Theorem ovolscalem1 19362

Description: Lemma for ovolsca 19364. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	|- ( ph -> A C_ RR )
ovolsca.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
ovolsca.3	|- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
ovolsca.4	|- ( ph -> ( vol * ` A ) e. RR )
ovolsca.5	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovolsca.6	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
ovolsca.7	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovolsca.8	|- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ovolsca.9	|- ( ph -> R e. RR+ )
ovolsca.10	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovolscalem1	|- ( ph -> ( vol * ` B ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   B, n   n, F, x   n, G   x, R   C, n, x   ph, n   x, S

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( n)   S( n)   G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.3	. . . 4 |- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
2		ssrab2 3388	. . . 4 |- { x e. RR | ( C x. x ) e. A } C_ RR
3	1, 2	syl6eqss 3358	. . 3 |- ( ph -> B C_ RR )
4		ovolcl 19327	. . 3 |- ( B C_ RR -> ( vol * ` B ) e. RR* )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol * ` B ) e. RR* )
6		ovolsca.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		ovolfcl 19316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
8	6, 7	sylan 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	8	simp3d 971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
10	8	simp1d 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11	8	simp2d 970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
12		ovolsca.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. RR+ )
13	12	rpregt0d 10610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
14	13	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15		lediv1 9831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
16	10, 11, 14, 15	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
17	9, 16	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
18		df-br 4173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ )
19	17, 18	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ )
20	12	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C e. RR+ )
21	10, 20	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR )
22	11, 20	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR )
23		opelxpi 4869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) )
25		elin 3490	. . . . . . . 8 |- ( <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ /\ <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) ) )
26	19, 24, 25	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
27		ovolsca.6	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
28	26, 27	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
29		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
30		eqid 2404	. . . . . . 7 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
31	29, 30	ovolsf 19322	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32	28, 31	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
33		frn 5556	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
34	32, 33	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
35		icossxr 10951	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
36	34, 35	syl6ss 3320	. . 3 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* )
37		supxrcl 10849	. . 3 |- ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) e. RR* )
38	36, 37	syl 16	. 2 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) e. RR* )
39		ovolsca.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol * ` A ) e. RR )
40	39, 12	rerpdivcld 10631	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol * ` A ) / C ) e. RR )
41		ovolsca.9	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR+ )
42	41	rpred 10604	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR )
43	40, 42	readdcld 9071	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) e. RR )
44	43	rexrd 9090	. 2 |- ( ph -> ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) e. RR* )
45	1	eleq2d 2471	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. { x e. RR | ( C x. x ) e. A } ) )
46		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( C x. x ) = ( C x. y ) )
47	46	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( C x. x ) e. A <-> ( C x. y ) e. A ) )
48	47	elrab 3052	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. RR | ( C x. x ) e. A } <-> ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) )
49	45, 48	syl6bb 253	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) )
50		simprr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> ( C x. y ) e. A )
51		ovolsca.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
52		ovolsca.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ RR )
53		ovolfioo 19317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
54	52, 6, 53	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
55	51, 54	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
56	55	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
57		breq2 4176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( C x. y ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
58		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( C x. y ) -> ( x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
59	57, 58	anbi12d 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( C x. y ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
60	59	rexbidv 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( C x. y ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
61	60	rspcv 3008	. . . . . . . . 9 |- ( ( C x. y ) e. A -> ( A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
62	50, 56, 61	sylc 58	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
63		opex 4387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. _V
64	27	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. _V ) -> ( G ` n ) = <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
65	63, 64	mpan2 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( G ` n ) = <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
66	65	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) )
67		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. _V
68		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. _V
69	67, 68	op1st 6314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C )
70	66, 69	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) )
71	70	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) )
72	71	breq1d 4182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y ) )
73	10	adantlr 696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
74		simplrl 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> y e. RR )
75	14	adantlr 696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
76		ltdivmul 9838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
78	72, 77	bitr2d 246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) <-> ( 1st ` ( G ` n ) ) < y ) )
79	11	adantlr 696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
80		ltmuldiv2 9837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
81	74, 79, 75, 80	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
82	65	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) )
83	67, 68	op2nd 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C )
84	82, 83	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
85	84	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
86	85	breq2d 4184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
87	81, 86	bitr4d 248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
88	78, 87	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
89	88	rexbidva 2683	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
90	62, 89	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
91	90	ex 424	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
92	49, 91	sylbid 207	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
93	92	ralrimiv 2748	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
94		ovolfioo 19317	. . . . 5 |- ( ( B C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
