Theorem ovolscalem1 21001

Description: Lemma for ovolsca 21003. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	|- ( ph -> A C_ RR )
ovolsca.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
ovolsca.3	|- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
ovolsca.4	|- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
ovolsca.5	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovolsca.6	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
ovolsca.7	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovolsca.8	|- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ovolsca.9	|- ( ph -> R e. RR+ )
ovolsca.10	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovolscalem1	|- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   B, n   n, F, x   n, G   x, R   C, n, x   ph, n   x, S

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( n)   S( n)   G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.3	. . . 4 |- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
2		ssrab2 3442	. . . 4 |- { x e. RR | ( C x. x ) e. A } C_ RR
3	1, 2	syl6eqss 3411	. . 3 |- ( ph -> B C_ RR )
4		ovolcl 20966	. . 3 |- ( B C_ RR -> ( vol* ` B ) e. RR* )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` B ) e. RR* )
6		ovolsca.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		ovolfcl 20955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
8	6, 7	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	8	simp3d 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
10	8	simp1d 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11	8	simp2d 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
12		ovolsca.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. RR+ )
13	12	rpregt0d 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15		lediv1 10199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
16	10, 11, 14, 15	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
17	9, 16	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
18		df-br 4298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ )
20	12	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C e. RR+ )
21	10, 20	rerpdivcld 11059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR )
22	11, 20	rerpdivcld 11059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR )
23		opelxpi 4876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) )
25	19, 24	elind 3545	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
26		ovolsca.6	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
27	25, 26	fmptd 5872	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
29		eqid 2443	. . . . . . 7 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
30	28, 29	ovolsf 20961	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32		frn 5570	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
33	31, 32	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
34		icossxr 11385	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
35	33, 34	syl6ss 3373	. . 3 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* )
36		supxrcl 11282	. . 3 |- ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) e. RR* )
37	35, 36	syl 16	. 2 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) e. RR* )
38		ovolsca.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
39	38, 12	rerpdivcld 11059	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) e. RR )
40		ovolsca.9	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR+ )
41	40	rpred 11032	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR )
42	39, 41	readdcld 9418	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR )
43	42	rexrd 9438	. 2 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR* )
44	1	eleq2d 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. { x e. RR | ( C x. x ) e. A } ) )
45		oveq2 6104	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( C x. x ) = ( C x. y ) )
46	45	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( C x. x ) e. A <-> ( C x. y ) e. A ) )
47	46	elrab 3122	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. RR | ( C x. x ) e. A } <-> ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) )
48	44, 47	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) )
49		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> ( C x. y ) e. A )
50		ovolsca.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
51		ovolsca.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ RR )
52		ovolfioo 20956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
53	51, 6, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
54	50, 53	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
56		breq2 4301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( C x. y ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
57		breq1 4300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( C x. y ) -> ( x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
58	56, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( C x. y ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
59	58	rexbidv 2741	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( C x. y ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
60	59	rspcv 3074	. . . . . . . . 9 |- ( ( C x. y ) e. A -> ( A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
61	49, 55, 60	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
62		opex 4561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. _V
63	26	fvmpt2 5786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. _V ) -> ( G ` n ) = <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
64	62, 63	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( G ` n ) = <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
65	64	fveq2d 5700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) )
66		ovex 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. _V
67		ovex 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. _V
68	66, 67	op1st 6590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C )
69	65, 68	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) )
70	69	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) )
71	70	breq1d 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y ) )
72	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
73		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> y e. RR )
74	14	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
75		ltdivmul 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
77	71, 76	bitr2d 254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) <-> ( 1st ` ( G ` n ) ) < y ) )
78	11	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
79		ltmuldiv2 10208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
80	73, 78, 74, 79	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
81	64	fveq2d 5700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) )
82	66, 67	op2nd 6591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C )
83	81, 82	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
85	84	breq2d 4309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
86	80, 85	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
87	77, 86	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
88	87	rexbidva 2737	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
89	61, 88	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
90	89	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
91	48, 90	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2803	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
93		ovolfioo 20956	. . . . 5 |- ( ( B C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
94	3, 27, 93	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
