mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
9089ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9148, 90sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9291ralrimiv 2803 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
93 ovolfioo 20956 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
943, 27, 93syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9592, 94mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9629ovollb 20967 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  B  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol* `  B )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9727, 95, 96syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
98 fzfid 11800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
9912rpcnd 11034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
10099adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
101 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
102 elfznn 11483 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
10311, 10resubcld 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  e.  RR )
104101, 102, 103syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
105104recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  CC )
10612rpne0d 11037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
107106adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
10898, 100, 105, 107fsumdivc 13258 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
10983, 69oveq12d 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
110109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
11128ovolfsval 20959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
11227, 111sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
11311recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11410recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11512rpcnne0d 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
117 divsubdir 10032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  e.  CC  /\  ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
118113, 114, 116, 117syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
119110, 112, 1183eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C ) )
120101, 102, 119syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
121 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
122 nnuz 10901 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
123121, 122syl6eleq 2533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
124103, 20rerpdivcld 11059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  RR )
125124recnd 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
126101, 102, 125syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
127120, 123, 126fsumser 13212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
128108, 127eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
129 ovolsca.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
130 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
131 ovolsca.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
132130, 131ovolsf 20961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1336, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
134 frn 5570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
136135, 34syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
13712, 40rpmulcld 11048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR+ )
138137rpred 11032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR )
13938, 138readdcld 9418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR )
140139rexrd 9438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )
141 supxrleub 11294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  (
( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
142136, 140, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
143129, 142mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
144 ffn 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
145133, 144syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S `  k )  ->  (
x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  ( S `  k )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
147146ralrn 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
148145, 147syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  S  x  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
149143, 148mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
150149r19.21bi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
1516adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
152130ovolfsval 20959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
153151, 102, 152syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
154153, 123, 105fsumser 13212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
) `  k )
)
155131fveq1i 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
156154, 155syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  ( S `  k ) )
15739recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  A )  /  C
)  e.  CC )
15840rpcnd 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
15999, 157, 158adddid 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( C  x.  ( ( vol* `  A
)  /  C ) )  +  ( C  x.  R ) ) )
16038recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  e.  CC )
161160, 99, 106divcan2d 10114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( vol* `  A )  /  C
) )  =  ( vol* `  A
) )
162161oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( ( vol* `  A )  /  C
) )  +  ( C  x.  R ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
163159, 162eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
165150, 156, 1643brtr4d 4327 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  <_  ( C  x.  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
16698, 104fsumrecl 13216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
16742adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR )
16813adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
169 ledivmul 10210 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
170166, 167, 168, 169syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
171165, 170mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  <_  ( (
( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
172128, 171eqbrtrrd 4319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  <_  ( (
( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
173172ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
174 ffn 5564 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
17531, 174syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
176 breq1 4300 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  ->  ( y  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R )  <-> 
(  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) ) )
177176ralrn 5851 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) )  Fn  NN  ->  ( A. y  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
178175, 177syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
179173, 178mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) )
180 supxrleub 11294 . . . 4  |-  ( ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
/\  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol* `  A
)  /  C )  +  R ) ) )
18135, 43, 180syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  A. y  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
182179, 181mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
1835, 37, 43, 97, 182xrletrd 11141 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  B )  <_  (
( ( vol* `  A )  /  C
)  +  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   <.cop 3888   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   ran crn 4846    o. ccom 4849    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   1stc1st 6580   2ndc2nd 6581   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   [,)cico 11307   ...cfz 11442    seqcseq 11811   abscabs 12728   sum_csu 13168   vol*covol 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-ovol 20953
This theorem is referenced by:  ovolscalem2  21002
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