95	3, 28, 94	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
96	93, 95	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> B C_ U. ran ( (,) o. G ) )
97	30	ovollb 19328	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ B C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol * ` B ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) )
98	28, 96, 97	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( vol * ` B ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) )
99		fzfid 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
100	12	rpcnd 10606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
101	100	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> C e. CC )
102		simpl 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ph )
103		elfznn 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
104	11, 10	resubcld 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
105	102, 103, 104	syl2an 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
106	105	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. CC )
107	12	rpne0d 10609	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C =/= 0 )
108	107	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> C =/= 0 )
109	99, 101, 106, 108	fsumdivc 12524	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
110	84, 70	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
111	110	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
112	29	ovolfsval 19320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
113	28, 112	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
114	11	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. CC )
115	10	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. CC )
116	12	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
117	116	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
118		divsubdir 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. CC /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
120	111, 113, 119	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
121	102, 103, 120	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
122		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
123		nnuz 10477	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
124	122, 123	syl6eleq 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
125	104, 20	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. RR )
126	125	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. CC )
127	102, 103, 126	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. CC )
128	121, 124, 127	fsumser 12479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
129	109, 128	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
130		ovolsca.10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
131		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
132		ovolsca.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
133	131, 132	ovolsf 19322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
134	6, 133	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
135		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
136	134, 135	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
137	136, 35	syl6ss 3320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
138	12, 41	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C x. R ) e. RR+ )
139	138	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C x. R ) e. RR )
140	39, 139	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR )
141	140	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR* )
142		supxrleub 10861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. x e. ran S x <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
143	137, 141, 142	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. x e. ran S x <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
144	130, 143	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ran S x <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
145		ffn 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
146	134, 145	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S Fn NN )
147		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( S ` k ) -> ( x <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) <-> ( S ` k ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
148	147	ralrn 5832	. . . . . . . . . . 11 |- ( S Fn NN -> ( A. x e. ran S x <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
149	146, 148	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ran S x <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
150	144, 149	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
151	150	r19.21bi 2764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
152	6	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
153	131	ovolfsval 19320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
154	152, 103, 153	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
155	154, 124, 106	fsumser 12479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
156	132	fveq1i 5688	. . . . . . . . 9 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
157	155, 156	syl6eqr 2454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) = ( S ` k ) )
158	40	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( vol * ` A ) / C ) e. CC )
159	41	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
160	100, 158, 159	adddid 9068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C x. ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( C x. ( ( vol * ` A ) / C ) ) + ( C x. R ) ) )
161	39	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol * ` A ) e. CC )
162	161, 100, 107	divcan2d 9748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C x. ( ( vol * ` A ) / C ) ) = ( vol * ` A ) )
163	162	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C x. ( ( vol * ` A ) / C ) ) + ( C x. R ) ) = ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
164	160, 163	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C x. ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
165	164	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( C x. ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( vol * ` A ) + ( C x. R ) ) )
166	151, 157, 165	3brtr4d 4202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) )
167	99, 105	fsumrecl 12483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
168	43	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) e. RR )
169	13	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
170		ledivmul 9839	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) ) )
171	167, 168, 169, 170	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) ) )
172	166, 171	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )
173	129, 172	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )
174	173	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )
175		ffn 5550	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN )
176	32, 175	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN )
177		breq1 4175	. . . . . 6 |- ( y = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) -> ( y <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) )
178	177	ralrn 5832	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN -> ( A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) )
179	176, 178	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) )
180	174, 179	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )
181		supxrleub 10861	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* /\ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) e. RR* ) -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) )
182	36, 44, 181	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) <-> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) ) )
183	180, 182	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )
184	5, 38, 44, 98, 183	xrletrd 10708	1 |- ( ph -> ( vol * ` B ) <_ ( ( ( vol * ` A ) / C ) + R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   ran crn 4838   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   seq cseq 11278   abscabs 11994   sum_csu 12434   vol *covol 19312

This theorem is referenced by:  ovolscalem2  19363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-ovol 19314