95	92, 94	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> B C_ U. ran ( (,) o. G ) )
96	29	ovollb 20967	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ B C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` B ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) )
97	27, 95, 96	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) )
98		fzfid 11800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
99	12	rpcnd 11034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
100	99	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> C e. CC )
101		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ph )
102		elfznn 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
103	11, 10	resubcld 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
104	101, 102, 103	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
105	104	recnd 9417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. CC )
106	12	rpne0d 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C =/= 0 )
107	106	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> C =/= 0 )
108	98, 100, 105, 107	fsumdivc 13258	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
109	83, 69	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
110	109	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
111	28	ovolfsval 20959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
112	27, 111	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
113	11	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. CC )
114	10	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. CC )
115	12	rpcnne0d 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
117		divsubdir 10032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. CC /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
119	110, 112, 118	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
120	101, 102, 119	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
121		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
122		nnuz 10901	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
123	121, 122	syl6eleq 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
124	103, 20	rerpdivcld 11059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. RR )
125	124	recnd 9417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. CC )
126	101, 102, 125	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. CC )
127	120, 123, 126	fsumser 13212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
128	108, 127	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
129		ovolsca.10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
130		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
131		ovolsca.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
132	130, 131	ovolsf 20961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
133	6, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
134		frn 5570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
136	135, 34	syl6ss 3373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
137	12, 40	rpmulcld 11048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C x. R ) e. RR+ )
138	137	rpred 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C x. R ) e. RR )
139	38, 138	readdcld 9418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR )
140	139	rexrd 9438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR* )
141		supxrleub 11294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
142	136, 140, 141	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
143	129, 142	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
144		ffn 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
145	133, 144	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S Fn NN )
146		breq1 4300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( S ` k ) -> ( x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
147	146	ralrn 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( S Fn NN -> ( A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
148	145, 147	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
149	143, 148	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
150	149	r19.21bi 2819	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
151	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
152	130	ovolfsval 20959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
153	151, 102, 152	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
154	153, 123, 105	fsumser 13212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
155	131	fveq1i 5697	. . . . . . . . 9 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
156	154, 155	syl6eqr 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) = ( S ` k ) )
157	39	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) e. CC )
158	40	rpcnd 11034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
159	99, 157, 158	adddid 9415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( C x. ( ( vol* ` A ) / C ) ) + ( C x. R ) ) )
160	38	recnd 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. CC )
161	160, 99, 106	divcan2d 10114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C x. ( ( vol* ` A ) / C ) ) = ( vol* ` A ) )
162	161	oveq1d 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C x. ( ( vol* ` A ) / C ) ) + ( C x. R ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
163	159, 162	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
164	163	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
165	150, 156, 164	3brtr4d 4327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
166	98, 104	fsumrecl 13216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
167	42	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR )
168	13	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
169		ledivmul 10210	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) ) )
171	165, 170	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
172	128, 171	eqbrtrrd 4319	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
173	172	ralrimiva 2804	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
174		ffn 5564	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN )
175	31, 174	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN )
176		breq1 4300	. . . . . 6 |- ( y = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) -> ( y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
177	176	ralrn 5851	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN -> ( A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
178	175, 177	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
179	173, 178	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
180		supxrleub 11294	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* /\ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR* ) -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
181	35, 43, 180	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
182	179, 181	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
183	5, 37, 43, 97, 182	xrletrd 11141	1 |- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977   i^i cin 3332   C_ wss 3333   <.cop 3888   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   X. cxp 4843   ran crn 4846   o. ccom 4849   Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   1stc1st 6580   2ndc2nd 6581   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   / cdiv 9998   NNcn 10327   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   [,)cico 11307   ...cfz 11442   seqcseq 11811   abscabs 12728   sum_csu 13168   vol*covol 20951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-ovol 20953

This theorem is referenced by:  ovolscalem2  21002